之前我们了解了PDF文档的基本结构，并且展示了一个简单的hello world。这个hello world 虽然只在页面中显示一个hello world 文字，但是包含的内容却是不少。这次我们仍然以它为切入点，来了解PDF的坐标系统以及坐标变换的相关知识

图形学中二维图形变换

中学我们学习了平面直角坐标系，x轴沿着水平方向从左往右递增，Y轴沿着竖直方向，从下往上坐标递增。而PDF的坐标系与数学中的坐标系相同。但是PDF的坐标是有单位的，PDF的坐标单位为磅，一般来说他们与英寸等的转化关系为
1 磅 = 1/72 英寸
因为PDF需要做到设备无关，也是就是在不同的显示像素和打印机上，显示的长度都一致，所以这里不能采用像素做单位。但是我们可以通过相关的接口来将这个单位转化为像素。例如在Windows平台可以通过下列的代码来获取一英寸有多少像素

HDC hdc = GetDC(NULL);
short cxInch = GetDeviceCaps(hdc, LOGPIXELSX);
short cyInch = GetDeviceCaps(hdc, LOGPIXELSY);
ReleaseDC(NULL, hdc);

对于我的显示器来说，水平和竖直方向都是 1英寸=96像素

有了这些概念之后，我们来看一个例子，下面是在页面的(200， 200) 位置画一个 长宽都为100的正方形

3 0 obj % 页面内容流
<< >>
stream % 流的开始
200 200 100 100 re S
endstream % 流结束
endobj

之前说过，页面显示内容在页面流中，因此这里我们将内容放置到页面流对象中。前面的200 200 是矩形的起始位置。后面的100 100 分别是长和宽。re 代表我们要构建一个矩形，最后的S表示要显示这个图形。严格意义上来说，re 和S都是路径构造所使用的操作符。这里的矩形也不单单是一个图形，它是一个路径。关于他们的概念将在后面继续介绍。下面我们来介绍基本的2D图形变换

平移

假设一个点原始坐标是(x1, x2)，那么沿着x轴平移a，y轴平移b，那么平移之后点的坐标为 (x1 + a, x2 + b) ，转换成矩阵就是
$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ a& b& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x+a& y+b& 1\end{array}\right]$$

旋转

利用中学的知识可以知道
$$x_1=r\ast cos(\theta +\psi )=r\ast (cos\theta \ast cos\psi -sin\theta \ast sin\psi )=x\ast cos\theta -ysin\theta$$

同理，我们可以得到
$$y_1=r\ast sin(\theta +\psi )=r\ast (sin\theta \ast cos\psi +cos\theta \ast sin\psi )=x\ast sin\theta +y\ast cos\theta$$

转换成矩阵就是
$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}x\ast cos\theta -y\ast sin\theta & x\ast sin\theta +y\ast cos\theta & 1\end{array}\right]$$

缩放

缩放就是将坐标扩大或者缩小为原来的多少倍，我们可以很清楚的知道
$$x_1=x\ast a{y}_1=y\ast b$$

这里的a和b都是缩放的系数
利用矩阵表示就是
$$\left[\begin{array}{ccc}x& y& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}a& 0& 0\\ 0& b& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

pdf 矩阵变换

还有另外几种变换，这里就不一一列举了。现在我们知道二维图形的变换使用一个矩阵就能进行描述。所以PDF在变换图形的时候直接使用的是变换的矩阵。另外我们观察到对于二维变换来说，最后一列一直都是 0 0 1这三个数字。所以pdf中设置变换矩阵时忽略最后一列，仅仅保留前两列，采用6个数字
$$\left[\begin{array}{ccc}a& b& 0\\ c& d& 0\\ e& f& 1\end{array}\right]$$

这个矩阵在PDF中表现为 a b c d e f。

回到我们之前hello的例子中，我们在 hello world 字符流开始的时候，给定了几个数字
1. 0. 0. 1. 50. 700. cm
各个数字之间采用空格隔开，这里数字后面跟的点表示它是一个浮点数。我们可以将这一列数字写成如下的矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}1.0& 0.0& 0\\ 0.0& 1.0& 0\\ 50.0& 700.0& 1\end{array}\right]$$

这个矩阵我们叫做当前变换矩阵 (Current Transformation Matrix CTM),最后的cm表示使用该矩阵进行图形变换。它是current matrix 的缩写

所以上述这一串数值的意思就是将 hello world 这个字符串平移到页面坐标 (50, 700) 的位置

PDF 中控制图形变换的操作符

现在我们利用这个上述知识来做一个小练习。我们将一个长宽都为100 的矩形在 (200, 200) 位置逆时针旋转45°
绕任意点旋转，可以先将该点移动到坐标原点，然后按照坐标原点的进行旋转的公式进行计算，最后再将坐标点平移回原来的位置。这个过程产生3个变换矩阵

平移矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -C_x& -C_y& 1\end{array}\right]$$

旋转矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

平移矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ C_x& C_y& 1\end{array}\right]$$

我们将这三个矩阵相乘
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ -C_x& -C_y& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ C_x& C_y& 1\end{array}\right]$$

最终得到这样一个矩阵
$$\left[\begin{array}{ccc}cos\theta & sin\theta & 0\\ -sin\theta & cos\theta & 0\\ C_x-C_{x}cos\theta +C_{y}sin\theta & C_y-C_{x}sin\theta -C_{y}cos\theta & 1\end{array}\right]$$
因此这里可以这样写

3 0 obj     % 页面内容流
<< >>
stream      % 流的开始
200 200 100 100 re S %原始矩形
0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换
200 200 100 100 re S %变换后的矩形
endstream   % 流结束
endobj

这样我们可以得到如下所示的图形

这个时候我们会发现，同样是(200, 200) 的位置，在变换前和变换后，得到不一样的图形，这就说明我们的坐标系统被改变了。不再是水平和竖直方向的x y轴了。如果我们想要它变回原来的位置该怎么办？

在GDI或者其他框架的图形编程中，在改变画笔、画刷等图形状态的时候，会首先保存原来的，然后更新，最后再还原。同样在PDF中，也存在有这样的保存和还原的操作符。我们使用q/Q这么一对操作符来完成保存和还原的操作。

我在原来的基础上，再加一个矩形，在(400, 400) 位置画一个长宽都是100的矩形

3 0 obj     % 页面内容流
<< >>
stream      % 流的开始
200 200 100 100 re S %原始矩形
0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换
200 200 100 100 re S %变换后的矩形
400 400 100 100 re S % 这个矩形是相对于 (200, 200) 这个点旋转了45°的矩形
endstream   % 流结束
endobj

我们再采用q/Q这一对操作符来保存和还原图形状态

3 0 obj     % 页面内容流
<< >>
stream      % 流的开始
200 200 100 100 re S %原始矩形
q
0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换
200 200 100 100 re S %变换后的矩形
Q
400 400 100 100 re S % 这个矩形是相对于 (400, 400) 这个点旋转了45°的矩形
endstream   % 流结束
endobj

这个时候我们发现它已经在(400, 400) 这个位置画了一个矩形。没有任何的图形变换

PDF中将图形状态保存成一个栈结构，每次执行q就是将当前图形状态进行入栈，使用Q将之前保存在栈顶的图形状态进行出栈，并还原成当前图形状态。一般来说q/Q必须成对出现。
好了，本节到这里就结束了。本节主要介绍了图形变换矩阵以及PDF中变换矩阵的操作符cm以及q/Q 这一对保存和还原图形状态的操作符