数据结构 - 学习笔记 - 红黑树前传——234树
- 简介
- 结点类型
- 与红黑树对应关系
- 插入逻辑
- 插入步骤演示
- 2结点插入
- 3结点插入（红黑树旋转）
- 共对应6种红黑树情形
- 有4种情形需要再平衡
- 4结点插入（红黑树变色）
- 234树转红黑树
- 触发分裂
- 有4种情形需要变色实现平衡
- 递归调整颜色
- 删除逻辑
- 删除步骤演示
- 234树删除结点
- 2结点删除
- 3结点删除
- 4结点删除
- 辅助脚本
- 总结
简介
在学习红黑树前需要先了解234树。因为红黑树就是由234树演变出来的。
了解了234树才能明白红黑树颜色变化的底层逻辑。
- 明明是包含
123个结点，为什么不叫123树而叫234树。因为树的特性就是分叉，结点的命名是按它的分叉能力来的。我理解为：n结点就是能分n个叉的结点。（这怎么感觉跟制动有异曲同工之妙啊。） 234树就是4阶B树。也就是允许结点最多有4个子结点的平衡多路查找树。234树是倒着长的。新元素插入到叶子，然后触发分裂向上提升元素成父级。
结点类型
| 结点 | 结点内容 | 子结点 s | 对应红黑树结点 |
|---|---|---|---|
| 2结点 | 1元素个。 如： a | 2个子结点或无子结点( , a), (a, ) | 黑色a |
| 3结点 | 2元素个。 如： a,b | 3个子结点或无子结点( , a) , (a, b) , (b, ) | 父结点必需是黑色 黑色b—L→红色a 黑色a—R→红色b |
| 4结点 | 3元素个。 如： a,b,c | 4个子结点或无子结点( , a) , (a, b) , (b, c) , (c, ) | 红色a←L—黑色b—R→红色c |
与红黑树对应关系
- 上图中没有画出具体的
子结点仅用虚线框标识了一下子结点的取值范围。 - 不难看出，只要将
红黑树中的红结点向上一提，与父结点合并，就反推出了234树。 - 在平时分析
红黑树时，可以直接在脑海里映射成234树来分析。这样变化，旋转操作就有据可依，而不是死记硬背了。
插入逻辑
- 新元素插入到叶子结点，如果触发
分裂，再提取元素与上级合并。 - 如果
上提后，父级也触发分裂，则循环此操作，直到根结点。
| 插入场景 | 插入前 | 插入值 | 插入后 | 结论 |
|---|---|---|---|---|
| 当前无结点 | 空 | 1 | [5] | 直接插入就完事了。 |
| 当前2结点 | [5] | 3 | [3, 5] | 2结点升级为3结点。 |
| 当前3结点 | [3, 5] | 7 | [3, 5, 7] | 3结点升级为4结点。 |
| 当前4结点 | [3, 5, 7] | 8 | [5] [3, 7, 8] | 4结点 插入新值后，出现5结点的临时情况。触发分裂： 2 上升与原本的父结点合并。1. 原本没有父结点，直接作为父结点。 2. 原父为 2结点，合并。父结点变成3结点。3. 原父为 3结点，合并。父结点变成4结点。4. 原父为 4结点，合并。递归触发分裂。 |
插入步骤演示
下图演示了234树的插入步骤，以及触发分裂的效果。
下图对应234树插入步骤，在右侧列出对应的红黑树。因为3结点转红黑树存在两种情况，所以按排列组合方式一一列出。
对照前文的与红黑树对应关系，可以看到黑红颜色背后的逻辑来源于234树。
2结点插入
2结点插入新值，直接升级为3结点，无需任何调整。
3结点插入（红黑树旋转）
3结点插入新值，直接升级为4结点，无需任何调整。
但在3结点对应的红黑树中，可能出现不平衡的情况。需要旋转调整实现平衡。
共对应6种红黑树情形
- 旋转方向的逻辑可以想象天平。
左边重了往右挪（旋），右边重了往左挪（旋）。 - 从上图可以看到有
3个位置能插入子结点。对应6种红黑树的情形。 - 其中有
2种是平衡的，无需调整。剩下4种需要再平衡。
有4种情形需要再平衡
虽然共有4种 情形，但其中 LR可以转为LL， RL可以转为RR。总之就是有拐弯的，最终也是转为一条直线，再处理。
LL右旋1次，实现平衡。RR左旋1次，实现平衡。LR左旋1次，转为LL，重复LL的平衡操作。RL右旋1次，转为LL，重复RR的平衡操作。
4结点插入（红黑树变色）
234树转红黑树
先简单的把 4结点 与 红黑树 对应关系，罗列出来。根据新结点插入的位置不同，对应的红黑树也有所差异：
对应上图的步骤序号。
- 原234树为
357. - 插入新元素。将要触发分裂。
- 先分裂。然后找到目标位置，与原有的
2结点合并成为3结点
3.1. 如果还有父结点，分裂出去的结点，与原父结点合并。
3.2. 如果原来的父结点也是一个4结点，将递归触发分裂。 234树结点转红黑树结点。
4.1. 所有2结点变为黑色。
4.2.3结点展开，上黑下红。
触发分裂
单独分析一下触发分裂效果。
- 演示了从
234树的角度来染色的逻辑（左）。 - 演示了从
红黑树的角度来染色的公式（右）。 - 如果当前操作的只是一颗
子树。比如结点2也是红色（需要旋转，对应RR公式），则需要继续处理，直至根。
有4种情形需要变色实现平衡
- 【234树】 插入新元素。将要触发分裂。
- 【234树】 先分裂。然后找到待插入的目标位置，与原有的
2结点合并成为3结点 - 【红黑树】 这是一个中间状态，为了便于观察才把它画出来。（
3结点展开，但未调色，暂时还保持着不平衡的状态，便于观察） - 【红黑树】
父结点、叔伯结点变成黑色，祖父结点变成红色。
4.1.父结点与祖父结点调换颜色：满足红结点子必黑的定义。同时对于插入新结点的这一路径来说黑结点数未发生变化。
4.2.叔伯结点变成黑色：祖父结点原本作为公共的黑结点，挪给左路后，右路就少了一个黑结点。因此叔伯要站出来变黑维持平衡。 - 【红黑树】 最后
祖父结点更新为当前结点。
5.1. 判断曾祖是否为红色。如果是，则需要向上递归调整颜色，一直到根。
5.2. 如果是根，直接染黑。
递归调整颜色
插入新结点 1 后递归触发变色。直到根结点为止。
删除逻辑
- 先删除。（作为一颗二叉树，删除结点）
- 再平衡。（作为一颗红黑树，调整颜色）
删除步骤演示
下图演示了234树的删除步骤，以及触发合并的效果。
同时，右则列表出对应的红黑树。
234树中删除结点，为满足特性（子结点数量），需要向父兄结点借元素。此过程可能会引发合并。下图中也用虚线框标出了借兵过程。
234树删除结点
234树删除结点时，根据被删除的结点所包含的子结点个数不同，共有3种场景：
| 结点 | 子结点数 | 删除操作 |
|---|---|---|
| 2结点 | 0个子结点 | 直接删除。 |
| 3结点 | 1个子结点 | 1. 删除当前结点。 2. 子结点顶上来。（还要染成黑色，维持平衡） |
| 4结点 | 2个子结点 | 1. 找到前驱或后继结点。2. 替换当前结点。 3. 再删除 前驱或后继结点。 |
2结点删除
删除结点后，当前位置空出，红黑树失去平衡。需要向父兄结点借元素来补位。
3结点删除
删除一个元素，变成2结点。保持平衡。
- 红结点：直接删除即可。
- 黑结点：删除黑结点，红结点补位，并变成黑色。
原234树结点，蓝色 标出是要删除的目标。- 转为对应的
红黑树。 - 删除目标结点。
- 如果删的是
父结点。子结点上移补位。 - 补上来的结点染成原
父结点的颜色。如果是根结点直接填充黑色。
4结点删除
删除一个元素，变成3结点。保持平衡。
4结点 的删除，如果忽略掉它的兄弟结点。本质上还是一个3结点的删除。
对应红黑树：
- 红结点：直接删除即可。
- 黑结点：删除黑结点，红结点补位，并变成黑色。
234树结点，蓝色 标出是要删除的目标。- 转为对应的
红黑树。 - 删除目标结点。
- 如果删的是
父结点。子结点上移补位。 - 补上来的结点染成原
父结点的颜色。如果是根结点直接填充黑色。（虽然单看234树转过来的这个局部，父结点必定是黑色。但在一个完整红黑中，父结点有可能是红色）
辅助脚本
红黑树可视化演示
var sleep = (delaytime = 1000) => {
return new Promise(resolve => setTimeout(resolve, delaytime))
}
async function delayDo(arr, callback = data=>console.log(`数据：${data}`), delaytime) {
var len = arr.length;
for (let i = 0; i <len ; i++) {
await sleep(delaytime);
callback(arr[i]);
}
};
// 获取文本框
var [insertTxt, deleteTxt, findTxt] = [...document.querySelectorAll("#AlgorithmSpecificControls [type=Text]")];
// 获取按钮
var [insertBtn, deleteBtn, findBtn] = [...document.querySelectorAll("#AlgorithmSpecificControls [type=Button]")];
var process = {
insert: function insert(v){ insertTxt.value = v; insertBtn.click(); },
del: function del(v){ deleteTxt.value = v; deleteBtn.click(); },
find: function find(v){ findTxt.value = v; findBtn.click(); }
}
// 遍历数组，间隔 n 秒处理一个元素。
function main(arr = [...Array(10).keys()], cb = v=>console.log(v), delaytime=200){
delaytime = delaytime<200 ? 200 : delaytime
delayDo(arr, v => cb(v), delaytime);
}
// 插入元素，间隔 200 毫秒
main([...Array(20).keys()].map(v=>v+1), process.insert, 200);
总结
- 可以将
红黑树看作是234树的一个具体实现。 - 一颗
234树可以对应多个234树。（因为3结点对应红黑树时可以左倾，也可以右倾）
