目录
B树和B+树
B树
m阶B树的核心特性
B树的插入
B树的删除
非终端结点关键字
终端结点关键字
低于下限
B+树
散列（Hash）表
基本概念
散列函数的构造
👩💻 除留余数法
直接定址法
数字分析法
平方取中法
处理冲突的方法——拉链法
插入操作
查找操作
删除操作
处理冲突的方法——开放定址法
基本原理
元素的操作
插入
查找
👩💻 删除
四种常用的“探测序列”
四种增量序列的“覆盖率
B树和B+树
B树
含n个关键字的m叉B树
m阶B树的核心特性
- 👩💻 （尽可能“满”）根节点的子树∈[2,m]，关键字数∈[1,m-1]。其他结点的子树数∈[⌈m/2⌉,m]；关键字∈[⌈m/2⌉-1,m-1]
- 👩💻（尽可能“平衡”）对任一结点，其所有子树高度都相同
- 关键字的值：子树0<关键字1<子树1<关键字2<子树2<……（类比二叉查找树 左<中<右）
B树的插入
- 通过“查找”确定插入位置（一定是在终端结点）
- 若插入后结点关键字个数未超过上限，则无需做其他处理
- 若插入后关键字个数超过上限，则需要将当前结点的中间元素放到父节点中，当前节点分裂为两个部分：该操作会导致父节点关键字个数+！，若父节点关键字个数也超过了上限，则需要再向上分裂；根节点的分裂会导致B树高度+1
B树的删除
非终端结点关键字
- 用其直接前驱或直接后继替代其位置，转化为对”终端结点“的删除
- 直接前驱：当前关键字左边指针所指子树中”最右下“的元素
- 直接后继：当前关键字右边指针所指子树中”最坐下“的元素
终端结点关键字
删除后结点关键字个数未低于下限，无需任何处理
低于下限
- 右兄弟够借，则用当前结点的后继、后继的后继依次顶替空缺
- 左兄弟够借，则用当前结点的前驱，前驱的前驱依次顶替空缺
- 左（右）兄弟不够借，则需要与父节点内的关键字、左（右）兄弟进行合并。合并后导致父节点关键字数量-1，可能需要继续合并。
B+树
| m阶B树 | m阶B+树 | |
|---|---|---|
| 类比 | 二叉查找树的进化 → m叉查找树 | 分块查找的进化 → 多级分块查找 |
| 关键字与分叉 | n个关键字对应n+1个分叉（子树） | n个关键字对应n个分叉 |
| 结点包含的信息 | 所有结点中都包含记录的信息 | 只有最下层叶子节点才包含记录的信息（可使树更矮） |
| 查找方式 | 不支持顺序查找。查找成功时，可能停在任何一层结点，查找速度”不稳定“ | 支持顺序查找。查找成功或失败都会到达最下一层结点，查找速度“稳定” |
| 相同点 | 除根节点外，最少⌈m/2⌉个分叉（确保结点不能太”空“）任何一个结点的子树都要一样高（确保”绝对平衡“） | |
散列（Hash）表
基本概念
- 散列表：又称哈希表，可以根据数据元素的关键字计算出它在散列表中的存储地址
- 散列函数：建立了“关键字”→“存储地址”的映射关系
- 同义词：若不同的关键字通过散列函数映射到同一个存储地址，则称它们为“同义词”
- 冲突（碰撞）：在散列表中插入一个数据元素时，若插入的位置已经存储了其他元素，则这种情况视为“冲突（碰撞）”
散列函数的构造
👩💻 除留余数法
- 散列地址：H(key) = key % p 其中，p通常是不大于散列表表长的最大质数
- 适用场景：较为通用，只要关键字是整数即可
直接定址法
- 散列地址：H(key) = a * key + b 其中，a和b是常数
- 适用场景：关键字分布基本连续
数字分析法
- 选取数码分布较为均匀的若干位作为散列地址
- 适用场景：关键字集合已知，且关键字的某几个数码位分布均匀
平方取中法
- 计算关键字的平方，取中间几位作为散列地址
- 适用场景：关键字的每位取值都不够均匀
处理冲突的方法——拉链法
拉链法（又称链接法、链地址法）：把所有“同义词”存储在一个链表中
插入操作
- 根据散列函数计算新元素的散列地址
- 将新元素插入散列地址对应的链表（可用头插法或尾插法）
查找操作
- 根据散列函数计算新元素的散列地址
- 顺序查找散列列表对应的链表，直到查找成功或查找失败
- 在分析查找长度时，通常只统计“关键字的对比次数”，而链表“空指针的对比次数”不计入查找长度
删除操作
- 根据散列函数计算新元素的散列地址
- 顺序查找散列地址对应的链表，若查找成功，将目标元素从链表中删除
处理冲突的方法——开放定址法
基本原理
当初始散列地址发生冲突时，根据“探测序列”探测下一个地址Hi=(H(key)+di)%m
元素的操作
插入
根据散列函数算出初始散列地址，若发生冲突，就“探测”下一个地址，直到找到一个空闲地址，即可插入元素
查找
根据散列函数算出初始散列地址，对比关键字，若关键字不匹配，就“探测”下一个地址，直到关键字匹配（成功）或探测到一个空位置（失败）
👩💻 删除
先按照“查找操作”的规则找到目标元素，若查找成功，就把目标元素“逻辑删除”。注意不能“物理删除”。
四种常用的“探测序列”
1. 👩💻 线性探测法：
2. 平方探测法：,.其中k≤m/2
3. 双散列法：.其中hash_2(key)是另一散列函数
4. 伪随机序列法：是一个伪随机序列，如
四种增量序列的“覆盖率”
- 线性探测率：经过m-1次冲突，一定能探测到散列表的所有单元。
- 平方探测法：一般来说，探测序列至少能覆盖到散列表的一半单元。若能保证表长m是一个可以表示成4x+3的素数，则可以探测到散列表的所有单元
- 双散列法：若能保证hash2(key)的值和表长m互质，则经过m-1次冲突，一定能探测到散列表的所有单元
- 伪随机序列法：只要伪随机序列设计和理论，就能 探测到全部单元
