动态规划11，完全背包模板

news2025/10/31 21:20:52

NC309 完全背包

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问题一：求这个背包至多能装多大价值的物品？

状态表示：经验+题目要求
dp[i][j] 表示从前i个物品中挑选，总体积不超过j，所有选法中，能选出来的最大价值。
状态转移方程
根据最后一步的状态：选还是不选，选的话选几个

这里有一个化简的过程

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初始化
i为0，表示从前0个物品选，当然全为0；
j为0，表示从前i个物品选，总体积不超过0，也全为0；
填表顺序
从上往下填每一行
每一行从左往右

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问题二：若背包恰好装满，求至多能装多大价值的物品？

状态表示：经验+题目要求
dp[i][j] 表示从前i个物品中挑选，总体积正好等于j，所有选法中，能选出来的最大价值。
状态转移方程
根据最后一步的状态：选还是不选，同时当无法体积为j的时候，就令值为-1；

如果不选：dp[i][j] = dp[i-1][ j ]; 不用考虑等不等于-1
如果选： dp[i][j] = w[i] + dp[ i ][ j - v[i] ]; 但同时需要注意 j-v[i] 的大小，不能为负数。
同时需要注意dp[i-1][ j - v[i] ]不为-1

初始化
i为0，表示从前0个物品选，总体积正好等于 j ，除了0后面全为-1；
j为0，表示从前i个物品选，总体积正好为0，也全为0；

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4. 填表顺序
从上到下

vector<int> knapsack(int v, int n, vector<vector<int> >& nums) {
        // write code here
        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(v+1));

        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j<=v; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(j - nums[i-1][0] >= 0)
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j - nums[i-1][0]] + nums[i-1][1] );
            }
        }

        vector<int> ret;

        ret.push_back(dp[n][v]);

        for(int j = 1; j<=v; j++)
            dp[0][j] = -1;
        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j<=v; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(j - nums[i-1][0] >= 0 && dp[i][j-nums[i-1][0]] != -1)
                    dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i][j - nums[i-1][0]] + nums[i-1][1] );
            }
        }
        ret.push_back(dp[n][v] == -1 ? 0 : dp[n][v]);

        return ret;
    }

322. 零钱兑换

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状态表示：经验+题目要求
dp[i][j] 表示从前i个硬币中挑选，总体积正好等于j，所有选法中，最少的硬币个数。
状态转移方程
根据最后一步的状态：选还是不选。

同完美背包问题
在这里插入图片描述

初始化
j为0不用管，当i为0时为了不影响min判断，我们设大值0x3f3f3f3f;

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        const int INF = 0x3f3f3f3f;
        int n = coins.size();

        vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(amount+1));
        for(int j = 1; j<= amount; j++)
            dp[0][j] = INF;

        for(int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for(int j = 1; j<=amount; j++)
            {
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
                if(j - coins[i-1] >= 0)
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j - coins[i-1]] + 1 );
            }
        }
        return dp[n][amount] >= INF ? -1 : dp[n][amount];
    }
};

518. 零钱兑换 II

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状态表示：经验+题目要求
dp[i][j] 表示从前i个硬币中挑选，总体积正好等于j，所有选法中，一共有多少种方法。
状态转移方程
根据最后一步的状态：选还是不选。

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初始化

在这里插入图片描述

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        int n = coins.size();
        vector<vector<int>> dp(n+1, vector<int>(amount+1));
        dp[0][0] = 1;
        for(int i = 1; i<=n; i++)
        {
            for(int j = 0; j <= amount; j++)
            {
                dp[i][j] += dp[i-1][j];
                if( j >= coins[i-1])
                {
                    dp[i][j] += dp[i][j-coins[i-1]];
                }    
            }
        }

        return dp[n][amount];
    }
};