【数据结构初阶】二叉树--堆(顺序结构实现)

news2025/10/31 9:45:24

hello！

目录

一、实现顺序结构二叉树

1.1  堆的概念和结构

1.2  堆及二叉树的性质

1.3  堆的实现

1.3.1  创建堆的结构

1.3.2  初始化和销毁

1.3.3  入堆+向上调整算法（创建一个小堆）

1.3.4  出堆+向下调整算法（小堆）

1.3.5  判空+取堆顶数据+堆中有效数据个数

二、顺序结构二叉树---源码

Heap.h

Heap.c

test.c

Relaxing Time！

—————————————  《星空物语》  —————————————

正文开始——

一、实现顺序结构二叉树

一般堆使用顺序结构的数组来存储数据，堆是一种特殊的二叉树，分为大根堆（大堆）和小根堆（小堆），具有二叉树的特性的同时，还具备其他的特性。

1.1  堆的概念和结构

如果有一个关键码的集合K={k1，k2,，k3，...，k（n-1）}，把它的所有元素按完全二叉树的顺序存储方式存储，在一个一维数组中，并满足：Ki <= K(2*i+1)（Ki >= K(2*i+1) 且 Ki >= K(2*i+2)），i = 0，1，2...，则称为小堆（或大堆）。将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆。

小堆：父结点不大于孩子结点；大堆：父结点不小于孩子结点。

数组不一定是有序地。小堆堆顶是堆的最小值，大堆堆顶是堆的最大值。 

1.2  堆及二叉树的性质

堆的性质

  • 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
  • 堆总是一棵完全二叉树。

二叉树的性质

  • 对于具有 n 个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有结点从0开始编号，则对于序号为 i 的结点有：
  1.  若 i > 0，i 位置结点的双亲序号：（ i - 1）/ 2；i = 0，i 为根结点编号，无双亲结点；
  2. 若 2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n 则无左孩子；
  3. 若 2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n 则无右孩子；

通俗点来讲，父结点i---> 左孩子：2i+1，右孩子：2i+2。

1.3  堆的实现

1.3.1  创建堆的结构

堆的底层结构是数组 

//创建堆的结构
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* arr;
	int size;//堆中有效数据的个数
	int capacity;//堆的容量
}HP;

1.3.2  初始化和销毁

//初始化
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->arr = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);

	 if(php->arr)
	{
		free(php->arr);
		php->arr = NULL;
	}

	php->size = php->capacity = 0;

}

1.3.3  入堆+向上调整算法（创建一个小堆）

将新数据插入到数组的尾上，再进行向上调整算法，直到满足堆。

向上调整算法

  • 先将元素插入到堆的末尾，即最后一个子结点之后；
  • 插入之后如果堆的性质遭到破坏，将新插入结点顺着双亲结点往上调整到合适位置即可。 

【举例，向上调整算法】

思路：新插入的数据作为子结点（child），找到新插入数据的父结点（parent=（child-1）/ 2）（上面二叉树的性质），父结点和子结点进行比较，若父结点大于子结点，数据交换，不大于则不交换。再找新的父结点和子结点，循环条件是 child>0，child不需要等于0，child等于0时为根结点，根结点没有父结点不需要发生交换。

void Swap(int* x, int* y)
{
	int tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child > 0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
	assert(php);

	//判断空间是否充足
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc file!");
			exit(1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}
	//此时空间已经充足
    //我们应该清楚地知道，size是x的下标，size在数组中指向x这个元素
	php->arr[php->size] = x;

	//向上调整算法
	AdjustUp(php->arr, php->size);

	php->size++;
}

1.3.4  出堆+向下调整算法（小堆）

堆的删除（出堆）

删除堆是删除堆顶的数据，将堆顶的数据跟最后一个数据进行交换，然后删除数组最后一个数据，再进行向下调整算法。

向下调整算法有一个前提：左右子树必须是一个堆，才能进行调整。

出堆

  • 将堆顶元素与堆中最后一个元素进行交换；
  • 删除堆中最后一个元素；
  • 将堆顶元素向下调整到满足堆特性为止。

 【向下调整算法】

思路：堆顶元素为父结点，找到左右孩子中最小的那个子结点与之比较，若父结点大于子结点，交换，不大于则不交换，不断找新的父结点和子结点，就这样循环，注意循环结束的条件。上代码，结合代码中的注释更好的理解。

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child < n)
	{
		//找左右孩子中最小的
        //child + 1 < n , 保证不越界
		if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (arr[parent] > arr[child])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//出堆
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php && php->size);
    
	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);
	php->size--;//删除掉最后一个数据(堆顶元素)

	//向下调整算法
	AdjustDown(php->arr, 0, php->size);

}

1.3.5  判空+取堆顶数据+堆中有效数据个数

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php && php->size);

	return php->arr[0];
}

//堆中有效数据的个数
int HPSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

二、顺序结构二叉树---源码

Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
#include<assert.h>

//创建堆的结构
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* arr;
	int size;//堆中有效数据个数
	int capacity;//堆的容量
}HP;

//初始化
void HPInit(HP* php);

//销毁
void HPDestroy(HP* php);

//入堆
void HPPush(HP* php, HPDataType x);

//出堆
void HPPop(HP* php);

//判空
bool HPEmpty(HP* php);

//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php);

//堆中有效数据的个数
int HPSize(HP* php);

Heap.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"

//初始化
void HPInit(HP* php)
{
	assert(php);
	php->arr = NULL;
	php->size = php->capacity = 0;
}

//销毁
void HPDestroy(HP* php)
{
	assert(php);
	if (php->arr)
	{
		free(php->arr);
		php->arr = NULL;
	}
}

void Swap(int* x, int* y)
{
	int tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}

//向上调整算法
void AdjustUp(HPDataType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;

	while (child > 0)//不需要等于0，child等于0时为根结点，根结点没有父结点不需要发生交换
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//入堆
void HPPush(HP* php,HPDataType x)
{
	assert(php);

	//判断空间是否充足
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newCapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->arr, newCapacity * sizeof(HPDataType));
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc file!");
			exit(1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newCapacity;
	}

	//此时空间已经充足
	php->arr[php->size] = x;

	//向上调整算法
	AdjustUp(php->arr, php->size);

	php->size++;

}

//向下调整算法
void AdjustDown(HPDataType* arr, int parent, int n)
{
	int child = parent * 2 + 1;//左孩子
	while (child < n)
	{
		//找左右孩子中最小的
		if (child + 1 < n && arr[child] > arr[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (arr[parent] > arr[child])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

//出堆
void HPPop(HP* php)
{
	assert(php && php->size);

	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size-1]);
	php->size--;

	//向下调整算法
	AdjustDown(php->arr, 0, php->size);

}

//判空
bool HPEmpty(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

//取堆顶数据
HPDataType HPTop(HP* php)
{
	assert(php && php->size);

	return php->arr[0];
}

//堆中有效数据的个数
int HPSize(HP* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}

test.c

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS 1
#include"Heap.h"

void test01()
{
	HP hp;
	HPInit(&hp);

	int arr[] = { 1,3,5,7,4,10,8 };

	for (int i = 0; i < 7; i++)
	{
		HPPush(&hp, arr[i]);
	}

	printf("堆中有效数据个数：%d\n", HPSize(&hp));

	while (!HPEmpty(&hp))
	{
		printf("%d ", HPTop(&hp));
		HPPop(&hp);
	}



	HPDestroy(&hp);


}

int main()
{

	test01();
	return 0;
}

完——

Relaxing Time!

—————————————  《星空物语》  —————————————

星空物语（电视剧《一起来看流星雨》主题曲） - 张翰/朱梓骁/魏晨/俞灏明 - 单曲 - 网易云音乐

我是云边有个稻草人

期待与你的下一次相遇——

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