上一期介绍了矩阵的出现源于解线性方程组。但是，矩阵出现之后，就犹如打开了潘多拉的盒子，会产生许多魔法。

1 旋转矩阵

我们知道用矩阵左乘某个向量，相当于对该向量做线性变换。那么是否有一种矩阵，能让向量旋转？例如，让二维平面上的向量$\vec{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$逆时针旋转$30^{\circ }$。
我们从基的角度来思考这个问题，如果我们能找到一个基，这个基与自然基相比，逆时针旋转了$30^{\circ }$，那么用这个基去左乘向量$\vec{a}$，是不是就把$\vec{a}$逆时针旋转了$30^{\circ }$，得到向量$\vec{b}$，如下图所示。

图-1

图-1中，向量$\overrightarrow{c_1}$、$\overrightarrow{c_2}$是自然基$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$逆时针旋转$30^{\circ }$后得到的新基。那么，现在有个问题，怎么求使自然基旋转$\theta$度后的新基$\overrightarrow{c_1}$，$\overrightarrow{c_2}$？
自然基$\overrightarrow{e_1}$、$\overrightarrow{e_2}$旋转$\theta$度得到新基$\overrightarrow{c_1}$，$\overrightarrow{c_2}$，也就是$\overrightarrow{e_1}$与$\overrightarrow{c_1}$夹角为$\theta$，$\overrightarrow{e_2}$与$\overrightarrow{c_2}$夹角为$\theta$。所以，我们可以用向量余弦相似度来求。
先假设$\overrightarrow{c_1}=(x_1,x_2{)}^T$，$\overrightarrow{c_2}=(y_1,y_2{)}^T$，由余弦相似度公式可得
$$\{\begin{array}{l}\frac{\overrightarrow{e_1}\cdot \overrightarrow{c_1}}{\parallel \overrightarrow{e_1}\parallel \parallel \overrightarrow{c_1}\parallel }=\frac{x_1}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}}=cos\theta \\ \\ \frac{\overrightarrow{e_2}\cdot \overrightarrow{c_2}}{\parallel \overrightarrow{e_2}\parallel \parallel \overrightarrow{c_2}\parallel }=\frac{y_2}{\sqrt{y_1^2+y_2^2}}=cos\theta \end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

观察式(1)，要使等式成立，是不是只要令$\sqrt{x_1^2+x_2^2}=1,x_1=\cos \theta ,x_2=\sin \theta$，就可以满足第一个等式；再令$\sqrt{y_1^2+y_2^2}=1,则y_2=\cos \theta ,y_1=-\sin \theta$，就可以满足第二个等式。此时$\overrightarrow{c_1}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$与$\overrightarrow{c_2}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$正好正交（两向量垂直）。

于是，我们得到
$$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{c_1}& \overrightarrow{c_2}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$

除了零向量，其它向量只要用式(2)这个矩阵左乘，就可以将向量逆时针旋转$\theta$度，是不是很神奇。所以，我们把式(2)这个神奇的矩阵叫作旋转矩阵。
如果是按顺时针旋转，则应左乘下面这个矩阵
$$\left(\begin{array}{cc}\overrightarrow{c_1}& \overrightarrow{c_2}\end{array}\right)=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

不知道你们有没用过矢量作图软件，软件有个功能是绕着线段某个端点旋转，这条线段的两个端点都不在原点。这种情况要怎么计算旋转后的坐标。如下图所示

图-2

即，令线段AB绕着A点逆时针旋转$\theta$度至C点，求C点的坐标。
我没有开发过这类软件，如果说的不对或者还有更好的方法，欢迎朋友们在评论区留言。我是这样想的，首先，用终点坐标B减去起点坐标A，得到有向线段$\overrightarrow{AB}$的向量表示$(1,1{)}^T$；然后，用式(2)中的旋转矩阵左乘向量，如式(4)所示

$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\cos \theta -\sin \theta \\ \cos \theta +\sin \theta \end{array}\right]\text{\hspace{1em}(4)}$$

最后，将式(4)右侧的向量加上A点坐标，即
$$\left[\begin{array}{c}\cos \theta -\sin \theta +1\\ \cos \theta +\sin \theta +1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$

式(5)中的向量就是C点坐标。

2 伸缩矩阵

假设有一条有向线段$\overrightarrow{AB}$沿着B点方向延长了$\overrightarrow{AB}$一倍的长度至点C，如下图所示，求C点坐标。

图-3

与上述方法一样，我们先将终点B的坐标减去起点A的坐标，得到有向线段$\overrightarrow{AB}$的向量表示。然后，用这个矩阵$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$左乘向量，即
$$\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(5)}$$

最后，将式(5)右侧的向量加上A点坐标，得到C点坐标$(3,1{)}^T$。左乘的这个矩阵给它一个名称，叫作伸缩矩阵。
这里我们也可以不用伸缩矩阵。因为是改变向量的长度，方向不变，所以还有一种更简单的方法就是直接用2乘以向量$[1,0{]}^T$，即

$$2\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right]$$

3 镜像矩阵

假设，如下图所示，有一个平行四边形ABCD要沿着直线$y=x$翻转，翻转后的平行四边形为$A^\prime D^\prime C^\prime B^\prime $。

图-4

假设上图中点A、B、C、D的坐标分别为$(a_1,a_2),(b_1,b_2),(c_1,c_2),(d_1,d_2)$，现在要求点$A^{\prime }$、$B^{\prime }$、$C^{\prime }$、$D^{\prime }$的坐标。
因为两个平行四边形的四个点关于$y=x$对称，所以，各点的$x,y$坐标对调一下就是镜像点的坐标。因此，可用矩阵
$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$左乘点A、B、C、D的坐标，得到点$A^{\prime }$、$B^{\prime }$、$C^{\prime }$、$D^{\prime }$坐标。

$$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& b_1& c_1& d_1\\ a_2& b_2& c_2& d_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{a}_2& b_2& c_2& d_2\\ a_1& b_1& c_1& d_1\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(6)}$$

上式中，矩阵$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$能使点A、B、C、D做关于直线$y=x$的镜像变换，所以可称它为镜像矩阵。

4 矩阵函数

最后说说关于矩阵函数这个概念。我们通常用$\mathbf{Ax}=\mathbf{b}$表示线性方程组，如果把等号右侧的$\mathbf{b}$替换为$\mathbf{y}$，即$\mathbf{y}=\mathbf{Ax}$，它就是矩阵函数。式中的$\mathbf{x}$和$\mathbf{y}$代表一组自变量和一组因变量，自变量与因变量之间的关系蕴含在$\mathbf{A}$里边。下面，我们一起看看矩阵$\mathbf{A}$、自变量$\mathbf{x}$、因变量$\mathbf{y}$之间具体是什么关系。

$$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
即，
$$\begin{array}{c}\{\begin{array}{c}{y}_1=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2\\ y_2=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2\end{array}\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$

从式(8)可以看出，因变量$y_1$与自变量$x_1,x_2$都有关系，也就是$y_1$与所有的自变量都有关系。同样的，$y_2$与所有的自变量都有关系。但是$y_1$只与矩阵$\mathbf{A}$的第一行有关系，$y_2$只与矩阵$\mathbf{A}$的第二行有关系。

假设某椭圆$\mathfrak{E}$的参数方程为$\{\begin{array}{l}x=2\cos \alpha \\ y=\sin \alpha \end{array},0⩽\alpha ⩽2\pi$.
令式(7)中的$x_1=2\cos \alpha ,x_2=\sin \alpha$，再令式(7)中的$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]$等于式(2)中的旋转矩阵，即

$$\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$$

则有
$$\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\cos \alpha \\ \sin \alpha \end{array}\right],0⩽\alpha ⩽2\pi \text{\hspace{1em}(9)}$$
那么，式(9)所示的矩阵函数表示的是椭圆$\mathfrak{E}$逆时针旋转$\theta$度后的椭圆。