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0.观前必读

• 本篇为总结篇，建议看了后面的博文后，再来看本篇，会有不一样的感受哦~

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1.递归

1.什么是递归？

• 函数自己调用自己

2.为什么会用到递归？

• 本质：解决一个问题时，出现相同的子问题
  • 主问题 -> 相同的子问题
  • 子问题 -> 相同的子问题
  • ……
    

3.如何理解递归？

• 分为三个阶段
  1. 递归展开的细节图
  2. 二叉树中的题目
  3. 宏观看待递归的过程
     • 不要在意递归的细节展开图
     • 把递归的函数当成一个黑盒
     • 相信这个黑盒一定能完成这个任务
• 用以下例子形象感受

// 二叉树的后序遍历
void DFS(TreeNode* root)
{
	// 出口
	if(root == nullptr)
	{
		return;
	}

	DFS(root->left);  // 相信这个函数一定可以做到，遍历左子树
	DFS(root->right); // 相信这个函数一定可以做到，遍历右子树
	cout << root->val;
}

void Merge(vector<int>& nums, int left, int right)
{
	// 出口
	if(left >= right)
	{
		return;
	}
	
	int mid = left + (right - left) / 2;
	Merge(nums, left, mid);      // 相信这个函数一定可以做到，排序左区间
	Merge(nums, mid + 1, right); // 相信这个函数一定可以做到，排序右区间

	// Merge...
}

4.如何写好一个递归？

1. 先写到相同的子问题
   • 这将决定：函数头的设计
2. 只关心某一个子问题是如何解决的
   • 这将决定：函数体的书写
3. 注意一下递归函数的出口

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2.概念乱斗:P

1.深度优先遍历 vs 深度优先搜索 && 宽度优先遍历 vs 宽度优先搜索

• 搜索与遍历相比，只多了访问结点值这一步，所以可以这样认为
  • 深度优先遍历 == 深度优先搜索
  • 宽度优先遍历 == 宽度优先搜索
• 遍历是形式，目的是搜索
  

2.搜索 vs 暴搜

• 搜索：暴力枚举一遍所有的情况
• 搜索 == 暴搜
  • BFS
  • DFS

3.拓展搜索问题

• 全排列 <- 决策树
  

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3.回溯与剪枝

• 回溯本质：深搜(DFS)
  • 回退就是回溯，不用区分那么细
• 剪枝：在一个结点有两种选择，但是已经明确知道其中一种选择不是想要的结果，可以剪掉(去掉)这种结果/情况
  • 在树中，就是形象的剪掉了一个叶子或者某一个结点的子树
    

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4.总结

1.递归 vs 深搜

• 递归的展开图，其实就是对一棵树做了一次深度优先遍历(DFS)
  • 此处的树不局限于二叉树，多叉树也可以
    

2.迭代 vs 递归

• 本质：都是解决重复的子问题

• 迭代可以改递归，递归也可以改迭代

  • 如果树的递归想改成迭代，需要借助栈来存储当前信息以帮助解决问题
    • 因为树的递归时，当执行完左子树之后，整个函数是还没有被执行完的，还要进行后续操作，并且递归展开执行右子树的内容
    • 所以当递归改成迭代时，就需要借助栈，来保存此时的信息，在完成"左子树"逻辑后，再进行后续操作

• 什么时候迭代舒服，什么时候递归舒服？

  • 当递归展开图比较麻烦的时候，递归舒服
  • 当递归展开图只有一个分支时，迭代舒服
    

• 用下面的代码感受下：如何遍历一个数组？

void ContainDuplicate(vector<int>& nums)
{
	// 迭代
	for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
	{
		cout << nums[i] << " ";
	}

	// 递归
	DFS(nums, 0);
}

void DFS(vector<int>& nums, size_t i)
{
	if(i == nums.size())
	{
		return;
	}

	cout << nums[i] << " ";
	DFS(nums, i + 1);
}

3.前序遍历 vs 后序遍历

• 补充：中序遍历是只在二叉树中才有的，多叉树是不适用的
• 前序遍历和后序遍历都是DFS，只是访问结点的时机不一样
• 以上面的遍历数组为例，可以看出前序遍历和后序遍历只是两行代码交换了一下顺序而已，本质就是访问结点的时机变了

void ContainDuplicate(vector<int>& nums)
{
	// 迭代
	for(int i = 0; i < nums.size(); i++)
	{
		cout << nums[i] << " ";
	}

	// 递归
	DFS(nums, 0);
}

// 前序遍历
void DFS1(vector<int>& nums, size_t i)
{
	if(i == nums.size())
	{
		return;
	}

	cout << nums[i] << " ";
	DFS(nums, i + 1);
}

// 后序遍历
void DFS1(vector<int>& nums, size_t i)
{
	if(i == nums.size())
	{
		return;
	}

	DFS(nums, i + 1);
	cout << nums[i] << " ";
}

• 后序遍历按照左⼦树、右⼦树、根节点的顺序遍历⼆叉树的所有节点，通常⽤于⽗节点的状态依赖于⼦节点状态的题⽬

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5.经验之谈

1.全局变量的优势

• 在解决递归问题时，全局变量有时会大大的简化递归模型的设计和问题的抽象
• 比如二叉树的中序遍历，全局变量就可以用来保存上一个访问的结点的状态值
  • 此时，在中序遍历中，想把状态在每层递归中传递，就不会像前序遍历那样直接当成参数设计那样来的方便

2.剪枝

• 在判断此时条件已经不复合要求时，此时可以果断舍去后面的递归过程
  • 因为此时已经知道结果，再往后继续递归展开判断也是没有意义的了
• 剪枝在递归中，可以加快搜索过程
  • 具体感受可见「验证二叉搜索树」

3.回溯

• 理解顺序：回溯 -> 恢复现场
• 回溯：恢复现场，通常有两种做法
  • 全局变量：一般是数组时使用比较好
  • 函数传参：一般是单个变量时使用比较好
    • 此时的回溯，是编译器/代码代为做了回溯，开销较小

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6.记忆化搜索 VS 动态规划

1.思路是什么？

• 记忆化搜索：带备忘录的递归:P
• 动态规划一般思路：
  • 确定状态表示 -> dp[i]的含义
  • 推导状态转移方程
  • 初始化
  • 确定填表顺序
  • 确定返回值

2.本质理解

• 大部分情况下，记忆化搜索的代码是可以改成动态规划代码的
• 以斐波那契数列举例
  • 确定状态表示：dp[i] -> 第i个斐波那契数
    • DFS()的含义
  • 推导状态转移方程：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
    • DFS()的函数体
  • 初始化：dp[0] = 0, dp[1] = 1
    • DFS()的递归出口
  • 确定填表顺序：
    • 填写备忘录的顺序
  • 确定返回值：主函数是如何调用DFS()的
• 动态规划和记忆化搜索本质
  • 暴力解法 -> 暴搜
  • 对递归解法的优化：把已经计算过的值，存起来
• 《算法导论》中，记忆化搜索和常规的动态规划都被归为动态规划的范畴，区别为：
  • 记忆化搜索 -> 递归
  • 常规的动态规划 -> 递推(循环)

3.问题思考 && 总结

• 所有的递归(暴搜，深搜)，都可以改成记忆化搜索吗？

  • 不能
  • 只有在递归的过程中，出现了大量完全相同的问题时，才能用记忆化搜索的方式优化

• 带备忘录的递归 VS 带备忘录的动态规划 VS 记忆化搜索

  • 都是一回事:P

• 自顶向上 VS 自底向上

  • 区别：解决问题时，不同的思考方式
  • 自顶向下 -> 递归
  • 自底向上 -> 动态规划
    

• 大多数情况下，暴搜 -> 记忆化搜索 -> 动态规划，这条优化代码的思考线路是没问题的

  • 但是并不绝对，有时候直接思考动态规划比思考暴搜来的方便
  • 因人而异，因题而异
  • 总结：这条思考线路为我们确定状态表示，提供一个方向