2、约数

一个数能够整除另一数，这个数就是另一数的约数。

如2，3，4，6都能整除12，因此2，3，4，6都是12的约数。也叫因数。

1、求一个数的所有约数——试除法

例题：

给定 n 个正整数 ai，对于每个整数 ai，请你按照从小到大的顺序输出它的所有约数。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个整数 ai 的所有约数。

数据范围

1≤n≤100,
2≤ai≤2×1e9

输入样例：

2
6
8

输出样例：

1 2 3 6
1 2 4 8

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>
using namespace std;



vector<int> deal(int n)
{
	vector<int> p;
	for (int i = 1; i <= n / i; i++)
		if (n % i == 0)//成为约数的条件
		{
			p.push_back(i);
			if (i != n / i)//边界特判
			{
				p.push_back(n / i);
			}
		}
	sort(p.begin(),p.end());
	return p;
}

int main()
{
	int n; cin >> n;
	while (n--)
	{
		int x; cin >> x;
		auto y =deal(x);
		for (auto a : y)
			cout << a << ' ';
	}
	
	return 0;
}

2、约数个数

int范围内约数个数最多大概1500

题目：约数个数

给定 n 个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数个数，答案对 10^9+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数个数，答案需对 10^9+7 取模。

数据范围

1≤n≤100,
1≤ai≤2×10^9

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

12

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>//用哈希表--更快一些

using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e7 + 7;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;

	unordered_map<int, int>  primes;//去记录所有的底数和指数
	while (n--)
	{
		int x; cin >> x;
		for (int i = 2; i <= x / i; i++)
		{
			while (x % i == 0)
			{
				x /= i;
				primes[i]++;//i的质因数的质数+1
			}
		}
		if (x > 1) primes[x]++;
	}
	LL x = 1;
	for (auto prime : primes) x = x * (prime.second + 1) % mod;

	cout << x;
	return 0;
}

3、约数之和

如何去计算

套用公式 t = p * t + 1;

​ t = p * t + 1;

执行第一次 t = p ^ 0 = 1

执行第二次 t = p^ 1 + 1

执行第三次 t = p^2 + p^1 + 1

​ …. ……

执行第n次 t = p ^ n + … + p^0

问题描述：

给定 n个正整数 ai，请你输出这些数的乘积的约数之和，答案对 10^9+7 取模。

输入格式

第一行包含整数 n。

接下来 n 行，每行包含一个整数 ai。

输出格式

输出一个整数，表示所给正整数的乘积的约数之和，答案徐才 109+7109+7 取模。

数据范围

1≤n≤100,
1≤ai≤2×1091≤ai≤2×109

输入样例：

3
2
6
8

输出样例：

252

代码

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <unordered_map>//用哈希表--更快一些

using namespace std;
typedef long long LL;
const int mod = 1e7 + 7;
int main()
{
	int n;
	cin >> n;

	unordered_map<int, int>  primes;//去记录所有的底数和指数
	while (n--)
	{
		int x; cin >> x;
		for (int i = 2; i <= x / i; i++)
		{
			while (x % i == 0)
			{
				x /= i;
				primes[i]++;//i的质因数的质数+1
			}
		}
		if (x > 1) primes[x]++;
	}
	LL x = 1;
	for (auto prime : primes)
	{
		int p = prime.first;//表示质数的底数
		int a = prime.second;//表示质数的指数
		LL t = 1;//用t来表示局部的总和、
		while (a--) //执行质数次
			t = (t * p + 1) % mod;
		x = x * t % mod;

	}

	cout << x;
	return 0;
}

4、欧几里得算法(辗转相除法)

题目——最大公约数

给定n对正整数ai,bi，请你求出每对数的最大公约数。

输入格式

第一行包含整数n。

接下来n行，每行包含一个整数对ai,bi。

输出格式

输出共n行，每行输出一个整数对的最大公约数。

数据范围

1≤n≤105,
1≤ai,bi≤2∗109

输入样例

2
3 6
4 6

输出样例

3
2

代码

#include <iostream>

using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
	return b ? gcd(b, a % b) : a;
}

int main()
{
	int n; cin >> n;
	while (n--)
	{
		int a, b;
		cin >> a >> b;
		cout << gcd(a, b);
	}
	return 0;
}