批量归一化

​ 损失出现在最后，所以后面的层训练比较快，而数据在最底部，则：

• 底部的层训练较慢
• 底部层一变化，所有都会跟着变化
• 最后的层需要重新学习多次

​ 最后导致收敛变慢。

​ 或许我们可以通过固定输出和梯度的特定分布，即均值和方差在一定范围内，来进行优化，以提高数据和损失的稳定性

1.批量归一化

​ 固定小批量里面的均值和方差
$$\begin{gathered} {\mu }_B=\frac{1}{|B|}\sum _{i\in B}{x}_i \\ {\sigma }_B^2=\frac{1}{|B|}\sum _{i\in B}(x_i-{\mu }_B{)}^2+ϵ(加一个小数值避免为0) \end{gathered}$$
​ 再做额外的调整(可学习的参数$\gamma (方差),\beta (均值)$)
$$x_{i+1}=BN(x_i)=\gamma \frac{x_i-{\mu }_b}{{\sigma }_B}+\beta$$

2.批量归一化层

​ 可学习的参数$\gamma ,\beta$

​ 作用在全连接和卷积层的输出上，激活函数前；或全连接层和卷积层输入上

​ 对全连接层，作用再特征维;对卷积层，作用在通道维

​ 批量归一化是线性变换

2.1 全连接层

通常，我们将批量规范化层置于全连接层中的仿射变换和激活函数之间。 设全连接层的输入为x，权重参数和偏置参数分别为𝑊和𝑏，激活函数为𝜙，批量规范化的运算符为BN。 那么，使用批量规范化的全连接层的输出的计算详情如下：
$$h=\varphi (BN(Wx+b))$$

2.2 卷积层

​ 对于卷积层，我们可以在卷积层之后和非线性激活函数之前应用批量规范化。

​ 当卷积有多个输出通道时，我们需要对这些通道的“每个”输出执行批量规范化，每个通道都有自己的拉伸（scale）和偏移（shift）参数，这两个参数都是标量。

​ 假设我们的小批量包含𝑚个样本，并且对于每个通道，卷积的输出具有高度𝑝和宽度𝑞。 那么对于卷积层，我们在每个输出通道的𝑚⋅𝑝⋅𝑞个元素上同时执行每个批量规范化。

​ 因此，在计算平均值和方差时，我们会收集所有空间位置的值，然后在给定通道内应用相同的均值和方差，以便在每个空间位置对值进行规范化。

批量归一化到底在做什么

​ 可能是通过在每个小批量里加入噪音来控制模型复杂度，因此没必要和丢弃法混合使用(也只是可能)

​ ${\mu }_B、{\sigma }_B$是每一批次的均值和方差，其实每一批次都不一样，比较随机。

批量归一化可以加速收敛速度，但一般不改变模型精度。学习率就可以比较大了

3.代码实现

import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

'''从零实现'''


def batch_norm(X, gamma, beta, moving_mean, moving_var, eps, momentum):
    # moving_mean和moving_var 可近似认为是全局上的均值和方差,eps是方差小数值
    # momentum 用于更新均值和方差，通常是0.9或一个固定的数字
    # 通过is_grad_enabled来判断当前模式是训练模式还是预测模式
    if not torch.is_grad_enabled():
        # 如果是在预测模式下，直接使用传入的移动平均所得的均值和方差
        # 预测模式一般只有一个样本，所以需要用全局的均值和方差
        X_hat = (X - moving_mean) / torch.sqrt(moving_var + eps)
    else:
        assert len(X.shape) in (2, 4)
        if len(X.shape) == 2:
            # 使用全连接层的情况，计算特征维上的均值和方差
            mean = X.mean(dim=0)  # 按行求均值 1*n的向量
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=0)  # 按行求方差， 1*n的向量
        else:
            # 使用二维卷积层的情况，计算通道维上（axis=1）的均值和方差。
            # 这里我们需要保持X的形状以便后面可以做广播运算
            mean = X.mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)  # dim：0批量大小，1输入输出通道，2高，3宽
            # 则需要求出没一行的均值，最终是1 * n * 1 *1 形状
            var = ((X - mean) ** 2).mean(dim=(0, 2, 3), keepdim=True)  # 同理
        # 训练模式下，用当前的均值和方差做标准化
        X_hat = (X - mean) / torch.sqrt(var + eps)
        # 更新移动平均的均值和方差，动量更新，i影响i+1
        moving_mean = momentum * moving_mean + (1.0 - momentum) * mean
        moving_var = momentum * moving_var + (1.0 - momentum) * var
    Y = gamma * X_hat + beta  # 缩放和移位
    return Y, moving_mean.data, moving_var.data


class BatchNorm(nn.Module):
    # 批量归一化层
    # num_features：完全连接层的输出数量或卷积层的输出通道数。
    # num_dims：2表示完全连接层，4表示卷积层
    def __init__(self, num_features, num_dims):
        super().__init__()
        if num_dims == 2:
            shape = (1, num_features)
        else:
            shape = (1, num_features, 1, 1)
        # 参与求梯度和迭代的拉伸和偏移参数，分别初始化成1和0
        self.gamma = nn.Parameter(torch.ones(shape))  # gamma不能初始化为0，不然一乘全是0没办法学习了
        self.beta = nn.Parameter(torch.zeros(shape))
        # 非模型参数的变量初始化为0和1
        self.moving_mean = torch.zeros(shape)
        self.moving_var = torch.ones(shape)  # 初始化为0，1正态分布

    def forward(self, X):
        # 如果X不在内存上，将moving_mean和moving_var
        # 复制到X所在显存上
        if self.moving_mean.device != X.device:
            self.moving_mean = self.moving_mean.to(X.device)
            self.moving_var = self.moving_var.to(X.device)
        # 保存更新过的moving_mean和moving_var
        Y, self.moving_mean, self.moving_var = batch_norm(
            X, self.gamma, self.beta, self.moving_mean,
            self.moving_var, eps=1e-5, momentum=0.9)
        return Y


'''应用在LeNet上'''
net = nn.Sequential(
    nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), BatchNorm(6, num_dims=4), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
    nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), BatchNorm(16, num_dims=4), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(),
    nn.Linear(16 * 4 * 4, 120), BatchNorm(120, num_dims=2), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(120, 84), BatchNorm(84, num_dims=2), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(84, 10))

'''简洁实现，使用nn.BatchNorm2d,只需要输入通道数作为参数'''
net2 = nn.Sequential(
    nn.Conv2d(1, 6, kernel_size=5), nn.BatchNorm2d(6), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2),
    nn.Conv2d(6, 16, kernel_size=5), nn.BatchNorm2d(16), nn.Sigmoid(),
    nn.AvgPool2d(kernel_size=2, stride=2), nn.Flatten(),
    nn.Linear(256, 120), nn.BatchNorm1d(120), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(120, 84), nn.BatchNorm1d(84), nn.Sigmoid(),
    nn.Linear(84, 10))

lr, num_epochs, batch_size = 1.0, 10, 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size)
d2l.train_ch6(net, train_iter, test_iter, num_epochs, lr, d2l.try_gpu())
d2l.plt.show()