B树(数据结构篇)

数据结构之B树

B-树(B-tree)

概念：

B-树是一个非二叉树的多路平衡查找树(数据有序)，是一颗所有数据都存储在树叶节点上的树，不一定存储具体的数据，也可以是指向包含数据的记录的指针或地址
对于**阶为M(子节点数量在2和M之间)**的B-树具有一下结构特性：
1. 树的根节点或者叶子节点，或者子节点数的范围为[2,M]
2. B树每个结点关键字数量为[ceil(2/M)-1,M-1]
3. 除根外，所有非树叶节点的子节点数在[ceil(2/M),M]之间，ceil为向上取整函数
4. 所有的树叶都在相同的深度上
非叶子节点也有存储关键词的地方，这个地方是来表示范围的(如果要查找的数据小于该关键字就找关键字左边的子节点数据，大于就右边的子节点数据)，如果叶子节点数据按照升序排列，则非叶子节点的关键词有m-1个(m为该非叶子节点的子节点个数)，如果按照降序排列，则非叶子节点的关键字有m个，例如图4-58为升序排列的B树

插入操作

插入在叶子节点进行
向B树中插入数据，根据非叶子节点的关键字找到正确的存储数据的叶子节点。
如果节点内的数据小于M-1(M为阶数)，就根据排列规则插入；如果节点能够存储的数据已经满了，就进行分裂节点(叶子节点)
分裂节点操作步骤：
1. 先看看该叶子节点的关键字数量是否小于M-1(M为阶数)
2. 按顺序插入进去，节点的关键字数量如果大于M-1，就将该叶子节点分裂成两个叶子节点，两个叶子节点的数据各占原叶子节点的一半，中间的关键字(数据)作为根节点的关键字，剩下分成两部分的节点作为其(中间关键字形成的根节点)左右节点。当根节点大于M-1的时候，就分裂根节点！
3. 如果小于则根据插入的关键字大小按顺序插入。

删除操作

通过递归找到指定删除的节点
删除的关键字在非叶子节点上，就将其左边的指向叶子节点中的最大值跟要删除的关键字互换，就递归进去删除最大值。
删除的关键字在叶子节点上
1. 叶子节点的关键字个数大于ceil(M/2-1),直接删除
2. 叶子节点的关键字个数等于ceil(M/2-1),向父节点借关键字
递归返回上一层后检查该节点的关键字数，如果小于ceil(M/2-1)，就向父节点借关键字，合并该关键字的左右节点，然后不断返回上一层，不断地检查，向父节点借关键字，合并子节点直到返回到根节点。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

struct btree{
    int level;  //树的阶数
    vector<int>keys;  //关键字数组
    vector<btree*>child; //子节点数组
    int keynum;   //节点的关键字数目
    btree* parent;    //子节点的父节点
};

//创造节点
btree* createNode(int level){
    auto p=new btree;
    p->level=level;
    p->keynum=0;
    p->parent= nullptr;
    for(int i=0;i<=p->level;i++){
        p->child.push_back(nullptr);
        p->keys.push_back(0);
    }
    return p;
}

//查找指定值，返回一个包含节点指针，和指定值的位置的对组
pair<btree*,int> find(btree* root,int key){
    int i;
    for(i=root->keynum;i>0;i--){
        if(key<root->keys[i]){
            continue;
        }else if(key>root->keys[i]){
            break;
        }else{
            return make_pair(root,i);
        }
    }
    pair<btree*,int>p=find(root->child[i],key);
    return p;
}

//分裂节点
void splitNode(btree* &root,btree* p,int index){
    if(p!=nullptr){
        if(p->keynum==p->level){
            //分裂节点
            int mid=p->keynum/2+p->keynum%2;
            btree* newnode= createNode(p->level);
            newnode->parent=p->parent;
            for(int j=root->keynum;j>index-1;j--){
                root->keys[j+1]=root->keys[j];
            }
            root->keys[index]=p->keys[mid];
            root->keynum++;
            for(int j=mid+1;j<=p->keynum;j++){
                newnode->keys[j-mid]=p->keys[j];
                newnode->keynum++;
            }
            p->keynum=p->keynum-newnode->keynum-1;
            int k;
            for(k=root->level-1;k>index-1;k--){
                root->child[k+1]=root->child[k];
            }
            k++;
            root->child[k]=newnode;
        }
    }
    if(root->keynum==root->level) {
        btree *newchild = createNode(root->level);
        int mid = root->keynum / 2 + root->keynum % 2;
        for (int i = mid + 1; i <= root->level; i++) {
            newchild->keys[i - mid] = root->keys[i];
            newchild->keynum++;
        }
        for (int j = newchild->keynum; j <= newchild->level; j++) {
            if(root->child[j])
                root->child[j]->parent=newchild;
            newchild->child[j - newchild->keynum] = root->child[j];
            root->child[j] = nullptr;
        }
        if (root->parent == nullptr) {
            btree *newnode = createNode(root->level);
            newnode->keys[1] = root->keys[mid];
            newnode->keynum++;
            root->keynum = root->level - newchild->keynum - 1;
            newnode->child[0] = root;
            newnode->child[1] = newchild;
            root->parent = newnode;
            newchild->parent = newnode;
            root = newnode;
        } else {
            newchild->parent = root->parent;
            root->keynum = root->level - newchild->keynum - 1;
            int a = root->parent->keynum;
            while (a > 0 && root->keys[mid] < root->parent->keys[a]) {
                root->parent->keys[a + 1] = root->parent->keys[a];
                root->parent->child[a + 1] = root->parent->child[a];
                a--;
            }
            a++;
            root->parent->keys[a] = root->keys[mid];
            root->parent->keynum++;
            root->parent->child[a] = newchild;
        }
    }
}

//插入节点
btree* insert(btree* &root,int key){
    if(0==root->keynum){
        root->keys[1]=key;
        root->keynum++;
        return root;
    }
    int index=root->keynum;
    while (index>0&&key<root->keys[index]){
        root->keys[index+1]=root->keys[index];
        index--;
    }
    index++;
    if(root->child[0]!=nullptr){
        btree* p;
        if(index==root->keynum){
            p=root->child[index+1];
        }else{
            p=root->child[index-1];
        }
        if(root->child[0]->child[0]!=nullptr){
            p= insert(p,key);
        }else if(root->child[0]->child[0]==nullptr){
            int i=p->keynum;
            while (i>0&&key<p->keys[i]){
                p->keys[i+1]=p->keys[i];
                i--;
            }
            i++;
            p->keys[i]=key;
            p->keynum++;
        }
        splitNode(root,p,index);
    }else{
        root->keys[index]=key;
        root->keynum++;
        splitNode(root, nullptr,-1);
    }
    return root;
}

//查找最大值
int findmax(btree* root){
    if(nullptr==root){
        return 0;
    }else if(root->child[0]!= nullptr){
        return findmax(root->child[root->keynum]);
    }
    return root->keys[root->keynum];
}

//合并节点
void merge(btree* &root,int key,int min,int n){
    int n1 = root->child[n-1]->keynum;
    int n2 = root->child[n]->keynum;
    if (n1 > min) {
        for (int j = n2; j > 0; j--) {
            root->child[n]->keys[j + 1] = root->child[n]->keys[j];
            root->child[n]->child[j + 1] = root->child[n]->child[j];
        }
        root->child[n]->child[1] = root->child[n]->child[0];
        root->child[n]->keys[1] = root->keys[n];
        root->keys[n]=root->child[n-1]->keys[n1];
        root->child[n]->child[0] = root->child[n-1]->child[n1];
        root->child[n-1]->child[n1] = nullptr;
        root->child[n-1]->child[0]->parent = root->child[n-1];
        root->child[n-1]->keynum--;
        root->child[n-1]->keys[n1] = NULL;
        root->child[n]->keynum++;
    } else if (n2 > min) {
        root->child[n-1]->keys[n1+1]=root->keys[n];
        root->keys[n]=root->child[n]->keys[1];
        root->child[n-1]->child[n1 + 1] = root->child[n]->child[0];
        root->child[n-1]->child[n1 + 1]->parent = root->child[n-1];
        root->child[n-1]->keynum++;
        for (int j = 1; j < n2; j++) {
            root->child[n]->keys[j] = root->child[n]->keys[j + 1];
            root->child[n]->child[j - 1] = root->child[n]->child[j];
        }
        root->child[n]->child[n2-1]=root->child[n]->child[n2];
        root->child[n]->keys[n2] = NULL;
        root->child[n]->child[n2] = nullptr;
        root->child[n]->keynum--;
    } else {
        root->child[n-1]->keys[n1+1]=root->keys[n];
        root->child[n-1]->keynum++;
        int n3 = n2 + n1+1;
        for (int j = n1 + 2; j <= n3; j++) {
            root->child[n-1]->keys[j] = root->child[n]->keys[j - n1-1];
            root->child[n-1]->child[j-1]=root->child[n]->child[j];
            root->child[n-1]->keynum++;
        }
        root->child[n]=nullptr;
        int index = root->keynum;
        while (index > n && key < root->keys[index]) {
            root->keys[index-1]=root->keys[index];
            root->child[index-1]=root->child[index];
            index--;
        }
        root->child[root->keynum]= nullptr;
        root->keynum--;
        if(root->parent== nullptr&&root->keynum==0){
            root->child[0]->parent= nullptr;
            root=root->child[0];
        }
    }
}

//删除节点
void del(btree* &root,int key){
    if(nullptr==root){
        return;
    }else{
        int i;
        for(i=root->keynum;i>0;i--){
            if(key<root->keys[i]){
                continue;
            }else if(key>root->keys[i]){
                del(root->child[i],key);
            }else{
                break;
            }
        }
        int min=(root->level/2+root->level%2)-1;
        if(0==i){
            if(root->child[i]->keynum>=min&&root->child[i+1]->keynum>=min){
                del(root->child[i],key);
            }
            i++;
        }
        if(root->child[0]!= nullptr){
            if(root->keynum>=min){
                if(root->keys[i]==key){
                    int temp= findmax(root->child[i-1]);
                    root->keys[i]=temp;
                    del(root->child[i-1],temp);
                    merge(root,key,min,i);
                }else if(key<root->keys[i]){
                    if(root->child[i-1]->keynum<min){
                        merge(root,key,min,i);
                    }
                }else{
                    if(root->child[i]->keynum<min){
                        merge(root,key,min,i);
                    }
                }
            }else{
                merge(root,key,min,i);
            }
        }else{
            int j;
            for(j=1;j<root->keynum;j++){
                if(root->keys[j]==key){
                    break;
                }
            }
            for(int d=j;d<root->keynum;d++){
                root->keys[d]=root->keys[d+1];
            }
            root->keys[root->keynum]=NULL;
            if(root->keynum>min){
                root->keynum--;
            }else{
                root->keynum--;
                int index=root->parent->keynum;
                for(int k=root->keynum;k>0;k--){
                    root->keys[k+1]=root->keys[k];
                }
                while (index>0&&key<=root->parent->keys[index]){
                    index--;
                }
                if(0==index){
                    root->keys[root->keynum+1]=root->parent->keys[1];
                }else{
                    root->keys[root->keynum+1]=root->parent->keys[index];
                }
            }
        }
    }
}

//中序遍历
void inorderprint(btree* root){
    if(nullptr!=root){
        int i;
        for(i=0;i<root->keynum;i++){
            if(root->child[i]!= nullptr){
                inorderprint(root->child[i]);
            }
            cout<<root->keys[i+1]<<" ";
        }
        if(root->child[i]!= nullptr)
            inorderprint(root->child[i]);
    }
}