1. 连续性

连续表述1

函数 f(x) 在点 x₀ 处连续，如果满足以下三个条件：

1. f(x₀) 存在
2. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)$ 存在
3. ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

连续表述2

令$\Delta x=x-x_0,\Delta y=f(x)-f(x_0)$

函数 f(x) 在点 x₀ 处连续等价于${\lim }_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$

2. 导数的定义

对于函数 f(x)，其在点 x₀ 处的导数定义为：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

或等价地：

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$$

如果这个极限存在，我们就说函数 f 在点 x₀ 处可导。

可导性与连续性

• 如果函数在一点可导，那么它在该点必定连续。
• 反之则不然，函数可以在一点连续但不可导。

可导 ⇒ 连续

如果函数在一点可导，那么它在该点必然连续。

证明：

根据可导条件，$li{m}_{x\to 0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f(x_0{)}^{\prime }$

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f(x_0{)}^{\prime }+\alpha$

$\Delta y=(f(x_0{)}^{\prime }+\alpha )\Delta x$

$\Delta x\to 0,\Delta y\to 0$

连续 ⇏ 可导

函数可以在一点连续但不可导。

例子：f(x) = |x| 在 x = 0 处连续但不可导。

3. 微分的定义

对于函数 y = f(x)，如果在点 x 处的增量 Δy 可以表示为：

Δy = A·Δx + o(Δx)

其中 A 是不依赖于 Δx 的常数，o(Δx) 是比 Δx 高阶的无穷小，则称函数 f(x) 在点 x 处可微，A·Δx 称为函数 f(x) 在点 x 处的微分，记作 dy。

由上面的$\Delta y=(f(x_0{)}^{\prime }+\alpha )\Delta x可以发现，$微分 dy 的数学表达式为：

dy = f’(x)dx

其中 f’(x) 是函数 f(x) 在点 x 处的导数，dx 是自变量 x 的微分（可以理解为 x 的微小增量）

可微 ⇔ 可导（对于单变量函数）

对于单变量函数，可微性和可导性是等价的。如果函数在一点可微，那么它在该点必然可导，反之亦然。

4.偏导数存在

1 定义

对于函数 f(x, y)，在点 (x₀, y₀) 处对 x 的偏导数存在，如果下列极限存在：

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0)}{h}$$

类似地定义对 y 的偏导数。

2 几何意义

偏导数存在意味着函数在该点沿坐标轴方向的切线存在。

3 注意事项

• 偏导数的存在并不保证函数在该点连续或可微。
• 函数可以在某点的所有偏导数都存在，但在该点不连续。

偏导数存在：

• 意味着函数在某点沿坐标轴方向的变化率存在。
• 不保证函数在该点连续或可微。
• 可以通过计算定义中的极限来验证。
  偏导数存在但不连续的例子

考虑函数：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}& (x,y)\ne (0,0)\\ 0& (x,y)=(0,0)\end{array}$$

• 在 (0,0) 处，∂f/∂x 和 ∂f/∂y 都存在（等于0）。
• 但是，当 (x,y) 接近 (0,0) 时，偏导数的极限不存在。
• 因此，偏导数在 (0,0) 处存在但不连续。

5. 偏导数的连续性

1 定义

如果函数 f(x, y) 的偏导数 ∂f/∂x 和 ∂f/∂y 在点 (x₀, y₀) 的某个邻域内都存在，且在 (x₀, y₀) 处连续，则称偏导数在 (x₀, y₀) 处连续。

2 数学表达

$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$$
$$\underset{(x,y)\to (x_0,y_0)}{\lim }\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$$

偏导数连续：

• 意味着偏导数函数本身是连续的。
• 是函数可微的充分条件（但不是必要条件）。
• 保证混合偏导数的相等性。

6. 多变量函数的情况

对于多变量函数：

• 可微 ⇒ 偏导数存在
• 偏导数连续 ⇒ 可微⇒ 连续