数学建模——Box-Cox变换

news2025/10/31 5:17:35

用途：当某个随机变量 $X$ 不服从正态分布的时候，可以尝试通过这种变换将其变成正态分布。

两个常用的变换

对数变换：已知随机变量 $X$ ，如果有 $\ln X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，那么对 $X$ 使用对数变换。适合随着自变量的增加，因变量的方差也增大的模型。
平方根变换：已知随机变量 $X$ ，如果有 $\sqrt X\sim N(\mu,\sigma^2)$ ，那么对 $X$ 使用平方根变换。适合服从Poission分布的计数资料，或轻度偏态资料。

Box-Cox 变换简介

Box-Cox变换的基本思想是通过对数据进行一定的变换，使得变换后的数据更加符合正态分布的特征。这种变换是一种幂函数变换，其公式如下：
$\tilde{y}=\left \{{\begin{matrix}\cfrac{{{y}^{\lambda }}-1}{\lambda },&\lambda \ne 0\\\ln{y},&\lambda =0\end{matrix}}\right .$

将原数据 $y$ 变为大致服从正态分布的 $\tilde y$ 。Box-Cox 变换可以很好地根据一组随机变量 $X$ 的观测值，构造出一个服从正态分布的变量 $\tilde X$ ，从而能够根据这个正态分布进行一些数据分析。传统的 Fitter 库给出的最佳拟合可能是一些从来没有见过的分布函数。
注意上式只适合非负数，如果存在负数，需要将 $y$ 加上一个偏移量后再进行 Box-Cox 变换。
对数变换是 $\lambda =0$ 的 Box-Cox 变换，平方根变换是 $\lambda=1/2$ 的 Box-Cox 变换。

代码实例

from scipy.stats import boxcox
# 下面这个库也含有 boxcox 变换方法，但是这个库的 boxcox 需要自行提供 λ。而 scipy.stats.boxcox 可以通过极大似然等方法自行计算 λ。
# from scipy.special import boxcox

from scipy.special import inv_boxcox
import numpy as np

np.random.seed(114514)
# F 分布有点偏态正态分布的意思，生成一组 F 分布数据
x = np.random.f(dfnum=3, dfden=10, size=10000)

# box-cox 正变换
y, lambda_ = boxcox(x, lmbda=None, alpha=None)
print(lambda_)
# 0.1678598919247737

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

plt.rcParams['font.family'] = 'Euclid'
plt.subplot(121)
sns.distplot(x)
plt.title('Origin')
plt.subplot(122)
sns.distplot(y)
plt.title('Transformed')
plt.show()

# 这是反变换，经验证和之前的 x 是一样的
x = inv_boxcox(y, lambda_)