前言

本文讲述三维旋转的矩阵推导，推导过程遵循下面的规则：

• 本文的坐标系是基于右手坐标系的
• 逆时针旋转为正向旋转

围绕坐标轴的旋转

$x$轴

我们假设旋转的点为$P$
假设旋转之前点$P$的坐标为$(x_0,y_0,z_0)$

当围绕$x$轴做正向旋转，即逆时针旋转，我们取$x=x_0$的平面作为旋转的坐标系平面
此时，我们将旋转就转化为了二维旋转
因为是右手坐标系，所以此时$y$轴向右，$z$轴向上，原点为平面与$x$轴的交点$O$

假设旋转之前点$P$到原点$O$的线段与$y$轴的夹角弧度为$\alpha$
假设旋转的弧度为$\beta$
假设点$P$到原点$O$的距离为$R$
假设旋转之后点$P$的坐标为$(x_1,y_1,z_1),x_1=x_0$

那么，旋转前
$$\begin{gathered} y_0=cos(\alpha )\ast R \\ {z}_0=sin(\alpha )\ast R\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

旋转后（注意，因为是逆时针旋转，所以旋转后的弧度 = 旋转前弧度 + 旋转弧度）
$$\begin{array}{rl}{y}_1& =cos(\alpha +\beta )\ast R\\ & =cos(\alpha )cos(\beta )\ast R-sin(\alpha )sin(\beta )\ast R\\ & =y_0\ast cos(\beta )-z_0\ast sin(\beta )\\ & \\ z_1& =sin(\alpha +\beta )\ast R\\ & =sin(\alpha )cos(\beta )\ast R+cos(\alpha )sin(\beta )\ast R\\ & =y_0\ast sin(\beta )+z_0\ast cos(\beta )\\ & \\ x_1& =x_0\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

我们可以得到绕$x$轴旋转的矩阵：
$$M_{rx}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos(\beta )& -sin(\beta )& 0\\ 0& sin(\beta )& cos(\beta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

下面是实现代码

static matrix4d rotationX(float angle)
{
	matrix4d m;
	T c = cos(angle);
	T s = sin(angle);
	m[5] = m[10] = c;
	m[9] = -s;
	m[6] = s;
	return m;
}

注意，代码中的矩阵数组是列主序的

$y$轴

围绕$y$轴的旋转和$x$轴类似

只不过此时向右变成了$z$轴，向上变成了$x$轴
所以，我们直接上公式
$$\begin{array}{rl}{z}_1& =z_0\ast cos(\beta )-x_0\ast sin(\beta )\\ & \\ x_1& =z_0\ast sin(\beta )+x_0\ast cos(\beta )\\ & \\ y_1& =y_0\end{array}$$
$$M_{ry}=\left(\begin{array}{cccc}cos(\beta )& 0& sin(\beta )& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ -sin(\beta )& 0& cos(\beta )& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
下面是代码

static matrix4d rotationY(float angle)
{
	matrix4d m;
	T c = cos(angle);
	T s = sin(angle);
	m[0] = m[10] = c;
	m[8] = s;
	m[2] = -s;
	return m;
}

注意，代码中的矩阵数组是列主序的

$z$轴

围绕$z$轴的旋转和$x$轴类似

只不过此时向右变成了$x$轴，向上变成了$y$轴
所以，我们直接上公式
$$\begin{array}{rl}{x}_1& =x_0\ast cos(\beta )-y_0\ast sin(\beta )\\ & \\ y_1& =x_0\ast sin(\beta )+y_0\ast cos(\beta )\\ & \\ z_1& =y_0\end{array}$$
$$M_{rz}=\left(\begin{array}{cccc}cos(\beta )& -sin(\beta )& 0& 0\\ sin(\beta )& cos(\beta )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
下面是代码

static matrix4d rotationY(float angle)
{
	matrix4d m;
	T c = cos(angle);
	T s = sin(angle);
	m[0] = m[5] = c;
	m[4] = -s;
	m[1] = s;
	return m;
}

注意，代码中的矩阵数组是列主序的

围绕任意轴的旋转

如果对象绕与每个坐标轴均不平行的轴旋转，则需要进行额外的变换。此时，还需要进行使旋转轴与某一选定坐标轴对齐的旋转，以后要将此轴变回到原始位置。若给定旋转轴和旋转角， 我们可以按照5个步骤来完成所需旋转:

• 平移对象，使得旋转轴通过坐标原点
• 旋转对象使得旋转轴与某一坐标轴重合
• 绕该坐标轴完成指定的旋转
• 利用逆旋转使旋转轴回到其原始方向
• 利用逆平移使旋转轴回到其原始位置

从之前我们在坐标轴进行旋转时，发现其实绕$z$轴的旋转是最符合我们平时的认知的，因为向右是$x$轴，向上是$y$轴，这就是我们使用的二维坐标系，下面讨论使用$z$轴旋转矩阵的变换序列

我们假设旋转轴由两个点确定，$P_1$和$P_2$，方向是从$P_1$到$P_2$，方向决定了旋转方向
$$\begin{gathered} P_1=(x_1,y_1,z_1) \\ {P}_2=(x_2,y_2,z_2) \end{gathered}$$
令$V$为旋转轴的方向向量，则：
$$\begin{array}{rl}V& =P_2-P_1\\ & =(x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)\end{array}$$
取$u$为旋转轴单位方向向量，则：
$$u=\frac{V}{|V|}=(a,b,c)$$
其中：
$$a=\frac{x_2-x_1}{|V|},b=\frac{y_2-y_1}{|V|},c=\frac{z_2-z_1}{|V|}$$
下面给出初始位置图：

平移到原点

我们把$P_1$平移到原点，下面是平移矩阵，平移后$P_2$也变成了$P_2^{{}^{\prime }}$
$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& -x_1\\ 0& 1& 0& -y_1\\ 0& 0& 1& -z_1\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

将旋轴转旋转到z轴

将旋轴转旋转到$z$轴的思路是：

• 先将旋转轴绕$x$轴旋转到$xz$平面
• 然后绕$y$轴旋转到与$z$轴重合

绕$x$轴旋转到$xz$平面

旋转角度为$\alpha$

绕x轴的旋转矩阵我们上面已经介绍了，最重要的是要知道绕$x$轴旋转到$xz$平面的弧度的正弦余弦值

如果我们把$u$投影到$yz$平面$u^{{}^{\prime }}$，则$u^{{}^{\prime }}$与$z$轴正向的夹角即为$\alpha$

我们前面已经获取到了$u$的坐标，所以
$$\begin{gathered} cos(\alpha )=\frac{c}{d},d=\sqrt{b^2+c^2} \\ sin(\alpha )=\frac{b}{d},d=\sqrt{b^2+c^2} \end{gathered}$$

此时我们可以获取到绕x轴旋转到$xz$平面的旋转矩阵了
$$R_x=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& \frac{c}{d}& -\frac{b}{d}& 0\\ 0& \frac{b}{d}& \frac{c}{d}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$
旋转后的$xz$平面的向量记为$u^{{}^{\prime \prime }}$

绕$y$轴旋转到$z$轴

下一步需要确定变换矩阵，此矩阵将$x$平面上的单位向量绕$y$轴逆时针旋转到$z$轴的正方向
绕$x$轴旋转后，$x$平面上单位向量的方向如下：

到目前为止，我们先理清$u^{{}^{\prime \prime }}$的部分情况：

• 因为绕$x$轴的旋转保持$x$分量不变，故其$x$分量值仍为$a$
• 因为绕$x$轴的旋转使$u^{{}^{\prime }}$旋转到了$z$轴上，所以$u^{{}^{\prime \prime }}$的$z$分量为$d$
• $u^{{}^{\prime \prime }}$的$y$分量为0

根据上面的条件，我们可以得出$u^{{}^{\prime \prime }}$旋转到$z$轴正向的正弦余弦值
$$\begin{gathered} cos(\beta )=d \\ sin(\beta )=-a \end{gathered}$$

所以，旋转矩阵为
$$R_y=\left(\begin{array}{cccc}d& 0& -a& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ a& 0& d& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

绕$z$轴旋转

直接给出旋转矩阵了：
$$R_z=\left(\begin{array}{cccc}cos(\theta )& -sin(\theta )& 0& 0\\ sin(\theta )& cos(\theta )& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right)$$

最终的矩阵

到现在，很容易就能得出绕任意轴进行旋转的矩阵表示
$$R(\theta )=T^{-1}\ast R_x^{}(\alpha )\ast R_y^{-1}(\beta )\ast R_z(\theta )\ast R_y(\beta )\ast R_x(\alpha )\ast T$$