【最大公约调和级数并集查找】2709. 最大公约数遍历

news2025/10/31 16:29:09

涉及知识点

最大公约调和级数并集查找（并差集)
质数、最大公约数、菲蜀定理

LeetCode 2709. 最大公约数遍历

给你一个下标从 0 开始的整数数组 nums ，你可以在一些下标之间遍历。对于两个下标 i 和 j（i != j），当且仅当 gcd(nums[i], nums[j]) > 1 时，我们可以在两个下标之间通行，其中 gcd 是两个数的最大公约数。
你需要判断 nums 数组中任意两个满足 i < j 的下标 i 和 j ，是否存在若干次通行可以从 i 遍历到 j 。
如果任意满足条件的下标对都可以遍历，那么返回 true ，否则返回 false 。
示例 1：
输入：nums = [2,3,6]
输出：true
解释：这个例子中，总共有 3 个下标对：(0, 1) ，(0, 2) 和 (1, 2) 。
从下标 0 到下标 1 ，我们可以遍历 0 -> 2 -> 1 ，我们可以从下标 0 到 2 是因为 gcd(nums[0], nums[2]) = gcd(2, 6) = 2 > 1 ，从下标 2 到 1 是因为 gcd(nums[2], nums[1]) = gcd(6, 3) = 3 > 1 。
从下标 0 到下标 2 ，我们可以直接遍历，因为 gcd(nums[0], nums[2]) = gcd(2, 6) = 2 > 1 。同理，我们也可以从下标 1 到 2 因为 gcd(nums[1], nums[2]) = gcd(3, 6) = 3 > 1 。
示例 2：
输入：nums = [3,9,5]
输出：false
解释：我们没法从下标 0 到 2 ，所以返回 false 。
示例 3：
输入：nums = [4,3,12,8]
输出：true
解释：总共有 6 个下标对：(0, 1) ，(0, 2) ，(0, 3) ，(1, 2) ，(1, 3) 和 (2, 3) 。所有下标对之间都存在可行的遍历，所以返回 true 。

提示：
1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁵

并集查找

每个数的下标都看成一个节点，最大公约数大于1，则相连。本题 $\iff$ 只有一个连通区域。
枚举x $\in$ [2,m] ，如果nums[i]是x的倍数，则和前一个x的倍数相连。时间复杂度:O(nlogn)，就是n $\times$ 调和级数之和。

一，将相同的值x连接起来，x>1。
二，将x的倍数连起来。
三，判断是否只有一个连通区域。

代码

核心代码

class CUnionFind
{
public:
	CUnionFind(int iSize) :m_vNodeToRegion(iSize)
	{
		for (int i = 0; i < iSize; i++)
		{
			m_vNodeToRegion[i] = i;
		}
		m_iConnetRegionCount = iSize;
	}	
	CUnionFind(vector<vector<int>>& vNeiBo):CUnionFind(vNeiBo.size())
	{
		for (int i = 0; i < vNeiBo.size(); i++) {
			for (const auto& n : vNeiBo[i]) {
				Union(i, n);
			}
		}
	}
	int GetConnectRegionIndex(int iNode)
	{
		int& iConnectNO = m_vNodeToRegion[iNode];
		if (iNode == iConnectNO)
		{
			return iNode;
		}
		return iConnectNO = GetConnectRegionIndex(iConnectNO);
	}
	void Union(int iNode1, int iNode2)
	{
		const int iConnectNO1 = GetConnectRegionIndex(iNode1);
		const int iConnectNO2 = GetConnectRegionIndex(iNode2);
		if (iConnectNO1 == iConnectNO2)
		{
			return;
		}
		m_iConnetRegionCount--;
		if (iConnectNO1 > iConnectNO2)
		{
			UnionConnect(iConnectNO1, iConnectNO2);
		}
		else
		{
			UnionConnect(iConnectNO2, iConnectNO1);
		}
	}

	bool IsConnect(int iNode1, int iNode2)
	{
		return GetConnectRegionIndex(iNode1) == GetConnectRegionIndex(iNode2);
	}
	int GetConnetRegionCount()const
	{
		return m_iConnetRegionCount;
	}
	vector<int> GetNodeCountOfRegion()//各联通区域的节点数量
	{
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		vector<int> vRet(iNodeSize);
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			vRet[GetConnectRegionIndex(i)]++;
		}
		return vRet;
	}
	std::unordered_map<int, vector<int>> GetNodeOfRegion()
	{
		std::unordered_map<int, vector<int>> ret;
		const int iNodeSize = m_vNodeToRegion.size();
		for (int i = 0; i < iNodeSize; i++)
		{
			ret[GetConnectRegionIndex(i)].emplace_back(i);
		}
		return ret;
	}
private:
	void UnionConnect(int iFrom, int iTo)
	{
		m_vNodeToRegion[iFrom] = iTo;
	}
	vector<int> m_vNodeToRegion;//各点所在联通区域的索引,本联通区域任意一点的索引，为了增加可理解性，用最小索引
	int m_iConnetRegionCount;
};

class Solution {
public:
	bool canTraverseAllPairs(vector<int>& nums) {
		m_c = nums.size();
		const int iMax = *std::max_element(nums.begin(), nums.end());
		vector<vector<int>> vIndexs(iMax + 1);
		CUnionFind uf(m_c);
		for (int i = 0; i <m_c; i++) {
			auto& v = vIndexs[nums[i]];
			if (v.size()&&(1 != nums[i])) { uf.Union(v.back(), i); }
			v.emplace_back(i);
		}
		for (int x = 2; x <= iMax; x++) {
			int iPre = -1;
			for (int y = x; y <= iMax; y += x) {
				if (vIndexs[y].empty()) { continue; }
				if (-1 != iPre) { uf.Union(iPre, vIndexs[y].back()); }
				iPre = vIndexs[y].back();
			}
		}
		return uf.GetConnetRegionCount() == 1;
	}
	int m_c;
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		assert(v1[i] == v2[i]);
	}
}

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

int main()
{
	vector<int> nums;
	{
		Solution slu;
		nums = { 1,1 };
		auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
		Assert(false, res);
	}
	{
		Solution slu;
		nums = { 2, 3, 6 };
		auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
		Assert(true, res);
	}
	{
		Solution slu;
		nums = { 3,9,5 };
		auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
		Assert(false, res);
	}
	{
		Solution slu;
		nums = { 4,3,12,8 };
		auto res = slu.canTraverseAllPairs(nums);
		Assert(true, res);
	}
}

扩展阅读

视频课程

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https://edu.csdn.net/course/detail/38771

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子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。
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