一、什么是堆
在数据结构中，堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，用数组存储，通常被用来实现优先队列。
堆具有以下特点：
- 堆是一棵完全二叉树（Complete Binary Tree），即除了最后一层外，其他层都是满的，且最后一层的节点从左到右排列。
- 堆中的每个节点都满足堆的性质，即父节点的值不小于（或不大于）其子节点的值，这种性质被称为堆序性（Heap Property）。
- 最大堆（Max Heap）：父节点的值不小于其子节点的值。
- 最小堆（Min Heap）：父节点的值不大于其子节点的值。
- 堆中的根节点（通常是位于最顶层的节点）是堆中的最大（或最小）元素。在最大堆中，根节点的值大于等于其子节点的值；在最小堆中，根节点的值小于等于其子节点的值。
- 堆不保存节点之间的具体顺序，只保证堆序性。
- 堆可以用数组来表示，根据节点的索引和父子节点的关系可以计算出节点之间的关系。
堆的常见操作有插入（Insert）、删除根节点（Delete Max/Min）和查找最大（或最小）元素。
堆的应用非常广泛，常见的应用包括优先队列、堆排序、图算法（如最短路径算法中的Dijkstra算法）等。通过使用堆，可以高效地在大量数据中插入、删除和获取最大（或最小）元素，时间复杂度为O(log n)。
二、堆的实现
2.1 向上调整算法
2.1.1 思路
以大堆举例：目的是要实现叶子节点要比所有的祖先节点小
- 考虑单次：如果父节点比孩子结点小，则二者交换
- 考虑循环：
- 循环体：交换之后先前的父亲节点与孩子结点的下标值互换，继续进行单次比较交换
- 结束条件：
一般的情况：如果符合大堆的条件（父节点大于子节点），则可以跳出循环。
最坏的情况：一直交换到了根节点，如果在进行下去数组就会越界，所以下标值应该>=0
2.1.2 代码
void AdjustUp(int* a, int child)
{
int parent = (child - 1) / 2;
while (child > 0)
{
if (a[child] > a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
//下标值互换
child = parent;
//重新计算父亲结点的值
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}2.2 向下调整算法
2.2.1 思路
以小堆举例：目的是要实现叶子节点要比所有的祖先节点大
- 考虑单次：
- 先找到孩子节点中较小的结点
- 如果父节点比孩子结点大，则二者交换
- 考虑循环：
- 循环体：交换之后先前的父亲节点与孩子结点的下标值互换，继续进行单次比较交换
- 结束条件：
一般的情况：如果符合小堆的条件（父节点小于子节点），则可以跳出循环。
最坏的情况：一直交换到了叶子节点，如果在进行下去数组就会越界，所以下标值应该<=n-1
2.2.2 代码
void AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
//左孩子的下标
int child = parent * 2 + 1;
while (child<n)
{
//找到两个孩子中较小的孩子-假设法
if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
{
child++;
}
if (a[parent] > a[child])
{
Swap(&a[parent], &a[child]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}2.3 插入
2.3.1 思路
从物理结构上讲，插入到数组的最后一个位置，然后用向上调整算法调整即可
2.3.2 代码
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
//检测数组是否扩容
if (php->size == php->capacity)
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newcapacity;
}
//插入
php->a[php->size] = x;
php->size++;
//调整
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}2.4 删除
2.4.1 思路
删除一般删除的是堆顶的元素
如果直接删除，然后用向下调整算法调整：原来的子节点会变成父节点，父节点会变成子节点。所以不可以采取此做法。
正确的做法：将堆顶元素与堆底元素交换，删除掉数组尾部元素，向下调整原数组。这样就可以规避原堆父子关系全乱的问题
2.4.2 代码
void HPPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
//交换
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
//删除
php->size--;
//调整
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}三、C语言源码汇总
3.1 heap.h
#pragma once
#include<stdio.h>
#include<assert.h>
#include<stdlib.h>
#include<stdbool.h>
//结构体定义
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
HPDataType* a;
int size;
int capacity;
}HP;
//交换
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2);
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);
//初始化堆
void HPInit(HP* php);
//销毁堆
void HPDestroy(HP* php);
//插入
void HPPush(HP* php, HPDataType x);
//删除
void HPPop(HP* php);
//返回堆顶元素
HPDataType HPTop(HP* php);
//判断堆是否为空
bool HPEmpty(HP* php);3.2 heap.c
#include"heap.h"
void HPInit(HP* php)
{
assert(php);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
void HPDestroy(HP* php)
{
assert(php);
free(php->a);
php->a = NULL;
php->size = php->capacity = 0;
}
void Swap(HPDataType* p1, HPDataType* p2)
{
HPDataType tmp = *p1;
*p1 = *p2;
*p2 = tmp;
}
void AdjustUp(HPDataType* a, int child)
{
// 初始条件
// 中间过程
// 结束条件
int parent = (child - 1) / 2;
//while (parent >= 0)
while (child > 0)
{
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
child = parent;
parent = (child - 1) / 2;
}
else
{
break;
}
}
}
void HPPush(HP* php, HPDataType x)
{
assert(php);
if (php->size == php->capacity)
{
int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : php->capacity * 2;
HPDataType* tmp = (HPDataType*)realloc(php->a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
if (tmp == NULL)
{
perror("realloc fail");
return;
}
php->a = tmp;
php->capacity = newcapacity;
}
php->a[php->size] = x;
php->size++;
AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent)
{
// 先假设左孩子小
int child = parent * 2 + 1;
while (child < n) // child >= n说明孩子不存在，调整到叶子了
{
// 找出小的那个孩子
if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
{
++child;
}
if (a[child] < a[parent])
{
Swap(&a[child], &a[parent]);
parent = child;
child = parent * 2 + 1;
}
else
{
break;
}
}
}
// logN
void HPPop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);
php->size--;
AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
HPDataType HPTop(HP* php)
{
assert(php);
assert(php->size > 0);
return php->a[0];
}
bool HPEmpty(HP* php)
{
assert(php);
return php->size == 0;
}四、堆的应用-TopK问题
4.1 分析
处理的是数据量非常大的情况下，需要知道最大/最小的某几个数的问题。
由于建堆的空间复杂度是O(N)，所以建堆的方式不可行，需要直接在数组上操作。
正确的思路：用前K个数，建一个小堆，剩下的数据跟堆顶数据比较，如果比堆顶的数据大，就替代堆顶进堆（覆盖根位置，然后向下调整）
4.2 C语言源码
void CreateNDate()
{
// 造数据
int n = 100000;
srand(time(0));
const char* file = "data.txt";
FILE* fin = fopen(file, "w");
if (fin == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
for (int i = 0; i < n; ++i)
{
int x = (rand() + i) % 10000000;
fprintf(fin, "%d\n", x);
}
fclose(fin);
}
void TopK()
{
int k;
printf("请输入k>:");
scanf("%d", &k);
int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
if (heap == NULL)
{
perror("malloc fail");
return;
}
const char* file = "data.txt";
FILE* num = fopen(file, "r");
if (num == NULL)
{
perror("fopen error");
return;
}
// 读取文件中前k个数
for (int i = 0; i < k; i++)
{
fscanf(num, "%d", &heap[i]);
}
// 建K个数的小堆
for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
{
AdjustDown(heap, k, i);
}
// 读取剩下的N-K个数
int x = 0;
while (fscanf(num, "%d", &x) > 0)
{
//更新小堆的数据并进行算法排序
if (x > heap[0])
{
heap[0] = x;
AdjustDown(heap, k, 0);
}
}
printf("最大前%d个数: ", k);
for (int i = 0; i < k; i++)
{
printf("%d ", heap[i]);
}
printf("\n");
}
int main()
{
CreateNDate();
TopK();
return 0;
}
