1. 集合与映射
1.12 函数(实函数)
函数是映射的一种特殊情况,
  
     
      
       
       
         f 
        
       
         : 
        
       
         X 
        
       
         ⟶ 
        
       
         Y 
        
       
      
        f:\textbf{X}\longrightarrow \textbf{Y} 
       
      
    f:X⟶Y
  
     
      
       
       
         x 
        
       
         ⟼ 
        
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
      
        x\longmapsto y=f(x) 
       
      
    x⟼y=f(x)
 如果 
     
      
       
       
         X 
        
       
         ⊂ 
        
       
         R 
        
       
         , 
        
       
         Y 
        
       
         = 
        
       
         R 
        
       
      
        \textbf{X}\subset\mathbb{R},\textbf{Y}=\mathbb{R} 
       
      
    X⊂R,Y=R,则称 
     
      
       
       
         f 
        
       
      
        f 
       
      
    f为一元实函数,简称函数。
 对函数来说,可表示为 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         x 
        
       
         ∈ 
        
       
         X 
        
       
         = 
        
        
        
          D 
         
        
          f 
         
        
       
      
        y=f(x),x\in\textbf{X}=\textbf{D}_{f} 
       
      
    y=f(x),x∈X=Df
 【注】 
     
      
       
        
        
          D 
         
        
          f 
         
        
       
      
        \textbf{D}_{f} 
       
      
    Df是 
     
      
       
       
         f 
        
       
      
        f 
       
      
    f的定义域
【例】有一块正方形铁板,把正方形四个角都挖掉一个相同的小的正方形,把它折起来变成一个无盖子的长方体,假设正方形的边长为 
     
      
       
       
         a 
        
       
      
        a 
       
      
    a,挖掉的正方形的边长为 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x,求其体积 
     
      
       
       
         V 
        
       
      
        V 
       
      
    V。
 
 
     
      
       
       
         V 
        
       
         = 
        
       
         x 
        
       
         ( 
        
       
         a 
        
       
         − 
        
       
         2 
        
       
         x 
        
        
        
          ) 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
       
         x 
        
       
         ∈ 
        
        
        
          ( 
         
        
          0 
         
        
          , 
         
         
         
           a 
          
         
           2 
          
         
        
          ) 
         
        
       
      
        V=x(a-2x)^{2},x\in\left(0,\frac{a}{2}\right) 
       
      
    V=x(a−2x)2,x∈(0,2a)
 其中 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x为自变量, 
     
      
       
       
         V 
        
       
      
        V 
       
      
    V为因变量。
 【注】定义域中 
     
      
       
        
        
          a 
         
        
          2 
         
        
       
      
        \frac{a}{2} 
       
      
    2a是右开的,是因为挖小正方向,最多挖到小正方形边长小于大正方形边长一半,如果正好挖到一半,这个大正方形就挖没了,没有意义了。
1.13 基本初等函数
- 常数函数: y = c y=c y=c
- 幂函数: y = x α , ( α ∈ R ) y=x^{\alpha},(\alpha\in\mathbb{R}) y=xα,(α∈R)
- 指数函数: y = a x , ( 0 < a , a ≠ 1 ) y=a^{x},(0<a,a\ne 1) y=ax,(0<a,a=1)
- 对数函数: y = log a x ( a > 0 , a ≠ 1 ) y=\text{log}_{a}x(a>0,a\ne 1) y=logax(a>0,a=1)
- 三角函数: y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x , . . . y=\text{sin}x,y=\text{cos}x,y=\text{tan}x,y=\text{cot}x,... y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,...
- 反三角函数: 
      
       
        
        
          y 
         
        
          = 
         
        
          arcsin 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
        
          arccos 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
        
          arctan 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          . 
         
        
          . 
         
        
          . 
         
        
       
         y=\text{arcsin}x,y=\text{arccos}x,y=\text{arctan}x,... 
        
       
     y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,...
 补一下中学没学过的函数,考研的时候学过,有点忘了:
  
  
  
  
1.14 初等函数
- 初等函数是由基本初等函数经过有限次四则运算与复合运算所产生的函数。
 【例】 y = a x 2 + b x + c y=ax^{2}+bx+c y=ax2+bx+c
 【例】 y = log a ( 1 + x ) x 2 + 1 y=\frac{\text{log}_{a}(1+x)}{\sqrt{x^{2}+1}} y=x2+1loga(1+x)
 【例】 y = sin 1 x + cos 2 x y=\text{sin}\frac{1}{x}+\text{cos}^{2}x y=sinx1+cos2x
 【例】 y = e − x 2 + arctan 1 x y=e^{-x^{2}}+\text{arctan}\frac{1}{x} y=e−x2+arctanx1
- 自然定义域:自变量的最大取值范围(如果函数不标明定义域,就认为其定义域是自然定义域)
 【例】 y = x n , n ∈ N + y=x^{n},n\in\mathbb{N}^{+} y=xn,n∈N+,它的自然定义域为 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(−∞,+∞), y = sin x , a x , . . . y=\text{sin}x,a^{x},... y=sinx,ax,...它们的自然定义域都是 D = ( − ∞ , + ∞ ) \textbf{D}=(-\infty,+\infty) D=(−∞,+∞);
 y = log a x y=\text{log}_{a}x y=logax的自然定义域是 D = ( 0 , + ∞ ) \textbf{D}=(0,+\infty) D=(0,+∞);
 y = arcsin x y=\text{arcsin}x y=arcsinx的自然定义域为 D = [ − 1 , 1 ] \textbf{D}=[-1,1] D=[−1,1]
 y = x α , α = 1 3 , D = ( − ∞ , + ∞ ) y=x^{\alpha},\alpha=\frac{1}{3},\textbf{D}=(-\infty,+\infty) y=xα,α=31,D=(−∞,+∞)
 y = x α , α = 1 2 , D = [ 0 , + ∞ ) y=x^{\alpha},\alpha=\frac{1}{2},\textbf{D}=[0,+\infty) y=xα,α=21,D=[0,+∞)
 y = x α , α = − 1 2 , D = ( 0 , + ∞ ) y=x^{\alpha},\alpha=-\frac{1}{2},\textbf{D}=(0,+\infty) y=xα,α=−21,D=(0,+∞)
【例1.2.2】求自然定义域 
     
      
       
       
         D 
        
       
      
        \textbf{D} 
       
      
    D与值域 
     
      
       
       
         R 
        
       
      
        \textbf{R} 
       
      
    R。
 (1) 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         x 
        
       
         + 
        
        
        
          1 
         
        
          x 
         
        
       
      
        y=x+\frac{1}{x} 
       
      
    y=x+x1, 
     
      
       
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         ∞ 
        
       
         , 
        
       
         0 
        
       
         ) 
        
       
         ∪ 
        
       
         ( 
        
       
         0 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         R 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         ∞ 
        
       
         , 
        
       
         − 
        
       
         2 
        
       
         ] 
        
       
         ∪ 
        
       
         [ 
        
       
         2 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{D}=(-\infty,0)\cup(0,+\infty),\textbf{R}=(-\infty,-2]\cup[2,+\infty) 
       
      
    D=(−∞,0)∪(0,+∞),R=(−∞,−2]∪[2,+∞),这个是对号函数,其图像和性质如下:
 
 (2) 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         arcsin 
        
        
         
         
           2 
          
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           1 
          
         
        
          3 
         
        
       
         , 
        
       
         − 
        
       
         1 
        
       
         ≤ 
        
        
         
         
           2 
          
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           1 
          
         
        
          3 
         
        
       
         ≤ 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         [ 
        
       
         − 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         2 
        
       
         ] 
        
       
         , 
        
       
         R 
        
       
         = 
        
        
        
          [ 
         
        
          − 
         
         
         
           π 
          
         
           2 
          
         
        
          , 
         
         
         
           π 
          
         
           2 
          
         
        
          ] 
         
        
       
      
        y=\text{arcsin}\frac{2x-1}{3},-1\le\frac{2x-1}{3}\le1,\textbf{D}=[-1,2],\textbf{R}=\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right] 
       
      
    y=arcsin32x−1,−1≤32x−1≤1,D=[−1,2],R=[−2π,2π]
 (3) 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
        
         
         
           3 
          
         
           + 
          
         
           2 
          
         
           x 
          
         
           − 
          
          
          
            x 
           
          
            2 
           
          
         
        
       
         = 
        
        
         
         
           ( 
          
         
           3 
          
         
           − 
          
         
           x 
          
         
           ) 
          
         
           ( 
          
         
           1 
          
         
           + 
          
         
           x 
          
         
           ) 
          
         
        
       
         , 
        
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         [ 
        
       
         − 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         3 
        
       
         ] 
        
       
         , 
        
       
         R 
        
       
         = 
        
       
         [ 
        
       
         0 
        
       
         , 
        
       
         2 
        
       
         ] 
        
       
      
        y=\sqrt{3+2x-x^{2}}=\sqrt{(3-x)(1+x)},\textbf{D}=[-1,3],\textbf{R}=[0,2] 
       
      
    y=3+2x−x2=(3−x)(1+x),D=[−1,3],R=[0,2](根号下的二次函数对称轴处取得的值就是值域的最值,也就是 
     
      
       
       
         x 
        
       
         = 
        
       
         1 
        
       
      
        x=1 
       
      
    x=1的时候, 
     
      
       
        
        
          y 
         
         
         
           m 
          
         
           a 
          
         
           x 
          
         
        
       
         = 
        
       
         2 
        
       
      
        y_{max}=2 
       
      
    ymax=2
 (4) 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
        
        
          log 
         
        
          a 
         
        
        
         
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           2 
          
         
         
          
          
            x 
           
          
            2 
           
          
         
           − 
          
         
           3 
          
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           4 
          
         
        
       
         = 
        
        
        
          log 
         
        
          a 
         
        
        
         
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           2 
          
         
         
         
           ( 
          
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           4 
          
         
           ) 
          
         
           ( 
          
         
           x 
          
         
           + 
          
         
           1 
          
         
           ) 
          
         
        
       
      
        y=\text{log}_{a}\frac{x-2}{x^{2}-3x-4}=\text{log}_{a}\frac{x-2}{(x-4)(x+1)} 
       
      
    y=logax2−3x−4x−2=loga(x−4)(x+1)x−2,则 
     
      
       
        
         
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           2 
          
         
         
         
           ( 
          
         
           x 
          
         
           − 
          
         
           4 
          
         
           ) 
          
         
           ( 
          
         
           x 
          
         
           + 
          
         
           1 
          
         
           ) 
          
         
        
       
         > 
        
       
         0 
        
       
      
        \frac{x-2}{(x-4)(x+1)}>0 
       
      
    (x−4)(x+1)x−2>0且分母 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         − 
        
       
         4 
        
       
         ) 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         + 
        
       
         1 
        
       
         ) 
        
       
         ≠ 
        
       
         0 
        
       
      
        (x-4)(x+1)\ne 0 
       
      
    (x−4)(x+1)=0,相当于 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         − 
        
       
         2 
        
       
         ) 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         − 
        
       
         4 
        
       
         ) 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         + 
        
       
         1 
        
       
         ) 
        
       
         > 
        
       
         0 
        
       
      
        (x-2)(x-4)(x+1)>0 
       
      
    (x−2)(x−4)(x+1)>0且 
     
      
       
       
         x 
        
       
         ≠ 
        
       
         4 
        
       
         , 
        
       
         x 
        
       
         ≠ 
        
       
         − 
        
       
         1 
        
       
      
        x\ne 4,x\ne -1 
       
      
    x=4,x=−1,由标根穿线法(从右上开始往下穿,奇次因子穿,偶次因子不穿),穿线后别忘了和分母不为0的情况做交集:
 
 所以 
     
      
       
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         [ 
        
       
         − 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         2 
        
       
         ) 
        
       
         ∪ 
        
       
         ( 
        
       
         4 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{D}=[-1,2)\cup(4,+\infty) 
       
      
    D=[−1,2)∪(4,+∞),由于取了自然定义域,满足了 
     
      
       
        
        
          log 
         
        
          a 
         
        
       
         u 
        
       
         , 
        
       
         u 
        
       
         > 
        
       
         0 
        
       
      
        \text{log}_{a}u,u>0 
       
      
    logau,u>0的情况,所以其值域 
     
      
       
       
         R 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         ∞ 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{R}=(-\infty,+\infty) 
       
      
    R=(−∞,+∞)
1.15 函数的表示
1.15.1 显示表示
y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)为函数的显示表示,把自变量放到右边,因变量放到左边。
1.15.2 分段表示
分段表示: 
     
      
       
       
         A 
        
       
      
        \textbf{A} 
       
      
    A和 
     
      
       
       
         B 
        
       
      
        \textbf{B} 
       
      
    B是实数集合 
     
      
       
       
         R 
        
       
      
        \mathbb{R} 
       
      
    R的子集,且 
     
      
       
       
         A 
        
       
         ∩ 
        
       
         B 
        
       
         = 
        
       
         ∅ 
        
       
      
        \textbf{A}\cap\textbf{B}=\emptyset 
       
      
    A∩B=∅, 
     
      
       
       
         φ 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
      
        \varphi (x) 
       
      
    φ(x)定义在 
     
      
       
       
         A 
        
       
      
        \textbf{A} 
       
      
    A上, 
     
      
       
       
         ψ 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
      
        \psi (x) 
       
      
    ψ(x)定义在 
     
      
       
       
         B 
        
       
      
        \textbf{B} 
       
      
    B上。
  
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
        
        
          { 
         
         
          
           
            
             
             
               φ 
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               ) 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               x 
              
             
               ∈ 
              
             
               A 
              
             
            
           
          
          
           
            
             
             
               ψ 
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               ) 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               x 
              
             
               ∈ 
              
             
               B 
              
             
            
           
          
         
        
       
      
        f(x)=\left\{\begin{array}{ll} \varphi(x), & x\in\textbf{A} \\ \psi (x), & x\in\textbf{B} \end{array}\right. 
       
      
    f(x)={φ(x),ψ(x),x∈Ax∈B
 称 
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
      
        f(x) 
       
      
    f(x)这样的表示为函数的分段表示(可以分成3,4,…无限段)。
【例1.2.9】有两个城市甲和乙,有一个在甲城,他有一天开汽车去乙,其具体走法如下:
 
 求路程 
     
      
       
       
         S 
        
       
      
        S 
       
      
    S与时间 
     
      
       
       
         t 
        
       
      
        t 
       
      
    t的函数关系。
 【解】 
     
      
       
       
         S 
        
       
         ( 
        
       
         t 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
        
        
          { 
         
         
          
           
            
             
             
               45 
              
             
               t 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               0 
              
             
               ≤ 
              
             
               t 
              
             
               < 
              
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
            
           
          
          
           
            
             
             
               45 
              
             
               × 
              
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
               + 
              
             
               100 
              
             
               × 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               − 
              
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
               ) 
              
             
               = 
              
             
               30 
              
             
               + 
              
             
               100 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               − 
              
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
               ) 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
               ≤ 
              
             
               t 
              
             
               < 
              
             
               ( 
              
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
               + 
              
              
              
                7 
               
              
                4 
               
              
             
               ) 
              
             
               = 
              
             
               2 
              
              
              
                5 
               
              
                12 
               
              
             
            
           
          
          
           
            
             
             
               30 
              
             
               + 
              
             
               100 
              
             
               ( 
              
             
               2 
              
              
              
                5 
               
              
                12 
               
              
             
               − 
              
              
              
                2 
               
              
                3 
               
              
             
               ) 
              
             
               + 
              
             
               40 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               − 
              
             
               2 
              
              
              
                5 
               
              
                12 
               
              
             
               ) 
              
             
               = 
              
             
               205 
              
             
               + 
              
             
               40 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               − 
              
             
               2 
              
              
              
                5 
               
              
                12 
               
              
             
               ) 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               2 
              
              
              
                5 
               
              
                12 
               
              
             
               ≤ 
              
             
               t 
              
             
               < 
              
             
               ( 
              
             
               2 
              
              
              
                5 
               
              
                12 
               
              
             
               + 
              
              
              
                1 
               
              
                2 
               
              
             
               ) 
              
             
               = 
              
             
               2 
              
              
              
                11 
               
              
                12 
               
              
             
            
           
          
         
        
       
      
        S(t)=\left\{\begin{array}{ll} 45t, & 0\le t < \frac{2}{3} \\ 45\times\frac{2}{3}+100\times(t-\frac{2}{3})=30+100(t-\frac{2}{3}), & \frac{2}{3}\le t < (\frac{2}{3}+ \frac{7}{4} )=2\frac{5}{12}\\ 30+100(2\frac{5}{12}-\frac{2}{3})+40(t-2\frac{5}{12})=205+40(t-2\frac{5}{12}), & 2\frac{5}{12}\le t < (2\frac{5}{12}+\frac{1}{2})=2\frac{11}{12} \end{array}\right. 
       
      
    S(t)=⎩ 
             ⎨ 
             ⎧45t,45×32+100×(t−32)=30+100(t−32),30+100(2125−32)+40(t−2125)=205+40(t−2125),0≤t<3232≤t<(32+47)=21252125≤t<(2125+21)=21211
【注】如果一段分段区间左闭右开,则整个分段函数最好统一。
【例1.2.10】【符号函数】
  
     
      
       
       
         sgn 
        
       
         x 
        
       
         = 
        
        
        
          { 
         
         
          
           
            
             
             
               1 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               x 
              
             
               > 
              
             
               0 
              
             
            
           
          
          
           
            
             
             
               0 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               x 
              
             
               = 
              
             
               0 
              
             
            
           
          
          
           
            
             
             
               − 
              
             
               1 
              
             
               , 
              
             
            
           
           
            
             
             
               x 
              
             
               < 
              
             
               0 
              
             
            
           
          
         
        
       
      
        \text{sgn}x=\left\{\begin{array}{ll} 1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0 \end{array}\right. 
       
      
    sgnx=⎩ 
             ⎨ 
             ⎧1,0,−1,x>0x=0x<0
 
 它的定义域 
     
      
       
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         ∞ 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{D}=(-\infty,+\infty) 
       
      
    D=(−∞,+∞),值域 
     
      
       
       
         R 
        
       
         = 
        
       
         { 
        
       
         − 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         0 
        
       
         , 
        
       
         1 
        
       
         } 
        
       
      
        \textbf{R}=\{-1,0,1\} 
       
      
    R={−1,0,1}
 【例1.2.11】【“整数部分”函数】"[]"表示 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x的整数部分,向下取整,比如 
     
      
       
       
         x 
        
       
         = 
        
       
         3.5 
        
       
         , 
        
       
         [ 
        
       
         x 
        
       
         ] 
        
       
         = 
        
       
         3 
        
       
         ; 
        
       
         x 
        
       
         = 
        
       
         − 
        
       
         2.7 
        
       
         , 
        
       
         [ 
        
       
         x 
        
       
         ] 
        
       
         = 
        
       
         − 
        
       
         3 
        
       
      
        x=3.5,[x]=3;x=-2.7,[x]=-3 
       
      
    x=3.5,[x]=3;x=−2.7,[x]=−3。
  
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         [ 
        
       
         x 
        
       
         ] 
        
       
         = 
        
       
         n 
        
       
         , 
        
       
         n 
        
       
         ≤ 
        
       
         x 
        
       
         < 
        
       
         n 
        
       
         + 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         n 
        
       
         ∈ 
        
       
         Z 
        
       
      
        y=[x]=n,n\le x < n+1,n\in\mathbb{Z} 
       
      
    y=[x]=n,n≤x<n+1,n∈Z,图像如下:
 
 它是分段表示的函数,分为无限可列段。
 定义域 
     
      
       
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         ∞ 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{D}=(-\infty,+\infty) 
       
      
    D=(−∞,+∞),值域 
     
      
       
       
         R 
        
       
         = 
        
       
         Z 
        
       
      
        \textbf{R}=\mathbb{Z} 
       
      
    R=Z
【例1.2.12】【“非负小数部分”函数】
  
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
       
         x 
        
       
         − 
        
       
         [ 
        
       
         x 
        
       
         ] 
        
       
      
        y=(x)=x-[x] 
       
      
    y=(x)=x−[x]
 其图像如下:
 
 定义域 
     
      
       
       
         D 
        
       
         = 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         ∞ 
        
       
         , 
        
       
         + 
        
       
         ∞ 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{D}=(-\infty,+\infty) 
       
      
    D=(−∞,+∞),值域 
     
      
       
       
         R 
        
       
         = 
        
       
         [ 
        
       
         0 
        
       
         , 
        
       
         1 
        
       
         ) 
        
       
      
        \textbf{R}=[0,1) 
       
      
    R=[0,1)
1.15.3 隐式表示
 
     
      
       
       
         F 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
       
         0 
        
       
      
        F(x,y)=0 
       
      
    F(x,y)=0(方程), 
     
      
       
       
         y 
        
       
      
        y 
       
      
    y和 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x的关系隐藏在方程中,称为函数的隐式表示。
 【例1.2.13】 
     
      
       
        
        
          x 
         
        
          2 
         
        
       
         + 
        
        
        
          y 
         
        
          2 
         
        
       
         = 
        
        
        
          R 
         
        
          2 
         
        
       
      
        x^{2}+y^{2}=R^{2} 
       
      
    x2+y2=R2(圆方程)
 
改成 
     
      
       
        
        
          x 
         
        
          2 
         
        
       
         + 
        
        
        
          y 
         
        
          2 
         
        
       
         − 
        
        
        
          R 
         
        
          2 
         
        
       
         = 
        
       
         0 
        
       
      
        x^{2}+y^{2}-R^{2}=0 
       
      
    x2+y2−R2=0就是隐函数
 对任意 
     
      
       
       
         x 
        
       
         ∈ 
        
       
         ( 
        
       
         − 
        
       
         R 
        
       
         , 
        
       
         R 
        
       
         ) 
        
       
      
        x\in(-R,R) 
       
      
    x∈(−R,R),有两个 
     
      
       
       
         y 
        
       
      
        y 
       
      
    y与它对应,这不符合函数的定义,我们限制 
     
      
       
       
         y 
        
       
         ≥ 
        
       
         0 
        
       
      
        y\ge 0 
       
      
    y≥0,则 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
        
         
          
          
            R 
           
          
            2 
           
          
         
           − 
          
          
          
            x 
           
          
            2 
           
          
         
        
       
      
        y=\sqrt{R^{2}-x^{2}} 
       
      
    y=R2−x2,限制 
     
      
       
       
         y 
        
       
         ≤ 
        
       
         0 
        
       
      
        y\le 0 
       
      
    y≤0,则 
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         − 
        
        
         
          
          
            R 
           
          
            2 
           
          
         
           − 
          
          
          
            x 
           
          
            2 
           
          
         
        
       
      
        y=-\sqrt{R^{2}-x^{2}} 
       
      
    y=−R2−x2,所以
  
     
      
       
        
        
          x 
         
        
          2 
         
        
       
         + 
        
        
        
          y 
         
        
          2 
         
        
       
         = 
        
        
        
          R 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ≥ 
        
       
         0 
        
       
      
        x^{2}+y^{2}=R^{2},y\ge 0 
       
      
    x2+y2=R2,y≥0是一个函数的隐式表示;而 
     
      
       
        
        
          x 
         
        
          2 
         
        
       
         + 
        
        
        
          y 
         
        
          2 
         
        
       
         = 
        
        
        
          R 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ≤ 
        
       
         0 
        
       
      
        x^{2}+y^{2}=R^{2},y\le 0 
       
      
    x2+y2=R2,y≤0是另外一个函数的隐式表示,这两个不是同一个函数。
 【注】并不是所有的函数都能反解出来函数的显示表达式。
【例1.2.14】【开普勒(Kepler)方程】
  
     
      
       
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         x 
        
       
         + 
        
       
         ε 
        
       
         sin 
        
       
         y 
        
       
      
        y=x+\varepsilon \text{sin}y 
       
      
    y=x+εsiny, 
     
      
       
       
         ε 
        
       
      
        \varepsilon 
       
      
    ε是椭圆的离心率 
     
      
       
       
         0 
        
       
         ≤ 
        
       
         ε 
        
       
         < 
        
       
         1 
        
       
      
        0\le\varepsilon <1 
       
      
    0≤ε<1,它描述的是天体和行星的关系, 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x是与时间有关的量, 
     
      
       
       
         y 
        
       
      
        y 
       
      
    y是与位置有关的量。
  
     
      
       
       
         y 
        
       
         − 
        
       
         x 
        
       
         − 
        
       
         ε 
        
       
         sin 
        
       
         y 
        
       
         = 
        
       
         0 
        
       
      
        y-x-\varepsilon \text{sin}y=0 
       
      
    y−x−εsiny=0是一个隐函数表示,但是没法反解出显示表达式,以后会有隐函数存在定理来判别,但是这个隐函数方程可以表示 
     
      
       
       
         y 
        
       
      
        y 
       
      
    y与 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x的函数关系。



















