1. 大纲

• 给定一个秩为1的矩阵A，m行，n列，如果在矩阵A中给定m+n-1 个非零的值，请问如何填充这个矩阵A,使得矩阵A 填满？
• 卷积和循环卷积矩阵，通过信号与系统中的卷积方式处理相关数据，求循环卷积矩阵的特征值和特征向量？

2. 填充秩1矩阵

2.1 举例

假设我们有一个矩阵A，我们定义其秩为1,，3行3列，具体组成如下：
$$\begin{array}{c}A=\left[\begin{array}{ccc}3& 4& 5\\ & & \\ 6& a_{22}& a_{23}\\ & & \\ 9& a_{32}& a_{33}\end{array}\right];\mathrm{Rank}(\mathrm{A})=1\end{array}$$

• 因为我们知道矩阵A的秩为1，那么我们可以通过比例计算出其他值，具体如下：
  $$\begin{array}{c}{a}_{22}=\frac{6\cdot 4}{3}=8;a_{23}=\frac{6\cdot 5}{3}=10;a_{32}=\frac{9\cdot 4}{3}=12;a_{33}=\frac{9\cdot 5}{3}=15;\end{array}$$

2.2 二分图

我们根据给定的矩阵A，来绘制对应的二分图，二分图中没有形成闭环，所以可以填满矩阵A的值
，给定的非零值，任意四个组成的行列式为非零行列式

3. 循环卷积矩阵

循环卷积矩阵C，每一列元素一样，但是第i列通过移位得到第i+1列
$$\begin{array}{c}C=\left[\begin{array}{cccc}2& 5& 1& 0\\ & & & \\ 0& 2& 5& 1\\ & & & \\ 1& 0& 2& 5\\ & & & \\ 5& 1& 0& 2\end{array}\right]\end{array}$$

• 循环矩阵P表示如下：
  $$\begin{array}{c}P=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right];X_a=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \\ x_2\\ \\ x_3\\ \\ x_4\end{array}\right];\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ \\ x_2\\ \\ x_3\\ \\ x_4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{x}_2\\ \\ x_3\\ \\ x_4\\ \\ x_1\end{array}\right]\end{array}$$
• 我们发现，通过循环矩阵P可以将向量X中的元素进行元素循环。
  $$\begin{array}{c}P=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right];P^2=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right];P^3=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right];P^4=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ & & & \\ 0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]=I;\end{array}$$
• 那么对于任意一个循环卷积矩阵来说，可以表示如下：
  
• 矩阵P的特征向量就是矩阵C的特征向量
• 矩阵P的特征值，特征向量
  $$\begin{array}{c}P=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right];\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\end{array}\right]\Rightarrow {\lambda }_1=1,v_1=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ 1\\ \\ 1\\ \\ 1\end{array}\right];\end{array}$$

$$\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\\ & & & \\ 0& 0& 1& 0\\ & & & \\ 0& 0& 0& 1\\ & & & \\ 1& 0& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ \\ -1\\ \\ 1\\ \\ -1\end{array}\right]=-1\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ \\ -1\\ \\ 1\\ \\ -1\end{array}\right]\Rightarrow {\lambda }_2=-1,v_2=\left[\begin{array}{c}1\\ \\ -1\\ \\ 1\\ \\ -1\end{array}\right];\end{array}$$