AVL树的旋转

news2025/10/31 10:47:48

目录

1.平衡因子

2.旋转 

a.节点定义

b.插入 

插入

平衡因子更新

 旋转

 左单旋

右单旋

 右左双旋

 左右双旋

3.AVL树的验证

1.平衡因子

我们知道搜索二叉树有缺陷，就是不平衡，比如下面的树

什么是搜索树的平衡？就是每个节点的左右子树的高度差不超过1，称平衡的搜索树为AVL树， 那我们怎么控制搜索树的平衡呢？

给出了平衡因子，每个节点的平衡因子=节点右子树的高度-节点左子树的高度（或者反过来，我们用前面那种）平衡因子=[-1,1],当超出这个范围，搜索树就不平衡了

树的平衡因子可以这样表示：

2.旋转 

a.节点定义

template<class K,class V>
class AVLNode
{
public:
	typedef AVLNode<K,V> Node;

	AVLNode(const pair<K,V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
	Node* _left;
	Node* _right;
	Node* _parent;
	pair<K, V> _kv;//库里面提供的结构体，表示key和value
	int _bf;//平衡因子

};

b.插入 

插入

左边小插左边，右边大插右边

template<class K,class V>
class AVLTree
{
public:
	typedef AVLNode<K, V> Node;
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;
		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (kv.first > cur->_kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}
		 cur = new Node(kv);
		 
		if (parent->_kv .first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}
		cur->_parent = parent;

		//更新平衡因子
		//...............


      return true;
	}

protected:
//........
private:
	Node* _root=nullptr；
};
平衡因子更新

前面都好理解插入一个节点，那插入节点后平衡因子怎么更新呢？

        //更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)
			{
				parent->_bf--;
			}
			else
			{
				parent->_bf++;
			}

			if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
			{
				//继续更新
				parent = parent->_parent;
				cur =cur->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 0)
			{
                //已经平衡
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				//进行旋转
				//...........
			}
            else
			{
				assert(false);//有可能不会出现上面的情况，出现大问题了，立马断死
			}
             break;//直接跳出了
		}
 旋转

有四种情况需要旋转

      else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 进行旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度
				if(parent->_bf==2&&cur->_bf==1)
				{ 

				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{

				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{

				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{

				}
				else
				{
					assert(false);//有可能不会出现上面的情况，出现大问题了，立马断死
				}
			}
 左单旋

代码怎么写呢？

是不是感觉这样就链接上了，其实不对的，每个节点的父亲也要更新的

你以为又结束了吗？

protected:
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)//有可能subRL是空
			subRL->_parent = parent;

		//记录父亲的父亲节点
		Node* pparent = parent->_parent;
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;
	
		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subR;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subR;
			}
			subR->_parent = pparent;
		}
		//更新平衡因子
		parent->_bf = subR->_bf = 0;	
	}

 总结：更新节点指向是一定要更新他的父亲节点的指向

右单旋

和左单旋是类似的，读者可以模仿上面来分析，自己把它写出来

void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subR->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR) //有可能subLR是空
			subLR->_parent = parent;
		//记录父亲的父亲节点
		Node* pparent = parent->_parent;
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (pparent == nullptr)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (pparent->_left == parent)
			{
				pparent->_left = subL;
			}
			else
			{
				pparent->_right = subL;
			}
			subL->_parent = pparent;
		}
		//更新平衡因子
		parent->_bf = subL->_bf = 0;
	}
 右左双旋

代码怎么写呢？

我们可以对单旋进行复用

这样就可以了吗？不是，单旋会把平衡因子都置为0，所以还要更新平衡因子

void RotateRL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		//记录平衡因子
		int bf = subRL->_bf;
		RotateR(parent->_right);
		RotateL(parent);
		//更新平衡因子
		if (bf == 1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
			parent->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			subRL->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
 左右双旋

类似的，读者自行分析


 

void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;
		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 1;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else if (bf== 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
			{
				// 进行旋转处理 -- 1、让这颗子树平衡 2、降低这颗子树的高度
				if(parent->_bf==2&&cur->_bf==1)
				{ 
					RotateL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateRL(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
				{
					RotateR(parent);
				}
				else
				{
					assert(false);//有可能不会出现上面的情况，出现大问题了，立马断死
				}
				break;//直接跳出
			}

3.AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：
1. 验证其为二叉搜索树
如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2. 验证其为平衡树
每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)，节点的平衡因子是否计算正确

第一点很简单啦！！！！

void Inorder()
	{
		_Inorder(_root);
		cout << endl;
	}
void _Inorder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_Inorder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << ' ';
		_Inorder(root->_right);
	}

怎么验证平衡树呢？

     bool Isbalance()
	{
		return _Isbalance(_root);
	}
    bool _Isbalance(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
			return true;

		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);

		//用于快速判断哪个节点错误
		if (rightH - leftH != root->_bf)
		{
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}
         //不只检查本节点左右子树的平衡，其他节点的子树也要检查
		return abs(leftH - rightH) < 2
			&& _Isbalance(root->_left)
			&& _Isbalance(root->_right);
	}

	int Height()
	{
		return _Height(_root);
	}
    int _Height(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return 0;
		}
		int leftH = _Height(root->_left);
		int rightH = _Height(root->_right);
		return leftH > rightH ? leftH + 1 : rightH+ 1;
	}

你们可以用这两个用例

void testAVLtree1()
{
	/*int a[] = { 4, 2, 6, 1, 3, 5, 15, 7, 16,14 };*/
	int a[] = { 16, 3, 7, 11, 9, 26, 18, 14, 15 };

	AVLTree<int, int> av;
	for (auto e : a)
	{
		if (e == 14)
		{
			int a = 0;
		}
		av.Insert(make_pair(e, e));
	}
	av.Inorder();
	cout << av.Isbalance()<<endl;
}

也要用随机数验证

void testAVLtree2()
{
	srand(time(0));
	const size_t N = 500000;
	AVLTree<int, int> t;
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{
		size_t x = rand() + i;
		t.Insert(make_pair(x, x));
		//cout << t.IsBalance() << endl;
	}

	//t.Inorder();

	cout << t.Isbalance() << endl;
	cout << t.Height() << endl;
}

这两个都过了说明你的树就没问题了

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