代码随想录算法训练营Day 38| 动态规划part01 | 理论基础、509. 斐波那契数、70. 爬楼梯、746. 使用最小花费爬楼梯

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理论基础

一、常规题目

二、解题步骤

对于动态规划问题，我将拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

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509. 斐波那契数

题目链接

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
2. 确定递推公式
   状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3. dp数组如何初始化
   题目中把如何初始化也直接给我们了，如下： dp[0] = 0; dp[1] = 1;
4. 确定遍历顺序
   从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
5. 打印dp数组

一、动态规划v1

class Solution:
    def fib(self, n):
       
        # 排除 Corner Case
        if n == 0:
            return 0
        
        # 创建 dp table 
        dp = [0] * (n + 1)

        # 初始化 dp 数组
        dp[0] = 0
        dp[1] = 1

        # 遍历顺序: 由前向后。因为后面要用到前面的状态
        for i in range(2, n + 1):

            # 确定递归公式/状态转移公式
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
        
        # 返回答案
        return dp[n

二、动态规划v2

class Solution:
    def fib(self, n):
       
        if n<=1:
            return n
        dp=[0,1]
        for i in range(2,n+1):
            total = dp[0]+dp[1]
            dp[0]=dp[1]
            dp[1]=total  
        return total

三、动态规划v3

class Solution:
    def fib(self, n):
       
        if n<=1:
            return n
        prev0,prev1 = 0,1

        for _ in range(2,n+1):
            cur = prev0 + prev1
            prev0,prev1 = prev1,cur
        return cur

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70. 爬楼梯

题目链接

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]的定义为：爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
2. 确定递推公式
   dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶不就是dp[i]了么。
   dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶不就是dp[i]了么
   状态转移方程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
3. dp数组如何初始化
   dp[1] = 1; dp[2] = 2;
4. 确定遍历顺序
   从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
5. 打印dp数组

一、动态规划v1

class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp = [0]*(n+1)
        if n <=2:
            return n
        dp[1]=1
        dp[2]=2
        for i in range(3,n+1):
            dp[i]=dp[i-1]+dp[i-2]
        return dp[n]

二、动态规划v2

class Solution(object):
    def climbStairs(self, n):
        """
        :type n: int
        :rtype: int
        """
        dp=[0,1,2]
        if n <=2:
            return n
        for i in range(3,n+1):
            total = dp[1]+dp[2]
            dp[1]=dp[2]
            dp[2]=total
        return total

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746. 使用最小花费爬楼梯

题目链接

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]的定义为：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]
2. 确定递推公式
   dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]
   dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]
   状态转移方程 : dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
3. dp数组如何初始化
   dp[0] = 0; dp[1] = 0;
4. 确定遍历顺序
   因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了
5. 打印dp数组

一、dp v1

class Solution(object):
    def minCostClimbingStairs(self, cost):
        """
        :type cost: List[int]
        :rtype: int
        """
        dp = [0] * (len(cost) + 1)
        dp[0] = 0  # 初始值，表示从起点开始不需要花费体力
        dp[1] = 0  # 初始值，表示经过第一步不需要花费体力
        
        for i in range(2, len(cost) + 1):
            # 在第i步，可以选择从前一步（i-1）花费体力到达当前步，或者从前两步（i-2）花费体力到达当前步
            # 选择其中花费体力较小的路径，加上当前步的花费，更新dp数组
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2])
        
        return dp[len(cost)]  # 返回到达楼顶的最小花费

二、dp v2

class Solution(object):
    def minCostClimbingStairs(self, cost):
        """
        :type cost: List[int]
        :rtype: int
        """
        dp0=0
        dp1=0
        for i in range(2,len(cost)+1):
            dp2=min(dp1+cost[i-1],dp0+cost[i-2])
            dp0=dp1
            dp1=dp2
        return dp2