求组合数专题

news2025/10/31 10:32:34

求组合数 Ⅰ（递推公式）

思路 $O(a\cdot b)$

递推法预处理
- 利用公式 $C_{a}^{b} = C_{a-1}^{b-1} + C_{a-1}^{b}$
- 复杂度 $O(a \cdot b) = 4*10^{6}$
直接查询
- 单次查询复杂度 $O(1)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 2010;
const int mod = 1e9+7;
int c[N][N];
int get_c(int a, int b)
{
    c[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= a; i++)
    {
        c[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= a; j++)
        {
            c[i][j] = (c[i-1][j-1] + c[i-1][j]) % mod;
        }
    }
    
    return c[a][b];
}
int main()
{
    get_c(2000, 2000);
    
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- ){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        cout << c[a][b] << '\n';
    }
}

求组合数 Ⅱ （乘法逆元、费马小定理、快速幂）

思路 $O(1e5 \cdot log(p-2) + n)$

很明显，递推法预处理会超时。于是我们选择另一种计算组合数的方式：快速幂（处理分子的阶乘、分母的阶乘） + 费马小定理（将除以分母，在模运算中该换为，乘以分母的乘法逆元）
- 步骤
  - 计算阶乘 $O(b_{max}) = 10^{5}$
  - 快速幂求乘法逆元 $O(log(p-2))$ ，p = 1e9+7
- 总复杂度 $O(n \cdot (b_{max} + log(p-2))) > 10^{9}$
- 反思：不同的数据计算阶乘时重复计算了
- 改进：预处理所有阶乘
  - （同时可以预处理所有阶乘的乘法逆元） $O(1e5 * log(p-2))$
- 注意：求 $\frac{a!}{(a-b)!}$ 时仍不能用除法，要采用乘法逆元

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
const int mod = 1e9+7;
typedef long long ll;
ll fac[N], ifac[N];
ll qmi(ll base, ll expo)
{
    ll retv = 1;
    while(expo)
    {
        if(expo & 1) retv = retv * base % mod;
        base = base * base % mod;
        expo >>= 1;
    }
    
    return retv;
}
void init()
{
    fac[0] = ifac[0] = 1;
    for(ll i = 1; i <= 100000; i++)
    {
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
        ifac[i] = qmi(i, mod-2) * ifac[i-1] % mod;
    }
}
int main()
{
    init();
    
    int n;
    cin >> n;
    while (n -- ){
        int a, b;
        cin >> a >> b;
        
        cout << fac[a] * ifac[a-b] % mod * ifac[b] % mod << '\n';
    }
}