本节介绍二阶系统的时域分析，主要介绍欠阻尼情况下的时间响应与动态性能指标

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概述

二阶系统时间响应比较重要，因为所有高阶系统都可以使用二阶系统来近似。

二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。反映在传递函数上就是闭环传递函数分母为s的2次方程。

二阶系统传递函数的标准形式

典型结构为一个惯性环节和一个积分环节串联


$G(s)=\frac{{\omega }_n^2}{{}_{s(s+2\xi {\omega }_n)}}$

$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{{}_{s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}}$

其中${\omega }_n$具有$\frac{1}{时间}$的量纲，称为自然频率
$\xi$是常数，称为阻尼比或者阻尼系数

二阶系统分类：
$D(s)=s^2+2\xi {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$

阻尼比	系统分类	特征根
$\xi =0$	0阻尼	${\lambda }_{1,2}=\pm j{\omega }_n$
$0<\xi <1$	欠阻尼	${\lambda }_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j\sqrt{1-{\xi }^2}{\omega }_n$
$\xi =1$	临界阻尼	${\lambda }_1={\lambda }_2=-{\omega }_n$
$\xi >1$	过阻尼	${\lambda }_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm \sqrt{{\xi }^2-1}{\omega }_n$

$-1<\xi <0$，系统震荡发散，$\xi <-1$，系统单调发散。不稳定，所以不加讨论。

极点的表示方法

特征根，也就是系统的极点，有以下几种不同的表示方法：

1. 直角座标表示
   ${\lambda }_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j\sqrt{1-{\xi }^2}{\omega }_n$
   其虚部${\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\xi }^2}$称为阻尼震荡频率
2. “极”座标表示
   注意，这个不是真的极座标，只是用极座标的方式去理解
   把$\lambda$写成模值+相角的形式
   $\{\begin{array}{rl}|\lambda |& ={\omega }_n\\ \angle \lambda & =\beta \end{array}$
   
   根据几何关系：
   $\{\begin{array}{rl}\cos \beta & =\xi \\ \sin \beta & =\sqrt{1-{\xi }^2}\end{array}$
   $\beta$角也称阻尼角

无阻尼响应

此时特征根为共轭纯虚根

临界阻尼响应

此时特征根为两个相同的负实根


没有超调。
调节时间$t_s\approx 4.7\frac{1}{{\omega }_n}$
响应时间比过阻尼快。

过阻尼响应

此时特征根为两个不同的负实根

过阻尼情况下时间响应增加比临界阻尼更慢。
过阻尼情况可以等效为两个一阶惯性系统的串联。如果两个特征根绝对值相差很大（3倍以上），则这个二阶系统可以近似用一阶系统来表示。

动态性能指标的计算：
定义时间常数：
$T_{1,2}=\frac{1}{{\omega }_n(\xi \pm \sqrt{{\xi }^2-1})}$

系统时间响应：
$y(t)=1+\frac{e^{-t/T_1}}{T_2/T_1-1}+\frac{e^{-t/T_2}}{T_1/T_2-1}$ 方程很难解，所以一般直接读图：

「图源：胡寿松-自动控制原理」
首先根据$\frac{T_1}{T_2}$或者$\xi$，在曲线上确定出一个点。然后读出这个点对应的$\frac{t_s}{T_1}$，结合T₁的值就可以计算t_s的值了。

通过一个例子来体会一下这个曲线怎么用：

在工程实践中，如果$\xi \ge 1.5$，可以按照一阶系统计算：
$t_s=(3\sim 4)T_1=(3\sim 4)\times \frac{1}{(\xi -\sqrt{{\xi }^2-1}){\omega }_n}$

欠阻尼响应

此时特征根为共轭复根。

欠阻尼系统的单位阶跃响应

动态性能的三个结论：
$\{\begin{array}{rl}{t}_p& =\frac{\pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}\cdot {\omega }_n}\\ \sigma & =e^{\frac{-\xi \pi }{\sqrt{1-{\xi }^2}}}\\ t_S& \approx \frac{3.5}{\xi {\omega }_n}\end{array}$
也有教材里面$t_s\approx \frac{3}{\xi {\omega }_n}(5\%误差带)，\frac{4}{\xi {\omega }_n}(2\%误差带)$

再补充几个不太重要的指标，了解即可：
上升时间：$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d},{\omega }_d={\omega }_n\cdot \sqrt{1-{\xi }^2}$
震荡次数：$N=\frac{1.5\sqrt{1-{\xi }^2}}{\pi \xi }$

之前说性能指标的时候就已经说过，实际上使用的是单位阶跃响应曲线的包络线。
包络线是曲线：$y(t)=1\pm \frac{1}{\sqrt{1-{\xi }^2}}{e}^{-\xi {\omega }_{n}t}$
实际调节时间是不连续的，比如下面这种情况：(${\omega }_n$为常数)

在${\xi }_2$的情况下，第二次震荡刚好在误差带之内，所以计算调节之间只需要看第一次震荡进入误差带的时间t₂就可以了。
但是在${\xi }_1$的情况下，第二次震荡刚好超出了误差带，所以必须计算第三次震荡进入误差带的时间t₁
虽然${\xi }_1$${\xi }_2$相差很少，但是反映在调节时间上就相差很大了。

最佳阻尼比
$\xi =0.707$

刚好时间响应曲线与误差带相切。这样实际上的调节时间是最短的。
用极座标表示就是$\beta =45°$
最佳阻尼比下，系统的实际调节时间：$\frac{2}{\xi {\omega }_n}$

动态性能与极点分布的关系

极点向上移动，超调量增大，但调节时间不变
向左移动，超调量减小，调节时间也减小
沿着某一条倾斜直线远离原点移动，超调量不变，调节时间减小

${\lambda }_{1,2}=-\xi {\omega }_n\pm j\sqrt{1-{\xi }^2}{\omega }_n$
按照直角座标变化：向上即是仅虚部$\sqrt{1-{\xi }^2}{\omega }_n$增大，$\beta$角增大，对应$\xi$减小，$\sigma =e^{-\xi \pi /\sqrt{1-{\xi }^2}}$增大。$t_s=\frac{3.5}{\xi {\omega }_n}$不变。
向左即是仅实部$-\xi {\omega }_n$变小，$\xi {\omega }_n$变大。$\beta$角减小，对应$\xi$增大。同样代入公式：$\sigma$减小，$t_s$也减小。

按照极座标变化：
远离原点即是${\omega }_n$变大，$\beta$角不变，$\xi$不变。代入公式， $t_s$减小，$\sigma$不变。
绕原点顺时针转动即是${\omega }_n$不变，$\beta$角增大，$\xi$减小。代入公式，$t_s$增大，$\sigma$增大。

例题

欠阻尼二阶系统重点掌握动态性能指标的三个公式就可以了。

除了这种已知系统参数要求性能指标的题，还有已知性能指标倒求系统参数的题：

改善二阶系统动态性能的措施

1. 测速反馈（增加阻尼）
2. 比例+微分（提前控制）