⭐️前面的话⭐️

本篇文章介绍来自一道0-1背包的变式原题，展示语言java/C++。

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📆首发时间：🌴2022年7月25日🌴
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⭐️何以包邮⭐️

🔐题目详情

4700. 何以包邮？

新学期伊始，适逢顿顿书城有购书满 x 元包邮的活动，小 P 同学欣然前往准备买些参考书。

一番浏览后，小 P 初步筛选出 n 本书加入购物车中，其中第 i 本（1≤i≤n）的价格为 ai 元。

考虑到预算有限，在最终付款前小 P 决定再从购物车中删去几本书（也可以不删），使得剩余图书的价格总和 m 在满足包邮条件（m≥x）的前提下最小。

试帮助小 P 计算，最终选购哪些书可以在凑够 x 元包邮的前提下花费最小？

输入格式
输入的第一行包含空格分隔的两个正整数 n 和 x，分别表示购物车中图书数量和包邮条件。

接下来输入 n 行，其中第 i 行（1≤i≤n）仅包含一个正整数 ai，表示购物车中第 i 本书的价格。

输入数据保证 n 本书的价格总和不小于 x。

输出格式
仅输出一个正整数，表示在满足包邮条件下的最小花费。

数据范围
70% 的测试数据满足：n≤15；
全部的测试数据满足：n≤30，每本书的价格 $a_i\le 10^4$ 且 x≤a1+a2+⋯+an。

输入样例1：
4 100
20
90
60
60
输出样例1：
110
样例1解释
购买前两本书 (20+90) 即可包邮且花费最小。

输入样例2：
3 30
15
40
30
输出样例2：
30
样例2解释
仅购买第三本书恰好可以满足包邮条件。

输入样例3：
2 90
50
50
输出样例3：
100
样例3解释
必须全部购买才能包邮。

💡解题思路

0-1背包问题
思路1：典型的0-1背包是求不超过某容量的最大价值，该题需要我们求超过某数的最小值，我们可以使用逆向思维，我们不直接入手，要求不超过$x$的最小总价格，我们先可以将所有的商品全部选好，得到总价格$sum$，然后再从选好的商品中选出若干件，但是需要控制剩下来的总价值不小于$x$，所以我们可以从这些商品中选择若干件，要想总价格不低于$x$，最多只能选择$m=sum-x$价值的商品移除，因此问题就转化为：在$n$件商品中选择若干件，不超过$m$的最大总价格。，此时问题就转化为经典的0-1背包问题了。

• 状态定义：定义$f[i][j]$表示从前$i$件物品中选，总价值不超过$j$的最大总价值。
• 状态属性：最大值
• 初始状态：从$0$件商品中选，最大价格为$0$，因此$f[0][j]=0$。
• 状态转移情况：考虑是否选择第$i$件商品，不妨设第$i$件商品价格为$t$。
  • 不选择第$i$件商品，$f[i][j]=f[i-1][j]$。
  • 选择第$i$件商品，$f[i][j]=f[i-1][j-t]+t$。
• 状态转移方程：$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-t]+t)$。
• 一维优化后状态转移方程：$f[j]=max(f[j],f[j-t]+t)$

思路2：直接求。

• 状态定义：不妨定义$f[i][j]$表示在前$i$件物品中选择，超过$j$的最小价格。
• 状态属性：最小值
• 初始化：$f[0][0]=0,f[0][j]=INF,j>0$。
• 状态转移情况，对于第$i$个商品，我们可以选择选或者不选，不妨设第$i$件商品的价格为$t$。
  • 不选择，$f[i][j]=f[i-1][j]$。
  • 选择，当前状态为前一行$j-t$状态时的价格加上$t$，如果$j<t$，取$0$状态的价格加上$t$，即$f[i][j]=f[i-1][max(0,j-t)]+t$。
• 状态转移方程：$f[i][j]=min(f[i-1][j],f[i-1][max(0,j-t)]+t)$
• 一维优化转移方程：$f[j]=min(f[j],f[max(0,j-t)]+t)$

🔑源代码

思路1，Java代码：

import java.util.*;

class Main {
    private static final int N = (int) 33, M = (int) 3e5 +23;
    
    private static int[] a = new int[N], f = new int[M];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        int n = sc.nextInt();
        int x = sc.nextInt();
        int sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
            sum += a[i];
        }
        int m = sum - x;
        
        Arrays.fill(f, 0);
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int t = a[i];
            for (int j = m; j >= t; j--) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j - t] + t);
            }
        }
        
        System.out.println(sum - f[m]);
    }
}

思路1，C++代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N =33, M = (int) 3e5 + 23;
int a[N], f[M];

int main()
{
    int n, x;
    int sum = 0;
    cin >> n >> x;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    
    int m = sum - x;
    
    memset(f, 0, sizeof(f));
    
    //0-1背包
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        int t = a[i];
        for (int j = m; j >= t; j--) 
        {
            f[j] = max(f[j], f[j - t] + t);
        }
    }
    
    cout << sum - f[m] << endl;
    
    return 0;
}

思路2，Java代码：

import java.util.*;

class Main {
    private static final int N = 33, M = (int) 3e5 + 33;
    
    private static int[] a = new int[N], f = new int[M];
    
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        
        int n = sc.nextInt();
        int x = sc.nextInt();
        
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            a[i] = sc.nextInt();
        }
        Arrays.fill(f, 0x3f3f3f3f);
        
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int t = a[i];
            for (int j = x; j >= 0; j--) {
                f[j] = Math.min(f[j], f[Math.max(j - t, 0)] + t);
            }
        }
        System.out.println(f[x]);
    }
}

思路2，C++代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
const int N = 33, M = (int) 3e5 + 233;

int a[N], f[M];

int main()
{
    int n, x;
    cin >> n >> x;
    
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    memset(f, 0x3f, sizeof(f));
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) 
    {
        int t = a[i];
        for (int j = x; j >= 0; j--) 
        {
            f[j] = min(f[j], f[max(j - t, 0)] + t);
        }
    }
    
    cout << f[x] << endl;
    
    return 0;
}

🌱总结

0-1背包变式题。

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