一、树

用来描述具有层次结构的数据。

比如：家庭关系、公司组织……

DEF.
树(tree)t是一个非空的有限元素的集合.

• 其中一个元素为根(root).
• 其余的元素(如果有的话)组成t的子树(subtrees)
• 层次中最高层的元素为根 (root) 。
• 其余的元素分成不相交的集合。
• 根的下一级的元素是根的孩子(children) , 是余下元素所构成的子树的根。
• 树中没有孩子的元素称为叶子(leaves)
• 级(level)/层次：指定树根的级为1，其孩子(如果有)的级为2。 一个元素的级=其父母的级+1
• 二叉树的高度(height)或深度(depth)是指该二叉树的级数(或层数)
• 元素的度(Degree of an element)：是指其孩子的个数
• 树的度(The degree of a tree)：是其元素度的最大值

二、二叉树

DEF.

• 二叉树( binary tree) t 是有限个元素的集合(可以为空)。
• 当二叉树非空时，其中有一个称为根(root)的元素，余下的元素(如果有的话)被分成2个二叉树，分别称为t的左子树和右子树

二叉树 VS 树：

• 子树个数：二叉树中每个元素都恰好有两棵子树(其中一个或两个可能为空)。而树中每个元素可有任意多个子树
• 有序性：在二叉树中每个元素的子树都是有序的，也就是说，可以用左、右子树来区别。而树的子树间是无序的

二叉树经常用来表示数学表达式，称为表达式树。

三、二叉树的特性

特性1. 包含n (n> 0 )个元素的二叉树边数为n-1

证明：

• 二叉树中每个元素(除了根节点) 有且只有一个父节点
• 在子节点与父节点间有且只有一条边
• 因此，边数为n-1

特性 2: 若二叉树的高度为h，h≥0，则该二叉树最少有h个元素，最多有2^h-1 个元素

最少：

最多：满二叉树

特性3：包含n(n≥0)个元素的二叉树的高度最大为n，最小为ceiling(log2(n+1))

高度最大：

高度最小：

特性4. 完全二叉树

满二叉树：

• 当高度为h的二叉树恰好有 $2^h-1$个元素时，称其为 满二叉树(full binary tree).
• 对高度为h 的满二叉树中的元素按从上到下， 从左到右的顺序从1到 $2^h-1$ 进行编号
  

完全二叉树：

• 从满二叉树中删除k个元素，其编号为$2^h-i$, 1≤i≤k，所得到的二叉树被称为完全二叉树(complete binary tree)
• 也就是说从最右一个叶节点开始依次连续向左、向上删除
• 即：深度为k具有n个节点的二叉树是一颗完全二叉树，当且仅当它与k层满二叉树前1~n个节点所构成的二叉树结构相同
• k层完全二叉树:
  1)前k-1层为满二叉树；
  2)第k层上的节点都连续排列于第k层的左端
• 满二叉树是完全二叉树的一个特例
• 有n个元素的完全二叉树的深度为 $ceiling(lo{g}_2(n+1))$

完全二叉树的特性：
设完全二叉树中一元素的序号为i, 1≤i≤n。则有以下关系成立

1. 当i = 1时，该元素为二叉树的根。若i >1，则该元素父节点的编号为 $floor(i/2)$
2. 当2i >n时，该元素无左孩子。否则，其左孩子的编号为2i
3. 若2i+1>n，该元素无右孩子。否则，其右孩子编号为 2i+1

四、二叉树的描述

两种描述方法：

• 数组描述
• 链表描述（常用）

4.1 数组描述

完全二叉树：

• 按照二叉树对元素的编号方法，将二叉树的元素存储在数组中
• 编号 与 数组下标 对应

普通二叉树：可以看作是缺少了部分元素的完全二叉树

评价：

• 一个有n个元素的二叉树需要存储空间：$[n+1,2^n]$ (或$[n,2^n-1]$ )
• 右斜(Right-skewed)二叉树存储空间达到最大（只有右子树）
• 当缺少的元素数目比较少时，数组描述方法是有效的

4.2 链表描述

最常用。

每个元素存储在一个节点内，节点的结构：

链表二叉树的节点结构：

template<class T>
class binaryTreeNode{
   
	// 元素值
	T element;
	// 指向孩子节点的指针
	binaryTreeNode<T> *leftChild, *rightChild;
	
	// 3个构造函数
	// 无参数
	binaryTreeNode(){
   
		leftChild = rightChild = NULL; 
	}
	// 只有数据参数
	binaryTreeNode(const T& theEle