多维随机变量及其分布
1.二维随机变量及其分布
假设E是随机试验,Ω是样本空间,X、Y是Ω的两个变量;(X,Y)就叫做二维随机变量或二维随机向量。X、Y来自同一个样本空间。
联合分布函数
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x,y)=P(X≤x,Y≤y) 
        
       
     F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)
 几何意义表示对立体曲线的体积

用平面图形近似表示为:
 
即F(x,y)表示求(x,y)左下方的面积。
性质:
 (1)0≤F(x,y) ≤1
 (2)F(x,y) 不减,例如:y固定,x1<x2,F(x1,y)<F(x2,y)
 (3)F(-∞,y)=F(x,-∞)=F(-∞,-∞)=0,F(+∞,+∞)=1
 (4)F(x,y)分别关于x和y右连续
 (5)
  
      
       
        
        
          对于 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         对于x_1<x_2,y_1<y_2\\ P(x_1<X≤x_2,y_1<Y≤y_2) = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) 
        
       
     对于x1<x2,y1<y2P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)
 图形解释:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         P(x_1<X≤x_2,y_1<Y≤y_2) 
        
       
     P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)
 表示求以下图形的面积:

等式右边的分布函数用如下图形表示:
 
 
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x_2,y_2) 
        
       
     F(x2,y2)
 表示图中蓝色区域
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x_2,y_1) 
        
       
     F(x2,y1)
 表示红色区域
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x_1,y_2) 
        
       
     F(x1,y2)
 表示黄色色区域
所以
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2) 
        
       
     F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)
 就是只有蓝色的区域
但是
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x_1,y_1) 
        
       
     F(x1,y1)
 的区域在减的过程中被减掉了两次,需要补回来一次,所以:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) 
        
       
     F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)
 所表示的图形面积才是
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         P(x_1<X≤x_2,y_1<Y≤y_2) 
        
       
     P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)
 所以:
  
      
       
        
        
          对于 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          < 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
          − 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
         
         
           x 
          
         
           1 
          
         
        
          , 
         
         
         
           y 
          
         
           1 
          
         
        
          ) 
         
        
       
         对于x_1<x_2,y_1<y_2\\ P(x_1<X≤x_2,y_1<Y≤y_2) = F(x_2,y_2) - F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1) 
        
       
     对于x1<x2,y1<y2P(x1<X≤x2,y1<Y≤y2)=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)+F(x1,y1)
 边缘分布
X的边缘分布:
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          + 
         
        
          ∞ 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          < 
         
        
          + 
         
        
          ∞ 
         
        
          ) 
         
        
       
         F_X(x) = P(X≤x) = F(x,+∞) = P(X≤x,Y<+∞) 
        
       
     FX(x)=P(X≤x)=F(x,+∞)=P(X≤x,Y<+∞)
 这表示在所有可能的 Y 值上,X 取值 x 的概率总和。从图形曲线上理解就是求小于x的所有点的面积,Y随意取值。
Y的边缘分布:
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           Y 
          
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          + 
         
        
          ∞ 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          < 
         
        
          + 
         
        
          ∞ 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
       
         F_Y(y) = P(Y≤y) = F(+∞,y) = P(X<+∞,Y≤y) 
        
       
     FY(y)=P(Y≤y)=F(+∞,y)=P(X<+∞,Y≤y)
 表示在所有可能的 X 值上,Y 取值 y的概率总和。从图形曲线上理解就是求小于y的所有点的面积,X随意取值。
2.二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布
联合概率质量函数 P(X=x,Y=y) 描述了随机变量 X 和 Y 同时取特定值 x 和y 的概率。联合PMF满足以下性质:
-  非负性:对于所有的 x 和 y,有 P(X=x,Y=y)≥0。 
-  归一性:所有可能的 x 和 y 值的概率之和等于1,即: 
 ∑ x ∑ y P ( X = x , Y = y ) = 1 ∑_x∑_yP(X=x,Y=y)=1 x∑y∑P(X=x,Y=y)=1
概率分布表解释:
假设由一个概率分布表:
| X\Y | 1 | 2 | 3 | 
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1/2 | 1/8 | 
| 2 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 
非负性表示分布表中的所有概率都要大于等于0。例如:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           2 
          
         
        
          ≥ 
         
        
          0 
         
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           8 
          
         
        
          ≥ 
         
        
          0 
         
        
       
         P(X=1,Y=2)=\dfrac{1}{2}\geq 0\\ P(X=2,Y=2)=\dfrac{1}{8}\geq 0 
        
       
     P(X=1,Y=2)=21≥0P(X=2,Y=2)=81≥0
 归一性表示分布表中所有概率之和等于1。
联合分布函数
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∑ 
          
          
           
           
             x 
            
           
             i 
            
           
          
            ≤ 
           
          
            x 
           
          
         
         
         
           ∑ 
          
          
           
           
             y 
            
           
             j 
            
           
          
            ≤ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)=∑_{x_i\leq x}∑_{y_j\leq y}P(X=x,Y=y) 
        
       
     F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=xi≤x∑yj≤y∑P(X=x,Y=y)
 概率分布表解释:
F(x,y)的值就是在分布表中找到对应的(x,y)对应的位置,然后将其左上角的概率相加。
例如:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
          + 
         
         
         
           1 
          
         
           2 
          
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           2 
          
         
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          2 
         
        
          , 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          2 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          , 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          2 
         
        
          , 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          2 
         
        
          , 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
          + 
         
         
         
           1 
          
         
           2 
          
         
        
          + 
         
         
         
           1 
          
         
           8 
          
         
        
          + 
         
         
         
           1 
          
         
           8 
          
         
        
          = 
         
         
         
           3 
          
         
           4 
          
         
        
       
         F(1,2)=P(X\leq 1,Y\leq 2)=P(1,1)+P(1,2)=0+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}\\ F(2,2)=P(X\leq 2,Y\leq 2)=P(1,1)+P(1,2)+P(2,1)+P(2,2)=0+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{4} 
        
       
     F(1,2)=P(X≤1,Y≤2)=P(1,1)+P(1,2)=0+21=21F(2,2)=P(X≤2,Y≤2)=P(1,1)+P(1,2)+P(2,1)+P(2,2)=0+21+81+81=43
 边缘分布
边缘概率质量函数可以通过对联合PMF的适当求和得到。
-  边缘PMF 
 P X ( x ) P_X(x) PX(x)
 :表示随机变量 X 取特定值 x 的概率,不考虑 Y的值。计算方法为:
 P X ( x ) = ∑ y P ( X = x , Y = y ) P_X(x)=∑_yP(X=x,Y=y) PX(x)=y∑P(X=x,Y=y)
 其中,求和是对所有可能的 y 值进行。
-  边缘PMF 
 P Y ( y ) P_Y(y) PY(y)
 :表示随机变量 Y取特定值 y 的概率,不考虑 X 的值。计算方法为:
 P Y ( y ) = ∑ x P ( X = x , Y = y ) P_Y(y)=∑_xP(X=x,Y=y) PY(y)=x∑P(X=x,Y=y)
 其中,求和是对所有可能的 x 值进行。
概率分布表解释:
对行求和,得到对X的边缘分布。
对列求和,得到对Y的边缘分布。
例如:
| X\Y | 1 | 2 | 3 | 
|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1/2 | 1/8 | 
| 2 | 1/8 | 1/8 | 1/8 | 
求X的边缘分布:
| X | 1 | 2 | 
|---|---|---|
| P | 5/8 | 3/8 | 
当X=1时,求该行的概率之和,即:0+1/2+1/8=5/8
以此类推。
求Y的边缘分布:
| Y | 1 | 2 | 3 | 
|---|---|---|---|
| P | 1/8 | 5/8 | 1/4 | 
当Y=1时,求该列的概率之和,即0+1/8=1/8
以此类推。
3.二维连续随机变量的联合密度和边缘密度函数
对于二维连续随机变量 X 和 Y,其分布函数为:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           y 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          s 
         
        
          , 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
       
         F(x,y) = P(X≤x,Y≤y) = ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt 
        
       
     F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt
 则F(x,y)是分布函数,f(x,y)是联合密度函数。
f(x,y)的性质:
-  非负性:对于所有的 x 和 y,有 f(x,y)≥0。 
-  归一性:在整个 x 和 y 的取值范围上的积分等于1,即: 
 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 ∫_{-\infty}^{+\infty}∫_{-\infty}^{+\infty}f(x,y) dxdy=1 ∫−∞+∞∫−∞+∞f(x,y) dxdy=1
 这个积分是对所有可能的 x 和 y 值进行的。
例子
假设联合密度函数:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
               
               
                 e 
                
                
                
                  − 
                 
                
                  ( 
                 
                
                  x 
                 
                
                  + 
                 
                
                  y 
                 
                
                  ) 
                 
                
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                x 
               
              
                > 
               
              
                0 
               
              
                , 
               
              
                y 
               
              
                > 
               
              
                0 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               其它 
              
             
            
           
          
         
        
       
         f(x,y)=\begin{cases} e^{-(x+y)}, & x>0,y>0\\ 0,& 其它 \end{cases} 
        
       
     f(x,y)={e−(x+y),0,x>0,y>0其它
 求分布函数F(x,y)
解:
根据分布函数可知:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           y 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          s 
         
        
          , 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
       
         F(x,y) = P(X≤x,Y≤y) = ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt 
        
       
     F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt
 当x>0且y>0时
  
      
       
        
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           y 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          s 
         
        
          , 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           0 
          
         
           x 
          
         
         
         
           ∫ 
          
         
           0 
          
         
           y 
          
         
         
         
           e 
          
          
          
            − 
           
          
            ( 
           
          
            s 
           
          
            + 
           
          
            t 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           0 
          
         
           x 
          
         
         
         
           e 
          
          
          
            − 
           
          
            s 
           
          
         
        
          d 
         
        
          s 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           0 
          
         
           y 
          
         
         
         
           e 
          
          
          
            − 
           
          
            t 
           
          
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          = 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          − 
         
         
         
           e 
          
          
          
            − 
           
          
            x 
           
          
         
        
          ) 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          − 
         
         
         
           e 
          
          
          
            − 
           
          
            y 
           
          
         
        
          ) 
         
        
       
         ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt=∫_{0}^x∫_{0}^ye^{-(s+t)}dsdt=∫_{0}^xe^{-s}ds∫_{0}^ye^{-t}dt=(1-e^{-x})(1-e^{-y}) 
        
       
     ∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt=∫0x∫0ye−(s+t)dsdt=∫0xe−sds∫0ye−tdt=(1−e−x)(1−e−y)
 当x,y有一个小于0时
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           y 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          s 
         
        
          , 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
       
         F(x,y) = P(X≤x,Y≤y) = ∫_{-∞}^x∫_{-∞}^yf(s,t)dsdt=0 
        
       
     F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt=0
 所以
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
              
                ( 
               
              
                1 
               
              
                − 
               
               
               
                 e 
                
                
                
                  − 
                 
                
                  x 
                 
                
               
              
                ) 
               
              
                ( 
               
              
                1 
               
              
                − 
               
               
               
                 e 
                
                
                
                  − 
                 
                
                  y 
                 
                
               
              
                ) 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                x 
               
              
                > 
               
              
                0 
               
              
                , 
               
              
                y 
               
              
                > 
               
              
                0 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               其它 
              
             
            
           
          
         
        
       
         F(x,y)=\begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), & x>0,y>0\\ 0,& 其它 \end{cases} 
        
       
     F(x,y)={(1−e−x)(1−e−y),0,x>0,y>0其它
 边缘密度函数
边缘分布函数:
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          + 
         
        
          ∞ 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
        
          [ 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          s 
         
        
          , 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          ] 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
       
         F_X(x)=F(x,+\infty)=\int _{-\infty}^x[\int _{-\infty}^{+\infty}f(s,t)dt]ds 
        
       
     FX(x)=F(x,+∞)=∫−∞x[∫−∞+∞f(s,t)dt]ds
 求导,得出边缘密度函数:
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
         
         
         
           f 
          
         
           Y 
          
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          s 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
       
         f_X(x)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,t)dt=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\ f_Y(y)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(s,y)ds=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx 
        
       
     fX(x)=∫−∞+∞f(x,t)dt=∫−∞+∞f(x,y)dyfY(y)=∫−∞+∞f(s,y)ds=∫−∞+∞f(x,y)dx
 求X的边缘密度函数就是对y求积分,对Y的边缘密度函数就是对x求积分。
例子
假设联合密度函数:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f(x,y)=\dfrac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)} 
        
       
     f(x,y)=π2(1+x2)(1+y2)1
 求边缘密度函数。
解:
对X的边缘密度函数:
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
         
         
           1 
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          y 
         
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
         
         
           1 
          
          
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          a 
         
        
          r 
         
        
          c 
         
        
          t 
         
        
          a 
         
        
          n 
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
         
         
           ∣ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f_X(x)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\int _{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)}dy\\ =\dfrac{1}{\pi^2(1+x^2)}\int _{-\infty}^{+\infty}\dfrac{1}{(1+y^2)}dy=\dfrac{1}{\pi^2(1+x^2)}\int _{-\infty}^{+\infty}arctan(y)|_{-\infty}^{+\infty}=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)} 
        
       
     fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=∫−∞+∞π2(1+x2)(1+y2)1dy=π2(1+x2)1∫−∞+∞(1+y2)1dy=π2(1+x2)1∫−∞+∞arctan(y)∣−∞+∞=π(1+x2)1
 对Y的边缘密度函数:
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           Y 
          
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f_Y(y)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\dfrac{1}{\pi(1+y^2)} 
        
       
     fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dy=π(1+y2)1
4.条件分布
条件分布是指在已知另一个随机变量或事件的条件下,该随机变量的概率分布。
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          A 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          A 
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x|A)=P(X\leq x | A) 
        
       
     F(x∣A)=P(X≤x∣A)
 例子
假设概率密度函数
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)} 
        
       
     f(x)=π(1+x2)1
 求在X>1的条件下f(x)的条件分布函数
解:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
       
         F(x|X>1)=P(X\leq x|X>1) 
        
       
     F(x∣X>1)=P(X≤x∣X>1)
 当x≤1时:
不满足条件
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
       
         F(x|X>1)=0 
        
       
     F(x∣X>1)=0
 当x>1时:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            ≤ 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            X 
           
          
            > 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            > 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         F(x|X>1)=P(X\leq x|X>1)=\dfrac{P(X\leq x,X>1)}{P(X>1)} 
        
       
     F(x∣X>1)=P(X≤x∣X>1)=P(X>1)P(X≤x,X>1)
 计算分子:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          1 
         
        
          ≤ 
         
        
          X 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           1 
          
         
           x 
          
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           π 
          
         
        
          a 
         
        
          r 
         
        
          c 
         
        
          t 
         
        
          a 
         
        
          n 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
         
         
           ∣ 
          
         
           1 
          
         
           x 
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            a 
           
          
            r 
           
          
            c 
           
          
            t 
           
          
            a 
           
          
            n 
           
          
            x 
           
          
         
           π 
          
         
        
          − 
         
         
         
           1 
          
         
           π 
          
         
        
          . 
         
         
         
           π 
          
         
           4 
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            a 
           
          
            r 
           
          
            c 
           
          
            t 
           
          
            a 
           
          
            n 
           
          
            x 
           
          
         
           π 
          
         
        
          − 
         
         
         
           1 
          
         
           4 
          
         
        
       
         P(X\leq x,X>1)=P(1\leq X\leq x)=\int _1^x\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}dx=\dfrac{1}{\pi}arctan(x)|_1^x=\dfrac{arctanx}{\pi}-\dfrac{1}{\pi}.\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{arctanx}{\pi}-\dfrac{1}{4} 
        
       
     P(X≤x,X>1)=P(1≤X≤x)=∫1xπ(1+x2)1dx=π1arctan(x)∣1x=πarctanx−π1.4π=πarctanx−41
 计算分母:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           1 
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           π 
          
         
        
          a 
         
        
          r 
         
        
          c 
         
        
          t 
         
        
          a 
         
        
          n 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
         
         
           ∣ 
          
         
           1 
          
          
          
            + 
           
          
            ∞ 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           π 
          
         
        
          . 
         
        
          ( 
         
         
         
           π 
          
         
           2 
          
         
        
          − 
         
         
         
           π 
          
         
           4 
          
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
         
           4 
          
         
        
       
         P(X>1)=\int _1^{+\infty}\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}dx=\dfrac{1}{\pi}arctan(x)|_1^{+\infty}=\dfrac{1}{\pi}.(\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{4} 
        
       
     P(X>1)=∫1+∞π(1+x2)1dx=π1arctan(x)∣1+∞=π1.(2π−4π)=41
 则
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            ≤ 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            X 
           
          
            > 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            > 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            4 
           
          
            a 
           
          
            r 
           
          
            c 
           
          
            t 
           
          
            a 
           
          
            n 
           
          
            x 
           
          
         
           π 
          
         
        
          − 
         
        
          1 
         
        
       
         F(x|X>1)=\dfrac{P(X\leq x,X>1)}{P(X>1)}=\dfrac{4arctanx}{\pi}-1 
        
       
     F(x∣X>1)=P(X>1)P(X≤x,X>1)=π4arctanx−1
 所以在X>1的条件下f(x)的条件分布函数
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
               
                
                 
                 
                   4 
                  
                 
                   a 
                  
                 
                   r 
                  
                 
                   c 
                  
                 
                   t 
                  
                 
                   a 
                  
                 
                   n 
                  
                 
                   x 
                  
                 
                
                  π 
                 
                
               
              
                − 
               
              
                1 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                x 
               
              
                > 
               
              
                1 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                x 
               
              
                ≤ 
               
              
                1 
               
              
             
            
           
          
         
        
       
         F(x|X>1)=\begin{cases} \dfrac{4arctanx}{\pi}-1, & x>1\\ 0,& x≤1 \end{cases} 
        
       
     F(x∣X>1)=⎩ 
              ⎨ 
              ⎧π4arctanx−1,0,x>1x≤1
5.离散型随机变量的条件分布
条件概率质量函数定义为:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            = 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            Y 
           
          
            = 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            Y 
           
          
            = 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         P(X=x∣Y=y)=\dfrac{P(X=x,Y=y)}{P(Y=y)} 
        
       
     P(X=x∣Y=y)=P(Y=y)P(X=x,Y=y)
 其中 P(X=x,Y=y)是 X 和 Y的联合概率质量函数,P(Y=y) 是 Y 的边缘概率质量函数。
从分布表来理解:
假设概率分布表:
| X\Y | 0 | 1 | 
|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0.3 | 
| 1 | 0.3 | 0.3 | 
P(Y=y) 是 Y 的边缘概率质量函数,Y 的边缘概率质量函数是对列求和:
| Y | 0 | 1 | 
|---|---|---|
| P | 0.4 | 0.6 | 
那么在Y=1的条件下,假设x=0,X=x的概率为:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
          ∣ 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            = 
           
          
            0 
           
          
            , 
           
          
            Y 
           
          
            = 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            Y 
           
          
            = 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           0.3 
          
         
           0.6 
          
         
        
          = 
         
        
          0.5 
         
        
       
         P(X=0∣Y=1)=\dfrac{P(X=0,Y=1)}{P(Y=1)}=\dfrac{0.3}{0.6}=0.5 
        
       
     P(X=0∣Y=1)=P(Y=1)P(X=0,Y=1)=0.60.3=0.5
 假设x=1,X=x的概率为:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          ∣ 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            X 
           
          
            = 
           
          
            1 
           
          
            , 
           
          
            Y 
           
          
            = 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
          
          
            P 
           
          
            ( 
           
          
            Y 
           
          
            = 
           
          
            1 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           0.3 
          
         
           0.6 
          
         
        
          = 
         
        
          0.5 
         
        
       
         P(X=1∣Y=1)=\dfrac{P(X=1,Y=1)}{P(Y=1)}=\dfrac{0.3}{0.6}=0.5 
        
       
     P(X=1∣Y=1)=P(Y=1)P(X=1,Y=1)=0.60.3=0.5
 则在Y=1的条件下,X的分布函数为:
| X | 0 | 1 | 
|---|---|---|
| P(X|Y=1) | 0.3 | 0.3 | 
其它情况如Y=0条件下X的分布函数、X=0及X=1条件下Y的分布函数同上。
6.连续型随机变量的条件分布
在Y=y条件下,条件概率密度函数为:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            f 
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             f 
            
           
             Y 
            
           
          
            ( 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f(x∣y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)} 
        
       
     f(x∣y)=fY(y)f(x,y)
 其中 f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度函数,
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           Y 
          
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
       
         f_Y(y) 
        
       
     fY(y)
 是 Y的边缘概率密度函数。
同理,在X=x条件下,条件概率密度函数为:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ∣ 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            f 
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             f 
            
           
             X 
            
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f(y∣x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)} 
        
       
     f(y∣x)=fX(x)f(x,y)
 其中 f(x,y) 是 X 和 Y 的联合概率密度函数,
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
       
         f_X(x) 
        
       
     fX(x)
 是 X的边缘概率密度函数。
在Y=y的条件下,X的条件分布函数:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           x 
          
         
         
          
          
            f 
           
          
            ( 
           
          
            u 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             f 
            
           
             Y 
            
           
          
            ( 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          u 
         
        
       
         F(x|y)=\int _{-\infty}^xf(x∣y)dx=\int _{-\infty}^x\dfrac{f(u,y)}{f_Y(y)}du 
        
       
     F(x∣y)=∫−∞xf(x∣y)dx=∫−∞xfY(y)f(u,y)du
 在X=x的条件下,Y的条件分布函数:
  
      
       
        
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ∣ 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           y 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ∣ 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            − 
           
          
            ∞ 
           
          
         
           y 
          
         
         
          
          
            f 
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            v 
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             f 
            
           
             X 
            
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          v 
         
        
       
         F(y|x)=\int _{-\infty}^yf(y∣x)dy=\int _{-\infty}^y\dfrac{f(x,v)}{f_X(x)}dv 
        
       
     F(y∣x)=∫−∞yf(y∣x)dy=∫−∞yfX(x)f(x,v)dv
 例子
假设
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          , 
         
         
         
           f 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          , 
         
         
         
           f 
          
         
           Y 
          
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f(x,y)=\dfrac{1}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)},f_X(x)=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)},f_Y(y)=\dfrac{1}{\pi(1+y^2)} 
        
       
     f(x,y)=π2(1+x2)(1+y2)1,fX(x)=π(1+x2)1,fY(y)=π(1+y2)1
 求
在Y=y的条件下,X的条件密度函数;在X=x的条件下,Y的条件密度函数。
解:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ∣ 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            f 
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             f 
            
           
             Y 
            
           
          
            ( 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ∣ 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
          
          
            f 
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             f 
            
           
             X 
            
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
          
           
           
             π 
            
           
             2 
            
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           1 
          
          
          
            π 
           
          
            ( 
           
          
            1 
           
          
            + 
           
           
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            ) 
           
          
         
        
       
         f(x|y)=\dfrac{f(x,y)}{f_Y(y)}=\dfrac{\pi(1+y^2)}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)}=\dfrac{1}{\pi(1+x^2)}\\ f(y|x)=\dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}=\dfrac{\pi(1+x^2)}{\pi^2(1+x^2)(1+y^2)}=\dfrac{1}{\pi(1+y^2)} 
        
       
     f(x∣y)=fY(y)f(x,y)=π2(1+x2)(1+y2)π(1+y2)=π(1+x2)1f(y∣x)=fX(x)f(x,y)=π2(1+x2)(1+y2)π(1+x2)=π(1+y2)1
7.随机变量的独立性
定义
两个随机变量 XX 和 YY 被称为独立的,如果它们满足以下条件:
对于连续型随机变量:它们的联合概率密度函数f(x,y)可以表示为各自边缘概率密度函数的乘积:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           f 
          
         
           X 
          
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          ⋅ 
         
         
         
           f 
          
         
           Y 
          
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
       
         f(x,y)=f_X(x)⋅f_Y(y) 
        
       
     f(x,y)=fX(x)⋅fY(y)
对于离散型随机变量:它们的联合概率质量函数P(X=x,Y=y)可以表示为各自边缘概率质量函数的乘积:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          ⋅ 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
       
         P(X=x,Y=y)=P(X=x)⋅P(Y=y) 
        
       
     P(X=x,Y=y)=P(X=x)⋅P(Y=y)
 例子
1.假设我们有两个公平的六面骰子,我们分别将它们记为骰子A和骰子B。
随机变量定义为:
让 X 表示骰子A的结果。
让 Y 表示骰子B的结果。
事件:
事件 A:“骰子A显示的数字大于3”。
事件 B:“骰子B显示的数字是偶数”。
问事件A和B是否独立。
解:
联合概率分布表:
| X\Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 
| 2 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 
| 3 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 
| 4 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 
| 5 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 
| 6 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 1\36 | 
X的边缘概率分布表:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 
Y的边缘概率分布表:
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 
|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 
事件A的概率:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          A 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          > 
         
        
          3 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          5 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          / 
         
        
          2 
         
        
       
         P(A)=P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=1/2 
        
       
     P(A)=P(X>3)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=1/2
 事件B的概率:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          B 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          / 
         
        
          2 
         
        
       
         P(B)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)=1/2 
        
       
     P(B)=P(Y=2)+P(Y=4)+P(Y=6)=1/2
 事件A和B的联合概率:
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          A 
         
        
          B 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          ) 
         
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          5 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          5 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          5 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          ) 
         
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          2 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          4 
         
        
          ) 
         
        
          + 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          X 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          , 
         
        
          Y 
         
        
          = 
         
        
          6 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          / 
         
        
          4 
         
        
       
         P(AB)=P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=4)+P(X=4,Y=6)\\ +P(X=5,Y=2)+P(X=5,Y=4)+P(X=5,Y=6)\\ +P(X=6,Y=2)+P(X=6,Y=4)+P(X=6,Y=6)=1/4 
        
       
     P(AB)=P(X=4,Y=2)+P(X=4,Y=4)+P(X=4,Y=6)+P(X=5,Y=2)+P(X=5,Y=4)+P(X=5,Y=6)+P(X=6,Y=2)+P(X=6,Y=4)+P(X=6,Y=6)=1/4
 所以
  
      
       
        
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          A 
         
        
          B 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          A 
         
        
          ) 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          B 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          1 
         
        
          / 
         
        
          4 
         
        
       
         P(AB)=P(A)P(B)=1/4 
        
       
     P(AB)=P(A)P(B)=1/4
 所以A、B事件是独立的。
2.假设经理8-12点到公司,秘书7-9点到公司,经理和秘书到公司的事件是独立的,求经理和秘书到公司的联合概率。
解:
设X是经理到公司的事件,Y为秘书到公司的事件,则:X、Y的密度函数服从均匀分布。
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
               
                
                
                  1 
                 
                
                  4 
                 
                
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                8 
               
              
                < 
               
              
                x 
               
              
                < 
               
              
                12 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               其它 
              
             
            
           
          
         
        
       
         f(x)=\begin{cases} \dfrac{1}{4},& 8<x<12\\ 0, & 其它 \end{cases} 
        
       
     f(x)=⎩ 
              ⎨ 
              ⎧41,0,8<x<12其它
f ( y ) = { 1 2 , 7 < y < 9 0 , 其它 f(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{2},& 7<y<9\\ 0, & 其它 \end{cases} f(y)=⎩ ⎨ ⎧21,0,7<y<9其它
由于X、Y是独立的,则联合密度函数:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          ) 
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
               
                
                
                  1 
                 
                
                  8 
                 
                
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                8 
               
              
                < 
               
              
                x 
               
              
                < 
               
              
                12 
               
              
                , 
               
              
                7 
               
              
                < 
               
              
                y 
               
              
                < 
               
              
                9 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               其它 
              
             
            
           
          
         
        
       
         f(x,y)=f(x)f(y)=\begin{cases} \dfrac{1}{8},& 8<x<12,7<y<9\\ 0, & 其它 \end{cases} 
        
       
     f(x,y)=f(x)f(y)=⎩ 
              ⎨ 
              ⎧81,0,8<x<12,7<y<9其它
8.二维随机变量函数的分布
8.1 二维离散型随机变量函数的分布
二维离散型随机变量函数的分布指的是在给定两个离散型随机变量 X 和 Y的情况下,它们函数 Z=g(X,Y)的分布。这里
g(X,Y)是一个定义在 X和 Y取值范围内的函数。
要找到函数 Z 的分布,我们需要确定 Z 的每一个可能值的概率。具体步骤如下:
- 确定函数的输出值:列出函数 Z=g(X,Y)可能的所有输出值。
- 计算每个输出值的概率:对于每一个可能的输出值 z,计算 Z=z的概率。这通常涉及到对 X 和 Y的联合概率质量函数 P(X=x,Y=y)进行求和。
- 构建概率质量函数:构建函数 Z 的概率质量函数,即对于每一个可能的 z,确定 P(Z=z)。
例子
假设有两个离散型随机变量 XX 和 YY,它们的联合PMF如下表所示:
| X \ Y | 1 | 2 | 3 | 
|---|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 0.2 | 0.0 | 
| 2 | 0.0 | 0.3 | 0.0 | 
| 3 | 0.1 | 0.1 | 0.2 | 
求函数 Z=X+Y。
解:
-  确定函数的输出值:列出所有可能的 X 和 Y组合的和。 1+1=2 1+2=3 1+3=4 2+2=4 2+3=5 3+3=6 所以,Z 可能的值是 2, 3, 4, 5, 6。 
-  计算每个输出值的概率: P(Z=2)=P(X=1,Y=1)=0.1 P(Z=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)=0.2 P(Z=4)=P(X=1,Y=3)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=1)=0.0+0.3+0.1=0.4 P(Z=5)=P(X=2,Y=3)+P(X=3,Y=2)=0.1 P(Z=6)=P(X=3,Y=3)=0.2 
-  构建概率质量函数: P(Z=2)=0.1 P(Z=3)=0.2 P(Z=4)=0.4 P(Z=5)=0.1 P(Z=6)=0.2 
-  函数分布表为: Z 2 3 4 5 6 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 
以上的解法比较麻烦,可以根据分布表来计算。
1.根据Z=X+Y,将X的每行分别于Y的每列分别相加,得到Z的取值,再按X、Y在表格中对应的单元格中的值照抄过来,得到:
| Z | 2 | 3 | 4 | 3 | 4 | 5 | 4 | 5 | 6 | 
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.2 | 0.0 | 0.0 | 0.3 | 0.0 | 0.1 | 0.1 | 0.2 | 
2.合并Z中重复的值及对应的概率,即概率相加:
| Z | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 
|---|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.2 | 0.4 | 0.1 | 0.2 | 
8.2 二维连续型随机变量函数的分布
二维连续型随机变量函数的分布是指由两个连续型随机变量 (X,Y)构成的联合分布,并通过某种函数关系 Z=g(X,Y)得到一个新的随机变量 Z
的分布。
假设 (X,Y)是一个二维连续型随机变量,其联合概率密度函数为 f(x,y)。设 Z=g(X,Y) 是一个函数关系,其中 g 是一个已知的函数。我们需要
找到 Z 的概率密度函数
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           Z 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
       
         f_Z(z) 
        
       
     fZ(z)
 具体步骤如下:
-  计算 Z的累积分布函数 
 F Z ( z ) F_Z(z) FZ(z)
 :
 F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = P ( g ( X , Y ) ≤ z ) F_Z(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z) FZ(z)=P(Z≤z)=P(g(X,Y)≤z)这可以通过对联合分布函数进行积分得到: 
 F Z ( z ) = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F_Z(z)=∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy FZ(z)=∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy
-  求导得到概率密度函数 
 f Z ( z ) f_Z(z) fZ(z)
 :
 f Z ( z ) = d d z F Z ( z ) f_Z(z)=\dfrac{d}{dz}F_Z(z) fZ(z)=dzdFZ(z)
对于某些特定的函数 g(X,Y),可以直接求出 Z 的概率密度函数。例如,如果 g(X,Y)=X+Y,则可以通过以下步骤求出 Z 的概率密度函数:
-  确定 Z 的范围: Z=X+Y 
 确定 Z 的可能取值范围。
-  计算 Z的概率密度函数: 
 f Z ( z ) = ∫ − ∞ ∞ f X ( x ) f Y ( z − x ) d x f_Z(z)=∫_{−∞}^∞f_X(x)f_Y(z−x)dx fZ(z)=∫−∞∞fX(x)fY(z−x)dx这称为卷积公式。 
例子
假设 (X,Y) 的联合概率密度函数为:
  
      
       
        
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
              
                2 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                0 
               
              
                ≤ 
               
              
                x 
               
              
                ≤ 
               
              
                1 
               
              
                , 
               
              
                0 
               
              
                ≤ 
               
              
                y 
               
              
                ≤ 
               
              
                1 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               otherwise 
              
             
            
           
          
         
        
       
         f(x, y) = \begin{cases} 2, & 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} 
        
       
     f(x,y)={2,0,0≤x≤1,0≤y≤1otherwise
 求Z*=*X+Y的分布
解:
确定Z的范围:
  
      
       
        
        
          0 
         
        
          ≤ 
         
        
          Z 
         
        
          ≤ 
         
        
          2 
         
        
       
         0\leq Z \leq 2 
        
       
     0≤Z≤2
 先求分布函数:
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           Z 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          Z 
         
        
          ≤ 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
          
          
            g 
           
          
            ( 
           
          
            x 
           
          
            , 
           
          
            y 
           
          
            ) 
           
          
            ≤ 
           
          
            z 
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
            
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
            
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         F_Z(z)=P(Z≤z)=∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy 
        
       
     FZ(z)=P(Z≤z)=∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy
 当z<0时,因为x、y都大于0,所以事件不可能发生
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           Z 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
       
         F_Z(z)=0 
        
       
     FZ(z)=0
 当0≤z≤1时,画出图形:

根据图形可知
  
      
       
        
        
          0 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ≤ 
         
        
          z 
         
        
          , 
         
        
          0 
         
        
          ≤ 
         
        
          y 
         
        
          ≤ 
         
        
          z 
         
        
          − 
         
        
          x 
         
        
       
         0≤x≤z,0≤y≤z-x 
        
       
     0≤x≤z,0≤y≤z−x
F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y = ∫ 0 z d x ∫ 0 z − x 2 d y = 2 ∫ 0 z ( z − x ) d x = 2 ( z x − 1 2 x 2 ) ∣ 0 z = z 2 F_Z(z)=P(Z≤z)=∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy=\int_0^zdx\int_0^{z-x}2dy=2\int_0^z(z-x)dx=2(zx-\dfrac{1}{2}x^2)|_0^z=z^2 FZ(z)=P(Z≤z)=∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy=∫0zdx∫0z−x2dy=2∫0z(z−x)dx=2(zx−21x2)∣0z=z2
当1≤z≤2时,画出图形:

根据图形可知:
所求面积=1-右上角三角形面积S
  
      
       
        
        
          S 
         
        
          = 
         
         
          
          
            ( 
           
          
            2 
           
          
            − 
           
          
            z 
           
           
           
             ) 
            
           
             2 
            
           
          
         
           2 
          
         
        
       
         S=\dfrac{(2-z)^2}{2} 
        
       
     S=2(2−z)2
F Z ( z ) = P ( Z ≤ z ) = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y = 2 ( 1 − ( 2 − z ) 2 2 ) = 2 − ( 2 − z ) 2 F_Z(z)=P(Z≤z)=∬_{g(x,y)≤z}f(x,y) dx dy=2(1-\dfrac{(2-z)^2}{2})=2-(2-z)^2 FZ(z)=P(Z≤z)=∬g(x,y)≤zf(x,y) dx dy=2(1−2(2−z)2)=2−(2−z)2
当z>2时,超出x、y的取值范围,不可能发生
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           Z 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
        
          0 
         
        
       
         F_Z(z)=0 
        
       
     FZ(z)=0
 所以:
  
      
       
        
         
         
           F 
          
         
           Z 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
               
               
                 z 
                
               
                 2 
                
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                0 
               
              
                ≤ 
               
              
                z 
               
              
                ≤ 
               
              
                1 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                1 
               
              
                − 
               
               
                
                 
                 
                   ( 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                   − 
                  
                 
                   z 
                  
                  
                  
                    ) 
                   
                  
                    2 
                   
                  
                 
                
                  2 
                 
                
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                1 
               
              
                ≤ 
               
              
                z 
               
              
                ≤ 
               
              
                2 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               其它 
              
             
            
           
          
         
        
       
         F_Z(z)=\begin{cases} z^2,& 0\leq z\leq 1\\ 1-\dfrac{(2-z)^2}{2},& 1\leq z\leq 2\\ 0,& 其它 \end{cases} 
        
       
     FZ(z)=⎩ 
              ⎨ 
              ⎧z2,1−2(2−z)2,0,0≤z≤11≤z≤2其它
 求导:
  
      
       
        
         
         
           f 
          
         
           Z 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           F 
          
         
           z 
          
         
           ′ 
          
         
        
          ( 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          = 
         
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
              
                2 
               
              
                z 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                0 
               
              
                ≤ 
               
              
                z 
               
              
                ≤ 
               
              
                1 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                4 
               
              
                − 
               
              
                2 
               
              
                z 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
              
              
                1 
               
              
                ≤ 
               
              
                z 
               
              
                ≤ 
               
              
                2 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                0 
               
              
                , 
               
              
             
            
            
             
             
               其它 
              
             
            
           
          
         
        
       
         f_Z(z)=F_z'(z)=\begin{cases} 2z,& 0\leq z\leq 1\\ 4-2z,& 1\leq z\leq 2\\ 0,& 其它 \end{cases} 
        
       
     fZ(z)=Fz′(z)=⎩ 
              ⎨ 
              ⎧2z,4−2z,0,0≤z≤11≤z≤2其它



















