傅里叶级数在不连续点会怎么样???

news2024/7/16 20:39:52

文章目录

  • 一、前言背景
  • 二、用狄利克雷核表达傅里叶级数
  • 三、狄利克雷核与狄拉克函数
  • 四、傅里叶级数在不连续点的表示
  • 五、吉伯斯现象的解释
  • 六、总结
  • 参考资料

一、前言背景

笔者最近在撸《信号与系统》,写下此博客用作记录和分享学习笔记。由于是笔者为电子爱好者,不是数学专业从事人员,如有不对还望各网友大神指正。本博客大量借鉴资料,笔者只是拾人牙慧的小屁孩。
笔者在学习傅里叶级数或者傅里叶变换时,对傅里叶级数或是傅里叶变换的收敛性颇有疑问。
有狄利克雷条件约束:

  1. 在任何周期内, x ( t ) x(t) x(t)必须绝对可积( ∫ T ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ \int_{T}{|x(t)|}dt < \infty Tx(t)dt<),以此保证傅里叶级数系数 a k a_{k} ak都是有限值:
    ∣ a k ∣ ≤ 1 T ∫ T ∣ x ( t ) e − j k w 0 t ∣ d t = 1 T ∫ T ∣ x ( t ) ∣ d t < ∞ |a_{k}| \leq \frac{1}{T} \int_{T} |x(t)e^{-jkw_{0}t}|dt = \frac{1}{T} \int_{T} |x(t)|dt < \infty akT1Tx(t)ejkw0tdt=T1Tx(t)dt<
  2. 在任意有限区间内, x ( t ) x(t) x(t)具有有限个起伏变化;也就是说,在任何单个周期内, x ( t ) x(t) x(t)的最大值和最小值的数目有限。
  3. 在任意有限区间内,只有有限个不连续点,而且在这些不连续点上,函数是有限值。

其中说到,对于一个周期内存在的有限数目的不连续点的周期信号而言,除去那些孤立的不连续点外,其余所有点上傅里叶级数都等于原来的 x ( t ) x(t) x(t);而在那些孤立的不连续点上,傅里叶级数收敛于不连续点处的平均值。

方波

这句话令笔者十分疑惑——傅里叶级数还能对不连续的信号的进行处理?
按照道理说,傅里叶级数由正弦和余弦函数构成,这些函数本质上是平滑的、连续的,怎么能表达不连续的信号呢?
于是我们展开下文…

二、用狄利克雷核表达傅里叶级数

我们都知道一个周期信号可以被傅里叶级数展开,
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t x(t) = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0}t} x(t)=k=+akejkw0t
对于存在不连续点的 x ( t ) x(t) x(t),我们似乎难以下手,只能使用极限的知识。
现在以一个方波为例,
x ( t ) = { 1 , ∣ t ∣ < T 1 0 , T 1 < ∣ t ∣ < T 2 x(t)=\left\{ \begin{aligned} 1 , & |t| < T_{1}\\ 0 , & T_{1} < |t| < \frac{T}{2} \end{aligned} \right. x(t)= 1,0,t<T1T1<t<2T
我们对 T 1 T_{1} T1 处取极限,
lim ⁡ t → T 1 x ( t ) = lim ⁡ t → T 1 ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 T 1 \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} x(t) = \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0}t} = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0} T_{1}} tT1limx(t)=tT1limk=+akejkw0t=k=+akejkw0T1
我们可以发现,由于这个方波满足狄利克雷条件,求和( ∑ k = − ∞ + ∞ \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty} k=+)以及傅里叶级数系数( a k a_{k} ak)都收敛,故 lim ⁡ t → T 1 x ( t ) < ∞ \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}} x(t) < \infty tT1limx(t)<。(当然, lim ⁡ t → T 1 − x ( t ) = 0 \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}^{-}} x(t) = 0 tT1limx(t)=0 lim ⁡ t → T 1 + x ( t ) = 1 \lim \limits_{t \rightarrow T_{1}^{+}} x(t) = 1 tT1+limx(t)=1

这真是一个amazing的结果,这说明一个满足狄利克雷条件的周期信号,本来有不连续点,但利用傅里叶级数展开式可以得到其收敛值。
我们尝试计算:
x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ a k e j k w 0 t x ( t ) = ∑ k = − ∞ + ∞ ( 1 T ∫ T x ( τ ) e − j k w 0 τ d τ ) e j k w 0 t x ( t ) = 1 T ∫ T x ( τ ) ∑ k = − ∞ + ∞ e j k w 0 ( t − τ ) d τ \begin{aligned} x(t) & = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}a_{k}e^{jkw_{0}t} \\ x(t) & = \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}(\frac{1}{T}\int_{T}x(\tau)e^{-jkw_{0}\tau}d\tau)e^{jkw_{0}t} \\ x(t) & = \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}e^{jkw_{0}(t -\tau)}d\tau \end{aligned} x(t)x(t)x(t)=k=+akejkw0t=k=+(T1Tx(τ)ejkw0τdτ)ejkw0t=T1Tx(τ)k=+ejkw0(tτ)dτ

这里我们引入狄利克雷核:
D N ( t ) = ∑ k = − N + N e j k t = ∑ k = − N + N ( cos ⁡ ( k t ) + j sin ⁡ ( k t ) ) = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) + j ∑ k = − N − 1 sin ⁡ ( k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) + j sin ⁡ ( 0 ) = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( − k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) + 0 = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) − j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) + j ∑ k = 1 N sin ⁡ ( k t ) = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) \begin{aligned} D_{N}(t) = \sum\limits_{k = -N}^{+N}e^{jkt} &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} (\cos (kt) + j \sin (kt)) \\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) + j \sum\limits_{k = -N}^{-1} \sin (kt)+ j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt) + j \sin (0)\\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) + j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (-kt)+ j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt) + 0\\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) - j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt)+ j \sum\limits_{k = 1}^{N} \sin (kt) \\ &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) \\ \end{aligned} DN(t)=k=N+Nejkt=k=N+N(cos(kt)+jsin(kt))=k=N+Ncos(kt)+jk=N1sin(kt)+jk=1Nsin(kt)+jsin(0)=k=N+Ncos(kt)+jk=1Nsin(kt)+jk=1Nsin(kt)+0=k=N+Ncos(kt)jk=1Nsin(kt)+jk=1Nsin(kt)=k=N+Ncos(kt)
又因为 2 sin ⁡ α cos ⁡ β = sin ⁡ ( α + β ) + sin ⁡ ( α − β ) 2 \sin \alpha \cos \beta = \sin ( \alpha + \beta) + \sin ( \alpha - \beta) 2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)
我们有
2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = sin ⁡ ( t 2 + k t ) + sin ⁡ ( t 2 − k t ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = ∑ k = − N + N sin ⁡ ( t 2 + k t ) + sin ⁡ ( t 2 − k t ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = ∑ k = − N + N sin ⁡ ( k t + t 2 ) − sin ⁡ ( k t − t 2 ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = [ sin ⁡ ( − N t + t 2 ) − sin ⁡ ( − N t − t 2 ) + sin ⁡ ( − ( N − 1 ) t + t 2 ) − sin ⁡ ( − ( N − 1 ) t − t 2 ) + . . . + 2 sin ⁡ ( t 2 ) + . . . + sin ⁡ ( N t + t 2 ) − sin ⁡ ( N t − t 2 ) ] ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = − sin ⁡ ( − N t − t 2 ) − sin ⁡ ( t 2 ) + 2 sin ⁡ ( t 2 ) + sin ⁡ ( N t + t 2 ) − sin ⁡ ( t 2 ) ∑ k = − N + N 2 sin ⁡ ( t 2 ) cos ⁡ ( k t ) = 2 sin ⁡ ( N t + t 2 ) ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) = 2 sin ⁡ ( N t + t 2 ) 2 sin ⁡ ( t 2 ) ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) = sin ⁡ ( ( N + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t 2 ) \begin{aligned} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= \sin (\frac{t}{2} + kt) + \sin (\frac{t}{2} - kt) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \sin (\frac{t}{2} + kt) + \sin (\frac{t}{2} - kt) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= \sum\limits_{k = -N}^{+N} \sin (kt + \frac{t}{2}) - \sin (kt - \frac{t}{2}) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= [\sin (- Nt + \frac{t}{2}) - \sin (-Nt -\frac{t}{2}) +\sin (- (N-1)t + \frac{t}{2}) - \sin (-(N-1)t -\frac{t}{2}) + ... + 2 \sin (\frac{t}{2}) + ... + \sin (Nt + \frac{t}{2}) - \sin (Nt -\frac{t}{2})] \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= - \sin (-Nt -\frac{t}{2}) - \sin (\frac{t}{2}) + 2 \sin (\frac{t}{2}) + \sin (Nt + \frac{t}{2}) - \sin (\frac{t}{2}) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} 2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (kt) &= 2 \sin (Nt +\frac{t}{2}) \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) &= \frac{ 2 \sin (Nt +\frac{t}{2})}{2 \sin (\frac{t}{2}) } \\ \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) &= \frac{ \sin ((N + \frac{1}{2})t)}{ \sin (\frac{t}{2}) } \end{aligned} 2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+N2sin(2t)cos(kt)k=N+Ncos(kt)k=N+Ncos(kt)=sin(2t+kt)+sin(2tkt)=k=N+Nsin(2t+kt)+sin(2tkt)=k=N+Nsin(kt+2t)sin(kt2t)=[sin(Nt+2t)sin(Nt2t)+sin((N1)t+2t)sin((N1)t2t)+...+2sin(2t)+...+sin(Nt+2t)sin(Nt2t)]=sin(Nt2t)sin(2t)+2sin(2t)+sin(Nt+2t)sin(2t)=2sin(Nt+2t)=2sin(2t)2sin(Nt+2t)=sin(2t)sin((N+21)t)

故,我们可以得出狄利克雷核的表达式为:
D N ( t ) = ∑ k = − N + N e j k t = ∑ k = − N + N cos ⁡ ( k t ) = sin ⁡ ( ( N + 1 2 ) t ) sin ⁡ ( t 2 ) D_{N}(t) = \sum\limits_{k = -N}^{+N}e^{jkt} = \sum\limits_{k = -N}^{+N} \cos (kt) = \frac{ \sin ((N + \frac{1}{2})t)}{ \sin (\frac{t}{2}) } DN(t)=k=N+Nejkt=k=N+Ncos(kt)=sin(2t)sin((N+21)t)
我们重新看回傅里叶级数表达的 x ( t ) x(t) x(t),用狄利克雷核表达也就是:
x ( t ) = 1 T ∫ T x ( τ ) ∑ k = − ∞ + ∞ e j k w 0 ( t − τ ) d τ x ( t ) = 1 T ∫ T x ( τ ) D N ( w 0 ( t − τ ) ) d τ \begin{aligned} x(t) & = \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) \sum\limits_{k = -\infty}^{+\infty}e^{jkw_{0}(t -\tau)}d\tau \\ x(t) & = \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) D_N(w_{0}(t-\tau)) d\tau \end{aligned} x(t)x(t)=T1Tx(τ)k=+ejkw0(tτ)dτ=T1Tx(τ)DN(w0(tτ))dτ
其中 N → ∞ N \rightarrow \infty N
我们可以发现, x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数展开又可以看作和狄利克雷核作周期卷积。

三、狄利克雷核与狄拉克函数

上文提到的 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数展开可以表达为 x ( t ) x(t) x(t)自己和狄利克雷核( N → ∞ N \rightarrow \infty N时)作周期卷积,于是我们对狄利克雷核展开研究,看看是否具有什么优秀的性质能够简化我们的卷积计算。

使用MATLAB绘制狄利克雷核的图像:

N = 10;
t = -5 : 0.000001 : 5;
x = sin((N + 0.5) * t) ./ (t * 0.5);

plot(t, x);
title("Dirichlet Kernel (N = " + N + ")");

调节N系数绘制图形:

N = 10 :

Dirchlet (N = 10)

N = 100 :

Dirchlet (N = 100)

N = 100000 :

Dirchlet (N = 100000)

可以看出狄利克雷核在 N N N越大,其性质越像狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)
lim ⁡ t → 0 D N ( t ) = 2 N + 1 \lim \limits_{t \rightarrow 0} D_{N}(t)= 2N + 1 t0limDN(t)=2N+1
而且
∫ T D N ( w 0 t ) d t = ∫ T ∑ k = − N + N e j k w 0 t d t = ∑ k = − N + N ∫ T e j k w 0 t d t \int_{T} D_{N}(w_{0}t)dt = \int_{T} \sum\limits_{k = -N}^{+N}e^{jkw_{0}t}dt =\sum\limits_{k = -N}^{+N} \int_{T} e^{jkw_{0}t}dt TDN(w0t)dt=Tk=N+Nejkw0tdt=k=N+NTejkw0tdt
∫ T e j k w 0 t d t \int_{T} e^{jkw_{0}t}dt Tejkw0tdt 仅在 k = 0 k = 0 k=0 时不为零,
故,我们可推出,
∫ T D N ( w 0 t ) d t = ∫ T d t = T \int_{T} D_{N}(w_{0}t)dt = \int_{T} dt = T TDN(w0t)dt=Tdt=T
这两条推论可以得出: N N N越大,狄利克雷核在 0 0 0 处的趋于值越大( 2 N + 1 2N + 1 2N+1);狄利克雷核在一个周期积分其值固定( T T T)。
我们推理,当 N → ∞ N \rightarrow \infty N,狄利克雷核在 0 0 0 处也趋于 ∞ \infty ,但是由于狄利克雷核在一个周期积分其值固定为 T T T,所以相当于全部的能量都聚集到了 0 0 0 处,性质十分类似狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t)

比如就可以说,当 N → ∞ N \rightarrow \infty N ∫ T x ( t ) D N ( w 0 t ) d t = T x ( 0 ) \int_{T} x(t)D_{N}(w_{0}t)dt = Tx(0) Tx(t)DN(w0t)dt=Tx(0)

四、傅里叶级数在不连续点的表示

刚刚我们知道了狄利克雷核在 N → ∞ N \rightarrow \infty N下的性质近似狄拉克函数的性质,于是我们重新看回我们之前提到的 x ( t ) x(t) x(t)的傅里叶级数展开可以表达为 x ( t ) x(t) x(t)自己和狄利克雷核( N → ∞ N \rightarrow \infty N时)的周期卷积。
N → ∞ N \rightarrow \infty N时,不存在不连续点时,
x ( t ) = lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ T x ( τ ) D N ( w 0 ( t − τ ) ) d τ = 1 T ⋅ T x ( t ) = x ( t ) \begin{aligned} x(t) & = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) D_N(w_{0}(t-\tau)) d\tau = \frac{1}{T} \cdot T x(t) = x(t) \end{aligned} x(t)=NlimT1Tx(τ)DN(w0(tτ))dτ=T1Tx(t)=x(t)
可以发现,傅里叶级数展开式 x ( t ) x(t) x(t)就是其 x ( t ) x(t) x(t)本身。

而存在不连续点( t 0 t_{0} t0)时,我们就改变积分区间,去掉不连续点处(不连续点实际上是一个点,那么它对应的面积是一条线的面积也就是 0 0 0,因此,不连续点对面积的影响可以忽略不计),
x ( t 0 ) = lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ − T 2 t 0 − ε x ( τ ) D N ( w 0 ( t 0 − τ ) ) d τ + lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ t 0 + ε T 2 x ( τ ) D N ( w 0 ( t 0 − τ ) ) d τ = 1 T ⋅ T 2 x ( t 0 − ) + 1 T ⋅ T 2 x ( t 0 + ) = x ( t 0 − ) + x ( t 0 + ) 2 \begin{aligned} x(t_{0}) & = \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{t_{0} - \varepsilon } x(\tau) D_N(w_{0}(t_{0}-\tau)) d\tau + \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{t_{0} + \varepsilon}^{\frac{T}{2}} x(\tau) D_N(w_{0}(t_{0}-\tau)) d\tau \\ &= \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{2} x(t_{0}^{-}) + \frac{1}{T} \cdot \frac{T}{2} x(t_{0}^{+})\\ &= \frac{ x(t_{0}^{-}) + x(t_{0}^{+})}{2} \end{aligned} x(t0)=NlimT12Tt0εx(τ)DN(w0(t0τ))dτ+NlimT1t0+ε2Tx(τ)DN(w0(t0τ))dτ=T12Tx(t0)+T12Tx(t0+)=2x(t0)+x(t0+)
最后我们得出,满足狄利克雷条件的周期函数,在其不连续点处会趋于不连续点的平均值。

将方波傅里叶级数展开后,再以对应的 N N N 画出其对应的有限项近似 x N ( t ) x_{N}(t) xN(t)
对于任意的 N N N 来说, x N ( t ) x_{N}(t) xN(t) 在不连续点都为该点平均值。
方波傅里叶级数的收敛

五、吉伯斯现象的解释

不过,在时域上有趣的现象不仅是满足狄利克雷条件的周期函数,在其不连续点处会趋于不连续点的平均值,还有当傅里叶级数为有限项的傅里叶级数截断近似时,在不连续点处呈现的起伏。

对于一周期方波,
x ( t ) = { 1 , ∣ t ∣ < T 1 0 , T > ∣ t ∣ > T 1 x(t)=\left\{ \begin{aligned} 1 , & |t| < T_{1}\\ 0 , & T>|t| > T_{1} \end{aligned} \right. x(t)={1,0,t<T1T>t>T1

其傅里叶级数为
a k = s i n ( k w 0 T 1 ) k π a_{k} =\frac{sin(kw_{0}T_{1})}{k \pi} ak=sin(kw0T1)

我们编写MATLAB代码,模拟有限项求和傅里叶级数的结果:

N = 50;

T = 2 * pi; 
w0 = 2 * pi / T;
t = -3:0.00001:3;
T1 = 1;

y = (abs(t) < T1);

x = zeros(size(t));

for k = -N:N
    if k == 0
        ak = w0 * T1 / pi;
    else
        ak = (sin(k * w0 * T1)) / (k * pi);
    end
    
    x = x + ak * exp(1j * k * w0 * t);
end

hold on;
plot(t, real(x), 'b');
plot(t, y);
title("N = " + N);
hold off;

[max_value, max_index] = max(real(x));
overshoot = (max_value - 1) / 1 * 100; 
disp(['Maximum value: ', num2str(max_value)]);
disp(['Overshoot percentage: ', num2str(overshoot), '%']);

N=10有限项傅里叶级数

N=50有限项傅里叶级数
N=500有限项傅里叶级数

可以发现随着 N 的变大不连续点起伏的峰值大小没有改变太多,始终存在过冲,并没有随着N 的变大而下降。

这原因可以追溯到狄利克雷核中,虽然随着 N 的变大,狄利克雷核的性质越来越类似狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的性质,但其图像却很有自己的特色。
狄利克雷核的图形由一个主要的中心峰(主瓣)和多对对称的较小振荡(旁瓣)组成。主瓣的高度随着 N 的增大而增大,旁瓣则在靠近 t = 0 t = 0 t=0 处密集振荡。旁瓣的振幅虽然逐渐减小,但振荡的频率随 N 的增大而增大。狄利克雷核的积分贡献主要来自主瓣的中心区域以及旁瓣的高频振荡。
t 0 t_{0} t0 是连续点时,积分结果会随着 N N N 的增大逐渐逼近 x ( t 0 ) x(t_{0}) x(t0)。( lim ⁡ N → ∞ 1 T ∫ T x ( τ ) D N ( w 0 ( t − τ ) ) d τ \lim \limits_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{T} x(\tau) D_N(w_{0}(t-\tau)) d\tau NlimT1Tx(τ)DN(w0(tτ))dτ 趋于 x ( t ) x(t) x(t) )狄利克雷核的主瓣捕捉到了主要变化,旁瓣的高频成分对平滑变化的函数影响较小。(可以想象狄利克雷核卷积的过程,由于连续点周围的点都变化不大,当 N N N 很大时,旁瓣的影响十分细微)
但是当 t 0 t_{0} t0 是不连续点时,这个积分结果将很受旁瓣的高频振荡的影响,(因为不连续点周围的点变化很大,导致这个振荡表现得更加明显),出现过冲。(资料上说这个过冲将会有 9 9 9 %,且不随 N N N 的增大而下降)

编写MATLAB代码,实现对连续信号和不连续信号分别对狄利克雷核的周期卷积:

N = 50;
t = -pi:0.00001:pi;

D_N = sin((N + 0.5) * t) ./ (0.5 * t);
D_N(t == 0) = (N + 0.5) / 0.5;

figure;
plot(t, D_N);
title("D_N(t) N = " + N);

x1 = cos(t);
x2 = (abs(t) < pi/2);


y1 = conv(x1, D_N, 'same') * (t(2) - t(1)) / ( 2 * pi);

y2 = conv(x2, D_N, 'same') * (t(2) - t(1)) / ( 2 * pi);


figure;
subplot(2, 1, 1);
plot(t, x1, 'b');
hold on;
plot(t, y1, 'r');

subplot(2, 1, 2);
plot(t, x2, 'b');
hold on;
plot(t, y2, 'r');

D_N(t)  N = 50
连续信号和不连续信号
可以发现,信号在连续点受旁瓣影响小,在不连续点受旁瓣影响大。
随着 N N N 变大,只是让旁瓣向着 t = t 0 t = t_{0} t=t0 压缩。对于不连续点 t 0 t_{0} t0 处,也就是随着 N N N 变大,不连续点受旁瓣影响导致的振荡会向着 t = t 0 t = t_{0} t=t0 压缩。
从能量的角度来说,当不连续点附近的振荡被压缩时,由于能量守恒,不连续点处的过冲会增加。只不过由于狄利克雷核随 N N N 增大到一定程度后,旁瓣在纵轴变化的程度不大,故过冲在 N N N 增大到一定程度后变化幅度也很小。
吉伯斯效应是一个典型的受狄利克雷核影响的现象,狄利克雷核还有很多有趣的性质等待人们挖掘。

六、总结

x ( t ) x(t) x(t) 的傅里叶级数的展开式可以看作 x ( t ) x(t) x(t) 与狄利克雷核做周期卷积的结果。我们探索狄利克雷核的各种性质(比如其类似狄拉克函数 δ ( t ) \delta(t) δ(t) 的性质 ),从而探索傅里叶级数的各种性质。 狄利克雷核在周期积分为定值,且在 t = 0 t = 0 t=0 处的趋近值随 N N N 变大而变大。不同的 N N N 值让狄利克雷核的主瓣和旁瓣不同程度地影响着傅里叶级数。

参考资料

[1] Oppenheim, Willsky, Nawab. Signals & Systems [M]. 2nd Edition. UK London: Prentice-Hall International (UK) Limited.

本文来自互联网用户投稿,该文观点仅代表作者本人,不代表本站立场。本站仅提供信息存储空间服务,不拥有所有权,不承担相关法律责任。如若转载,请注明出处:http://www.coloradmin.cn/o/1843706.html

如若内容造成侵权/违法违规/事实不符,请联系多彩编程网进行投诉反馈,一经查实,立即删除!

相关文章

模拟原神圣遗物系统-小森设计项目,设计圣遗物(生之花,死之羽,时之沙,空之杯,理之冠)抽象类

分析圣遗物 在圣遗物系统&#xff0c;玩家操控的是圣遗物的部分 因此我们应该 物以类聚 人与群分把每个圣遗物的部分&#xff0c;抽象出来 拿 生之花&#xff0c;死之羽为例 若是抽象 类很好的扩展 添加冒险家的生之花 时候继承生之花 并且名称冒险者- 生之花 当然圣遗物包含…

ECharts 雷达图案例002 - 诈骗性质分析

ECharts 雷达图案例002 - 诈骗性质分析 &#x1f4ca; ECharts 雷达图案例002 - 诈骗性质分析 深入挖掘数据背后的故事&#xff0c;用可视化手段揭示诈骗行为的模式和趋势。 &#x1f50d; 案例亮点 创新的数据展示方式&#xff0c;让复杂的诈骗数据一目了然。定制化的雷达图…

Redis分片集群搭建

主从模式可以解决高可用、高并发读的问题。但依然有两个问题没有解决&#xff1a; 海量数据存储高并发写 要解决这两个问题就需要用到分片集群了。分片的意思&#xff0c;就是把数据拆分存储到不同节点&#xff0c;这样整个集群的存储数据量就更大了。 Redis分片集群的结构如…

[leetcode hot 150]第十五题,三数之和

题目&#xff1a; 给你一个整数数组 nums &#xff0c;判断是否存在三元组 [nums[i], nums[j], nums[k]] 满足 i ! j、i ! k 且 j ! k &#xff0c;同时还满足 nums[i] nums[j] nums[k] 0 。请 你返回所有和为 0 且不重复的三元组。 注意&#xff1a;答案中不可以包含重复…

Opencv学习项目3——pytesseract

上一次我们使用pytesseract.image_to_data(img)来检测文本&#xff0c;这次我们来只检测数字 项目演示 可以看到&#xff0c;我们只检测了数字其他的并没有检测出来 代码实现 前面两次介绍了opencv的画矩形和设置文本&#xff0c;这次就直接用了&#xff0c;不太明白的可以看…

Unity和UE免费领恐怖书本头怪兽角色模型恐怖或奇幻游戏monster适合FPS类型PBR202406202143

Unity和UE免费领恐怖书本头怪兽角色模型恐怖或奇幻游戏monster适合FPS类型PBR202406202143 Unity恐怖书本头怪兽角色模型&#xff1a;https://prf.hn/l/zpBqgVl UE恐怖书本头怪兽角色模型&#xff1a;https://prf.hn/l/4PzY1Qy 作者其他资产&#xff1a;https://prf.hn/l/0…

(创新)基于VMD-CNN-BiLSTM的电力负荷预测—代码+数据

目录 一、主要内容&#xff1a; 二、运行效果&#xff1a; 三、VMD-BiLSTM负荷预测理论&#xff1a; 四、代码数据下载&#xff1a; 一、主要内容&#xff1a; 本代码结合变分模态分解( Variational Mode Decomposition&#xff0c;VMD) 和卷积神经网络(Convolutional neu…

C++学习(23)

#学习自用# union 共用体和结构体相似&#xff0c;但是共用体一次只能占用一个成员的内存&#xff0c;所有成员共用同一地址。 #include<iostream> using namespace std; union A {int int_val;float float_val; }a; int main() {a.float_val 2.0f;cout << a.f…

Sping源码(九)—— Bean的初始化(非懒加载)— Bean的创建方式(factoryMethod)

序言 前面文章介绍了在Spring中多种创建Bean实例的方式&#xff0c;包括采用FactoryBean的方式创建对象、使用反射创建对象、自定义BeanFactoryPostProcessor。 这篇文章继续介绍Spring中创建Bean的形式之一——factoryMethod。方法用的不多&#xff0c;感兴趣可以当扩展了解。…

电子书(chm)-加载JS--CS上线

免责声明: 本文仅做技术交流与学习... 目录 cs--web投递 html(js)代码 html生成chm工具--EasyCHM 1-选择powershell 模式 生成 2-选择bitsadmin模式生成 chm反编译成html cs--web投递 cs配置监听器--->攻击---->web投递---> 端口选择没占用的, URL路径到时候会在…

HALCON-从入门到入门-霍夫识别直线

1.废话 霍夫变换是一种特征检测&#xff0c;被广泛应用在图像分析、计算机视觉以及数位影像处理。霍夫变换是用来辨别找出物件中的特征&#xff0c;例如&#xff1a;线条。他的算法流程大致如下&#xff0c;给定一个物件、要辨别的形状的种类&#xff0c;算法会在参数空间中执…

【JavaEE】Spring Boot MyBatis详解(二)

一.解决数据库字段名和对象属性名冲突的问题. 产生这个问题的本质原因就是Java 属性名和数据库字段的命名规范不同. 这个问题的本质就是查询数据库返回了字段,但是不知道和Java对象的哪个属性相对应 1.注解的解决方法 注解的解决方式有三种: 方式一:给数据库字段起别名. 本质…

Zookeeper 一、Zookeeper简介

1.分布式系统定义及面临的问题 分布式系统是同时跨越多给物理主机&#xff0c;独立运行的多个软件所组成的系统。类比一下&#xff0c;分布式系统就是一群人一起干活。人多力量大&#xff0c;每个服务器的算力是有限的&#xff0c;但是通过分布式系统&#xff0c;由n个服务器组…

Linux环境如何彻底卸载感干净RabbitMQ并重新安装

Linux&#xff08;Centos7&#xff09;环境如何彻底卸载感干净RabbitMQ并重新安装 我这个是超级简单的&#xff0c;如果安装不好&#xff0c;顺着网线来找我 一、卸载RabbitMq相关的软件包 1. 先停止RabbitMq服务 systemctl stop rabbitmq-server2. 查看rabbitmq安装的相关…

Microsoft Edge浏览器安装crx拓展插件教程

1、首先打开edge浏览器&#xff0c;点击顶部地址栏。 2、在地址栏中输入"edge://flags/#extensions-on-edge-urls"并按下回车。2、在地址栏中输入"edge://flags/#extensions-on-edge-urls"并按下回车。 3、进入后&#xff0c;将图示选项改为“已禁用”。 …

Redis缓存的一些概念性问题

目录 缓存模型和思路 缓存更新策略 数据库和缓存不一致 缓存与数据库双写一致 缓存穿透 缓存雪崩 缓存击穿 速度快,好用&#xff0c;内存的读写性能远高于磁盘,缓存可以大大降低用户访问并发量带来的服务器读写压力 缓存模型和思路 标准的操作方式就是查询数据库之前先…

多线程下JVM内存模型 和 volatile关键字

1、线程的概念 线程&#xff08;thread&#xff09;是操作系统能够进行运算调度的最小单位。它被包含在进程之中&#xff0c;是进程中的实际运作单位。一条线程指的是进程中一个单一顺序的控制流&#xff0c;一个进程中可以并发多个线程&#xff0c;每条线程并行执行不同的任务…

从复用性角度阐述中台建设

目录 复用性中台定义深思中台建设产品线形态何时演变中台能力落地中台 业务中台架构总结 技术学习永不止步&#xff0c;最近也是看了很多关于架构设计相关的专栏&#xff0c;慢慢总结出来一部分知识&#xff0c;代入自己的思考与理解&#xff0c;以及结合并反思自己之前公司的架…

开源!在goview中实现cesium的低代码可视化编辑

大家好&#xff0c;我是日拱一卒的攻城师不浪&#xff0c;专注可视化、数字孪生、前端、nodejs、AI学习、GIS等学习沉淀&#xff0c;这是2024年输出的第19/100篇文章&#xff1b; 前言 前阵子写了一篇goview二开的文章教程&#xff0c;很多小伙伴留言对goview嵌套cesium并实现…

【Python日志模块全面指南】:记录每一行代码的呼吸,掌握应用程序的脉搏

文章目录 &#x1f680;一、了解日志&#x1f308;二、日志作用&#x1f308;三、了解日志模块⭐四、日志级别&#x1f4a5;五、记录日志-基础❤️六、记录日志-处理器handler&#x1f3ac;七、记录日志-格式化记录☔八、记录日志-配置logger&#x1f44a;九、流程梳理 &#x…