曲线积分
第一类曲线积分:对弧长的积分计算方法
 定理:设 
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        f(x,y) 
       
      
    f(x,y)在曲线弧 
     
      
       
       
         L 
        
       
      
        L 
       
      
    L上有定义且连续, 
     
      
       
       
         L 
        
       
      
        L 
       
      
    L的参数方程是
  
      
       
        
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
              
                x 
               
              
                = 
               
              
                φ 
               
              
                ( 
               
              
                t 
               
              
                ) 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                y 
               
              
                = 
               
              
                ψ 
               
              
                ( 
               
              
                t 
               
              
                ) 
               
              
             
            
           
          
         
        
          ( 
         
        
          α 
         
        
          ≤ 
         
        
          t 
         
        
          ≤ 
         
        
          β 
         
        
          ) 
         
        
       
         \begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases}(\alpha\le t\le\beta) 
        
       
     {x=φ(t)y=ψ(t)(α≤t≤β)
 若 
     
      
       
       
         φ 
        
       
         ( 
        
       
         t 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         ψ 
        
       
         ( 
        
       
         t 
        
       
         ) 
        
       
      
        \varphi(t),\psi(t) 
       
      
    φ(t),ψ(t)在 
     
      
       
       
         [ 
        
       
         α 
        
       
         , 
        
       
         β 
        
       
         ] 
        
       
      
        [\alpha, \beta] 
       
      
    [α,β]上具有连续的一阶偏导数,且 
     
      
       
        
        
          φ 
         
         
         
           ′ 
          
         
           2 
          
         
        
       
         ( 
        
       
         t 
        
       
         ) 
        
       
         + 
        
        
        
          ψ 
         
         
         
           ′ 
          
         
           2 
          
         
        
       
         ( 
        
       
         t 
        
       
         ) 
        
       
         ≠ 
        
       
         0 
        
       
      
        \varphi'^2(t)+\psi'^2(t)\ne0 
       
      
    φ′2(t)+ψ′2(t)=0,则曲线积分 
     
      
       
        
        
          ∫ 
         
        
          L 
         
        
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         d 
        
       
         s 
        
       
      
        \int_Lf(x,y)ds 
       
      
    ∫Lf(x,y)ds存在,且
  
      
       
        
         
         
           ∫ 
          
         
           L 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           α 
          
         
           β 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          φ 
         
        
          ( 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          , 
         
        
          ψ 
         
        
          ( 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          ) 
         
         
          
           
           
             φ 
            
            
            
              ′ 
             
            
              2 
             
            
           
          
            ( 
           
          
            t 
           
          
            ) 
           
          
            + 
           
           
           
             ψ 
            
            
            
              ′ 
             
            
              2 
             
            
           
          
            ( 
           
          
            t 
           
          
            ) 
           
          
         
        
          d 
         
        
          t 
         
        
          ( 
         
        
          α 
         
        
          ≤ 
         
        
          β 
         
        
          ) 
         
        
       
         \int_Lf(x,y)ds=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'^2(t)+\psi'^2(t)}dt(\alpha\le \beta) 
        
       
     ∫Lf(x,y)ds=∫αβf(φ(t),ψ(t))φ′2(t)+ψ′2(t)dt(α≤β)
 参数方程的一个特例是
  
      
       
        
         
         
           { 
          
          
           
            
             
              
              
                x 
               
              
                = 
               
              
                x 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                y 
               
              
                = 
               
              
                y 
               
              
                ( 
               
              
                x 
               
              
                ) 
               
              
             
            
           
          
         
        
          ( 
         
        
          α 
         
        
          ≤ 
         
        
          x 
         
        
          ≤ 
         
        
          β 
         
        
          ) 
         
        
       
         \begin{cases} x=x\\ y=y(x) \end{cases}(\alpha\le x\le\beta) 
        
       
     {x=xy=y(x)(α≤x≤β)
 第二类曲线积分:沿坐标轴进行积分
 考虑一个变力做功的场景:变力为 
     
      
       
       
         F 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         i 
        
       
         + 
        
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         j 
        
       
      
        \bold F(x,y)=P(x,y)\bold i+Q(x,y)\bold j 
       
      
    F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,沿着曲线做功
  
      
       
        
         
         
           ∫ 
          
         
           L 
          
         
        
          F 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          r 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           L 
          
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          + 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           L 
          
         
        
          Q 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \int_L\bold F(x,y)d\bold r=\int_LP(x,y)dx+\int_LQ(x,y)dy 
        
       
     ∫LF(x,y)dr=∫LP(x,y)dx+∫LQ(x,y)dy其中 
     
      
       
       
         F 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         i 
        
       
         + 
        
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         j 
        
       
         , 
        
       
         d 
        
       
         r 
        
       
         = 
        
       
         d 
        
       
         x 
        
       
         i 
        
       
         + 
        
       
         d 
        
       
         y 
        
       
         j 
        
       
      
        \bold F(x,y)=P(x,y)\bold i+Q(x,y)\bold j, d\bold r=dx\bold i+dy\bold j 
       
      
    F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j,dr=dxi+dyj
两类曲线积分的关系
  
      
       
        
         
         
           ∫ 
          
         
           L 
          
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
         
           L 
          
         
        
          P 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          cos 
         
        
           
         
        
          α 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          ) 
         
        
          cos 
         
        
           
         
        
          β 
         
        
          d 
         
        
          s 
         
        
       
         \int_LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=\int_LP(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta ds 
        
       
     ∫LP(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫LP(x,y)cosα+Q(x,y)cosβds其中 
     
      
       
       
         α 
        
       
         , 
        
       
         β 
        
       
      
        \alpha, \beta 
       
      
    α,β是有向曲线在 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        (x,y) 
       
      
    (x,y)处的方向角(和坐标轴的夹角)。
推导
 假设 
     
      
       
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
      
        x,y 
       
      
    x,y满足参数方程
  
      
       
        
         
          
           
            
            
              { 
             
             
              
               
                
                 
                 
                   x 
                  
                 
                   ( 
                  
                 
                   t 
                  
                 
                   ) 
                  
                 
                
               
               
                
                 
                 
                   = 
                  
                 
                   φ 
                  
                 
                   ( 
                  
                 
                   t 
                  
                 
                   ) 
                  
                 
                
               
              
              
               
                
                 
                 
                   y 
                  
                 
                   ( 
                  
                 
                   t 
                  
                 
                   ) 
                  
                 
                
               
               
                
                 
                 
                   = 
                  
                 
                   ψ 
                  
                 
                   ( 
                  
                 
                   t 
                  
                 
                   ) 
                  
                 
                
               
              
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} \begin{cases} x(t)&=\varphi(t)\\ y(t)&=\psi(t) \end{cases} \end{aligned} 
        
       
     {x(t)y(t)=φ(t)=ψ(t)
 对于第二类曲线积分
  
      
       
        
         
          
           
           
             I 
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              + 
             
            
              ∫ 
             
            
              Q 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              y 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               a 
              
             
               b 
              
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              φ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              , 
             
            
              ψ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
             
             
               φ 
              
             
               ′ 
              
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              t 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               a 
              
             
               b 
              
             
            
              Q 
             
            
              ( 
             
            
              φ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              , 
             
            
              ψ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
             
             
               ψ 
              
             
               ′ 
              
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              t 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} I&=\int P(x,y)dx+\int Q(x,y)dy\\ &=\int_a^b P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t)dt+\int_a^b Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)dt \end{aligned} 
        
       
     I=∫P(x,y)dx+∫Q(x,y)dy=∫abP(φ(t),ψ(t))φ′(t)dt+∫abQ(φ(t),ψ(t))ψ′(t)dt
 考虑曲线在 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        (x,y) 
       
      
    (x,y)的切线方向向量
  
      
       
        
        
          τ 
         
        
          = 
         
         
         
           φ 
          
         
           ′ 
          
         
        
          ( 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          i 
         
        
          + 
         
         
         
           ψ 
          
         
           ′ 
          
         
        
          ( 
         
        
          t 
         
        
          ) 
         
        
          j 
         
        
       
         \bold\tau=\varphi'(t)\bold i+\psi'(t)\bold j 
        
       
     τ=φ′(t)i+ψ′(t)j
 则其两个方向角
  
      
       
        
        
          cos 
         
        
           
         
        
          α 
         
        
          = 
         
         
          
           
           
             φ 
            
           
             ′ 
            
           
          
            ( 
           
          
            t 
           
          
            ) 
           
          
          
           
            
            
              φ 
             
            
              ′ 
             
            
           
             ( 
            
           
             t 
            
            
            
              ) 
             
            
              2 
             
            
           
             + 
            
            
            
              ψ 
             
            
              ′ 
             
            
           
             ( 
            
           
             t 
            
            
            
              ) 
             
            
              2 
             
            
           
          
         
         
        
          cos 
         
        
           
         
        
          β 
         
        
          = 
         
         
          
           
           
             ψ 
            
           
             ′ 
            
           
          
            ( 
           
          
            t 
           
          
            ) 
           
          
          
           
            
            
              φ 
             
            
              ′ 
             
            
           
             ( 
            
           
             t 
            
            
            
              ) 
             
            
              2 
             
            
           
             + 
            
            
            
              ψ 
             
            
              ′ 
             
            
           
             ( 
            
           
             t 
            
            
            
              ) 
             
            
              2 
             
            
           
          
         
        
            
         
        
       
         \cos\alpha = \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}}\\ \cos\beta = \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}}\ 
        
       
     cosα=φ′(t)2+ψ′(t)2φ′(t)cosβ=φ′(t)2+ψ′(t)2ψ′(t) 
考虑下面函数的第一类曲线积分
  
      
       
        
         
          
           
            
            
              I 
             
            
              ′ 
             
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
              + 
             
            
              Q 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              β 
             
            
              d 
             
            
              s 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              φ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              , 
             
            
              ψ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
             
              
               
               
                 φ 
                
               
                 ′ 
                
               
              
                ( 
               
              
                t 
               
              
                ) 
               
              
              
               
                
                
                  φ 
                 
                
                  ′ 
                 
                
               
                 ( 
                
               
                 t 
                
                
                
                  ) 
                 
                
                  2 
                 
                
               
                 + 
                
                
                
                  ψ 
                 
                
                  ′ 
                 
                
               
                 ( 
                
               
                 t 
                
                
                
                  ) 
                 
                
                  2 
                 
                
               
              
             
            
              + 
             
            
              ∫ 
             
            
              Q 
             
            
              ( 
             
            
              φ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              , 
             
            
              ψ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
             
              
               
               
                 ψ 
                
               
                 ′ 
                
               
              
                ( 
               
              
                t 
               
              
                ) 
               
              
              
               
                
                
                  φ 
                 
                
                  ′ 
                 
                
               
                 ( 
                
               
                 t 
                
                
                
                  ) 
                 
                
                  2 
                 
                
               
                 + 
                
                
                
                  ψ 
                 
                
                  ′ 
                 
                
               
                 ( 
                
               
                 t 
                
                
                
                  ) 
                 
                
                  2 
                 
                
               
              
             
            
              d 
             
            
              s 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
             
             
               ( 
              
             
               P 
              
             
               ( 
              
             
               φ 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               ) 
              
             
               , 
              
             
               ψ 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
              
               
                
                
                  φ 
                 
                
                  ′ 
                 
                
               
                 ( 
                
               
                 t 
                
               
                 ) 
                
               
               
                
                 
                 
                   φ 
                  
                 
                   ′ 
                  
                 
                
                  ( 
                 
                
                  t 
                 
                 
                 
                   ) 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                
                  + 
                 
                 
                 
                   ψ 
                  
                 
                   ′ 
                  
                 
                
                  ( 
                 
                
                  t 
                 
                 
                 
                   ) 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                
               
              
             
               + 
              
             
               ∫ 
              
             
               Q 
              
             
               ( 
              
             
               φ 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               ) 
              
             
               , 
              
             
               ψ 
              
             
               ( 
              
             
               t 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
              
               
                
                
                  ψ 
                 
                
                  ′ 
                 
                
               
                 ( 
                
               
                 t 
                
               
                 ) 
                
               
               
                
                 
                 
                   φ 
                  
                 
                   ′ 
                  
                 
                
                  ( 
                 
                
                  t 
                 
                 
                 
                   ) 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                
                  + 
                 
                 
                 
                   ψ 
                  
                 
                   ′ 
                  
                 
                
                  ( 
                 
                
                  t 
                 
                 
                 
                   ) 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                
               
              
             
               ) 
              
             
             
              
               
               
                 φ 
                
               
                 ′ 
                
               
              
                ( 
               
              
                t 
               
               
               
                 ) 
                
               
                 2 
                
               
              
                + 
               
               
               
                 ψ 
                
               
                 ′ 
                
               
              
                ( 
               
              
                t 
               
               
               
                 ) 
                
               
                 2 
                
               
              
             
            
              d 
             
            
              t 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              φ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              , 
             
            
              ψ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
             
             
               φ 
              
             
               ′ 
              
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              + 
             
            
              ∫ 
             
            
              Q 
             
            
              ( 
             
            
              φ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              , 
             
            
              ψ 
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
             
             
               ψ 
              
             
               ′ 
              
             
            
              ( 
             
            
              t 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              t 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              I 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} I' &= \int P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta ds\\ &=\int P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} +\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} ds\\ &=\int \left (P(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\varphi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} +\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \frac{\psi'(t)}{\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}} \right)\sqrt{\varphi'(t)^2+\psi'(t)^2}dt\\ &=\int P(\varphi(t), \psi(t)) \varphi'(t)+\int Q(\varphi(t), \psi(t)) \psi'(t)dt\\ &=I \end{aligned} 
        
       
     I′=∫P(x,y)cosα+Q(x,y)cosβds=∫P(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2φ′(t)+∫Q(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2ψ′(t)ds=∫(P(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2φ′(t)+∫Q(φ(t),ψ(t))φ′(t)2+ψ′(t)2ψ′(t))φ′(t)2+ψ′(t)2dt=∫P(φ(t),ψ(t))φ′(t)+∫Q(φ(t),ψ(t))ψ′(t)dt=I
理解
 怎么直观理解呢?让我们会到变力做功问题。按照定义,适合计算的场景是第二类曲线积分。但是实际上也可以使用第一类曲线积分来进行计算。也就是计算曲线上每一点做功的量。 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x方向上每一点移动微小距离从 
     
      
       
       
         A 
        
       
      
        A 
       
      
    A到 
     
      
       
       
         B 
        
       
      
        B 
       
      
    B做功的量
  
      
       
        
         
          
           
            
            
              W 
             
            
              x 
             
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
             
             
               i 
              
             
               → 
              
             
            
              ⋅ 
             
             
             
               τ 
              
             
               → 
              
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              τ 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
                
             
            
              τ 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
                
             
            
              d 
             
            
              s 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} W_x&=P(x,y)\overrightarrow{\bold i}\cdot\overrightarrow{\bold{\tau}}\\ &=P(x,y)\tau\cos{\alpha}\\ &=P(x,y)\cos{\alpha}\ \tau\\ &=P(x,y)\cos{\alpha}\ ds \end{aligned} 
        
       
     Wx=P(x,y)i⋅τ=P(x,y)τcosα=P(x,y)cosα τ=P(x,y)cosα ds
 可以将此处的功看做 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y) 
       
      
    P(x,y)在此处的线密度, 
     
      
       
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        Q(x,y) 
       
      
    Q(x,y)类似。其中 
     
      
       
        
        
          τ 
         
        
          → 
         
        
       
      
        \overrightarrow{\bold\tau} 
       
      
    τ是指向从 
     
      
       
       
         A 
        
       
      
        A 
       
      
    A指向 
     
      
       
       
         B 
        
       
      
        B 
       
      
    B的向量,当 
     
      
       
       
         A 
        
       
      
        A 
       
      
    A到 
     
      
       
       
         B 
        
       
      
        B 
       
      
    B距离很近时,也就是其切向量。第一类和第二类曲线积分关系理解的一个问题是, 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y) 
       
      
    P(x,y)已经是 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x轴分量了,为什么还需要乘 
     
      
       
       
         c 
        
       
         o 
        
       
         s 
        
       
         α 
        
       
      
        cos\alpha 
       
      
    cosα,这是因为为了计算其做功,需要使用其在路径方向上的分量来计算。就好比,为了计算做功,首先对力进行 
     
      
       
       
         x 
        
       
         y 
        
       
      
        xy 
       
      
    xy方向的正交分解,但是因为移动的方向和坐标轴也不垂直或平行,需要分别对两个分量在路径方向的分量上再次分解。另外一种理解方式是,这个 
     
      
       
       
         cos 
        
       
          
        
       
         α 
        
       
      
        \cos\alpha 
       
      
    cosα不是乘在 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y) 
       
      
    P(x,y)上,而是乘在 
     
      
       
       
         d 
        
       
         s 
        
       
      
        ds 
       
      
    ds上,这种理解就是将路径也作了正交分解,然后和对应分量进行求积。
 举个例子,计算恒力 
     
      
       
       
         F 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
         = 
        
       
         − 
        
       
         i 
        
       
         + 
        
       
         j 
        
       
      
        F(x,y)=-\bold i+\bold j 
       
      
    F(x,y)=−i+j沿圆周 
     
      
       
        
        
          x 
         
        
          2 
         
        
       
         + 
        
        
        
          y 
         
        
          2 
         
        
       
         = 
        
       
         1 
        
       
      
        x^2+y^2=1 
       
      
    x2+y2=1从 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         0 
        
       
         ) 
        
       
      
        (1,0) 
       
      
    (1,0)到 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         0 
        
       
         , 
        
       
         1 
        
       
         ) 
        
       
      
        (0,1) 
       
      
    (0,1)做的功。根据根据高中知识(同时格林公式加以验证),恒力做功和路径无关,做的功为 
     
      
       
       
         W 
        
       
         = 
        
       
         F 
        
       
         s 
        
       
         = 
        
        
        
          2 
         
        
       
         ⋅ 
        
        
        
          2 
         
        
       
         = 
        
       
         2 
        
       
         J 
        
       
      
        W=Fs=\sqrt 2\cdot\sqrt 2=2J 
       
      
    W=Fs=2⋅2=2J
 使用第二类曲线积分
  
      
       
        
         
          
           
           
             W 
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               L 
              
             
             
             
               F 
              
             
               → 
              
             
            
              d 
             
             
             
               r 
              
             
               → 
              
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               1 
              
             
               0 
              
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               0 
              
             
               1 
              
             
            
              Q 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              y 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              2 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} W &=\int_L\overrightarrow{\bold F}d\overrightarrow{\bold r} \\ &=\int_{1}^{0}P(x,y)dx+\int_{0}^{1}Q(x,y)dy\\ &=2 \end{aligned} 
        
       
     W=∫LFdr=∫10P(x,y)dx+∫01Q(x,y)dy=2
 使用第一类曲线积分,在任意一点 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        (x,y) 
       
      
    (x,y)
  
      
       
        
         
          
           
            
            
              d 
             
            
              W 
             
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
             
             
               F 
              
             
               → 
              
             
            
              d 
             
             
             
               r 
              
             
               → 
              
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∣ 
             
             
             
               F 
              
             
               → 
              
             
            
              ∣ 
             
            
              ∣ 
             
            
              d 
             
             
             
               r 
              
             
               → 
              
             
            
              ∣ 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
              ( 
             
            
              α 
             
            
              是 
             
             
             
               F 
              
             
               → 
              
             
            
              ( 
             
            
              − 
             
            
              1 
             
            
              , 
             
            
              1 
             
            
              ) 
             
            
              和曲线切线 
             
            
              ( 
             
            
              1 
             
            
              , 
             
             
              
              
                − 
               
              
                x 
               
              
              
               
               
                 1 
                
               
                 − 
                
                
                
                  x 
                 
                
                  2 
                 
                
               
              
             
            
              ) 
             
            
              的夹角,不是方向角 
             
            
              ) 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∣ 
             
             
             
               F 
              
             
               → 
              
             
            
              ∣ 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
              d 
             
            
              s 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
             
             
               2 
              
             
            
              ⋅ 
             
             
              
              
                − 
               
              
                x 
               
              
                + 
               
               
                
                
                  1 
                 
                
                  − 
                 
                 
                 
                   x 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                
               
              
              
              
                1 
               
              
                ⋅ 
               
               
               
                 2 
                
               
              
             
            
              d 
             
            
              s 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
             
             
               2 
              
             
            
              ⋅ 
             
             
              
              
                − 
               
              
                x 
               
              
                + 
               
               
                
                
                  1 
                 
                
                  − 
                 
                 
                 
                   x 
                  
                 
                   2 
                  
                 
                
               
              
              
              
                1 
               
              
                ⋅ 
               
               
               
                 2 
                
               
              
             
             
              
              
                1 
               
              
                + 
               
               
               
                 y 
                
                
                
                  ′ 
                 
                
                  2 
                 
                
               
              
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} dW&=\overrightarrow{\bold F}d\overrightarrow{\bold r} \\ &=|\overrightarrow{\bold F}||d\overrightarrow{\bold r} |\cos\alpha(\alpha是\overrightarrow{\bold F}(-1,1)和曲线切线(1,\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}})的夹角,不是方向角)\\ &=|\overrightarrow{\bold F}|\cos\alpha ds \\ &=\sqrt 2\cdot \frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{1\cdot\sqrt 2}ds\\ &=\sqrt 2\cdot \frac{-x+\sqrt{1-x^2}}{1\cdot\sqrt 2}\sqrt{1+y'^2}dx \end{aligned} 
        
       
     dW=Fdr=∣F∣∣dr∣cosα(α是F(−1,1)和曲线切线(1,1−x2−x)的夹角,不是方向角)=∣F∣cosαds=2⋅1⋅2−x+1−x2ds=2⋅1⋅2−x+1−x21+y′2dx
 以上的计算还是比较复杂一点的,是直接计算,没有对F进行两次正交分解。
 考虑 
     
      
       
        
        
          F 
         
        
          → 
         
        
       
      
        \overrightarrow{\bold F} 
       
      
    F的 
     
      
       
       
         x 
        
       
      
        x 
       
      
    x分量做功
  
      
       
        
         
          
           
            
            
              d 
             
             
             
               W 
              
             
               x 
              
             
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              i 
             
            
              d 
             
            
              r 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
            
              y 
             
            
              ) 
             
            
              ∣ 
             
            
              d 
             
             
             
               r 
              
             
               → 
              
             
            
              ∣ 
             
            
              cos 
             
            
               
             
            
              α 
             
            
              ( 
             
            
              α 
             
            
              是 
             
            
              x 
             
            
              轴方向角 
             
            
              ) 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
             
              
              
                1 
               
              
                − 
               
               
               
                 x 
                
               
                 2 
                
               
              
             
            
              d 
             
            
              s 
             
            
           
          
         
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
            
              = 
             
            
              ∫ 
             
             
              
              
                1 
               
              
                − 
               
               
               
                 x 
                
               
                 2 
                
               
              
             
            
              ⋅ 
             
             
             
               1 
              
              
               
               
                 1 
                
               
                 − 
                
                
                
                  x 
                 
                
                  2 
                 
                
               
              
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              = 
             
            
              1 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} dW_x&=\int P(x,y)\bold id\bold r\\ &=\int P(x,y)|d\overrightarrow{\bold r} |\cos\alpha(\alpha是x轴方向角)\\ &=\int \sqrt{1-x^2}ds\\ &=\int \sqrt{1-x^2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=1 \end{aligned} 
        
       
     dWx=∫P(x,y)idr=∫P(x,y)∣dr∣cosα(α是x轴方向角)=∫1−x2ds=∫1−x2⋅1−x21dx=1
格林公式(非常重要)
 设闭区域 
     
      
       
       
         D 
        
       
      
        D 
       
      
    D由分段光滑曲线 
     
      
       
       
         L 
        
       
      
        L 
       
      
    L围成,若函数 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y) 
       
      
    P(x,y)及 
     
      
       
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        Q(x,y) 
       
      
    Q(x,y)在 
     
      
       
       
         D 
        
       
      
        D 
       
      
    D上有连续一阶偏导数,则有
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           D 
          
         
         
         
           ( 
          
          
           
           
             ∂ 
            
           
             Q 
            
           
           
           
             ∂ 
            
           
             x 
            
           
          
         
           − 
          
          
           
           
             ∂ 
            
           
             P 
            
           
           
           
             ∂ 
            
           
             y 
            
           
          
         
           ) 
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           ∮ 
          
         
           L 
          
         
        
          P 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \iint\limits_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\oint_LPdx+Qdy 
        
       
     D∬(∂x∂Q−∂y∂P)dxdy=∮LPdx+Qdy
 其中 
     
      
       
       
         L 
        
       
      
        L 
       
      
    L是区域 
     
      
       
       
         D 
        
       
      
        D 
       
      
    D边界上取正向的曲线。

 证明:首先假设区域 
     
      
       
       
         D 
        
       
      
        D 
       
      
    D既是X型,又是Y型的,则
  
      
       
        
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
             
             
               ∬ 
              
             
               D 
              
             
             
              
              
                ∂ 
               
              
                P 
               
              
              
              
                ∂ 
               
              
                y 
               
              
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              d 
             
            
              y 
             
            
           
          
         
         
          
           
           
             = 
            
           
          
          
           
            
             
             
             
               ∫ 
              
             
               a 
              
             
               b 
              
             
             
             
               ∫ 
              
              
               
               
                 φ 
                
               
                 1 
                
               
              
                ( 
               
              
                x 
               
              
                ) 
               
              
              
               
               
                 φ 
                
               
                 2 
                
               
              
                ( 
               
              
                x 
               
              
                ) 
               
              
             
             
              
              
                ∂ 
               
              
                P 
               
              
              
              
                ∂ 
               
              
                y 
               
              
             
            
              d 
             
            
              y 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
         
          
           
           
             = 
            
           
          
          
           
            
             
             
             
               ∫ 
              
             
               a 
              
             
               b 
              
             
             
             
               ( 
              
             
               P 
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               , 
              
              
              
                φ 
               
              
                2 
               
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
             
               − 
              
             
               P 
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               , 
              
              
              
                φ 
               
              
                1 
               
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} &\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ =&\int_a^b\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}\frac{\partial P}{\partial y}dydx\\ =&\int_a^b\left (P(x,\varphi_2(x))-P(x,\varphi_1(x))\right)dx \end{aligned} 
        
       
     ==D∬∂y∂Pdxdy∫ab∫φ1(x)φ2(x)∂y∂Pdydx∫ab(P(x,φ2(x))−P(x,φ1(x)))dx
 另一方面
  
      
       
        
         
          
           
            
           
          
          
           
            
             
             
             
               ∮ 
              
             
               L 
              
             
            
              P 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
         
          
           
           
             = 
            
           
          
          
           
            
             
             
             
               ∫ 
              
              
              
                B 
               
              
                C 
               
              
             
            
              P 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
              
              
                C 
               
              
                F 
               
              
                G 
               
              
             
            
              P 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
              
              
                G 
               
              
                A 
               
              
             
            
              P 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
              
              
                A 
               
              
                E 
               
              
                B 
               
              
             
            
              P 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
         
          
           
           
             = 
            
           
          
          
           
            
             
            
              0 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               b 
              
             
               a 
              
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
             
             
               φ 
              
             
               2 
              
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              + 
             
            
              0 
             
            
              + 
             
             
             
               ∫ 
              
             
               a 
              
             
               b 
              
             
            
              P 
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              , 
             
             
             
               φ 
              
             
               1 
              
             
            
              ( 
             
            
              x 
             
            
              ) 
             
            
              ) 
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
         
          
           
           
             = 
            
           
          
          
           
            
             
             
             
               ∫ 
              
             
               a 
              
             
               b 
              
             
             
             
               ( 
              
             
               − 
              
             
               P 
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               , 
              
              
              
                φ 
               
              
                2 
               
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
             
               + 
              
             
               P 
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               , 
              
              
              
                φ 
               
              
                1 
               
              
             
               ( 
              
             
               x 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
             
               ) 
              
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
           
          
         
         
          
           
           
             = 
            
           
          
          
           
            
             
            
              − 
             
             
             
               ∬ 
              
             
               D 
              
             
             
              
              
                ∂ 
               
              
                P 
               
              
              
              
                ∂ 
               
              
                y 
               
              
             
            
              d 
             
            
              x 
             
            
              d 
             
            
              y 
             
            
           
          
         
        
       
         \begin{aligned} &\oint_LPdx\\ =&\int_{BC}Pdx+\int_{CFG}Pdx+\int_{GA}Pdx+\int_{AEB}Pdx\\ =&0+\int_b^aP(x,\varphi_2(x))dx+0+\int_a^bP(x,\varphi_1(x))dx\\ =&\int_a^b\left (-P(x,\varphi_2(x))+P(x,\varphi_1(x))\right)dx\\ =&-\iint\limits_D\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \end{aligned} 
        
       
     ====∮LPdx∫BCPdx+∫CFGPdx+∫GAPdx+∫AEBPdx0+∫baP(x,φ2(x))dx+0+∫abP(x,φ1(x))dx∫ab(−P(x,φ2(x))+P(x,φ1(x)))dx−D∬∂y∂Pdxdy
 同理,因为区域 
     
      
       
       
         D 
        
       
      
        D 
       
      
    D也是Y型的,可得
  
      
       
        
         
         
           ∮ 
          
         
           L 
          
         
        
          Q 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
         
           D 
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            Q 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \oint_L Qdy = \iint\limits_D\frac{\partial Q}{\partial x}dxdy 
        
       
     ∮LQdy=D∬∂x∂Qdxdy
若区域不是X型或者Y型,则可以通过将其切割的方式,得到若干既是X型,又是Y型的区域。在切割线上,二重积分为0,曲线积分方向相反恰好相互抵消。
格林公式还是很神奇的,意思是,一个闭区域的二重积分可以只通过边界就确定,和内部情况无关。乍一看很难理解,怎么可能呢?但是仔细一想,二重积分的被积函数是 Q Q Q的偏导数。可以这么理解,偏导数在一个闭区域里无论怎样变化,你多了一重积分,都不重要了,只和闭区域边界上变化量有关,而这个变化量是可以通过边界上看到的。也就是二重积分关心的是细节,但是累积之后其实只和进入和流出边界的变化量有关,边界值是一个最终结果,可以确定变化量。实际格林公式的证明过程也是这么个道理。高斯公式类似。
曲线积分和路径无关的条件
 设区域 
     
      
       
       
         G 
        
       
      
        G 
       
      
    G是一个单连通区域,若函数 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y) 
       
      
    P(x,y)和 
     
      
       
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        Q(x,y) 
       
      
    Q(x,y)在 
     
      
       
       
         G 
        
       
      
        G 
       
      
    G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分 
     
      
       
       
         ∫ 
        
       
         = 
        
       
         P 
        
       
         d 
        
       
         x 
        
       
         + 
        
       
         Q 
        
       
         d 
        
       
         y 
        
       
      
        \int=Pdx+Qdy 
       
      
    ∫=Pdx+Qdy在 
     
      
       
       
         G 
        
       
      
        G 
       
      
    G内与路径无关的充要条件是
  
      
       
        
         
          
          
            ∂ 
           
          
            Q 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
       
         \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} 
        
       
     ∂x∂Q=∂y∂P在 
     
      
       
       
         G 
        
       
      
        G 
       
      
    G内恒成立。
曲面积分
第一类曲面积分
 定义:设曲面 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ是光滑的,函数 
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
      
        f(x,y,z) 
       
      
    f(x,y,z)在 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ上有界. 把 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ任意分成 
     
      
       
       
         n 
        
       
      
        n 
       
      
    n个小块 
     
      
       
       
         Δ 
        
        
        
          S 
         
        
          i 
         
        
       
      
        \Delta S_i 
       
      
    ΔSi( 
     
      
       
       
         Δ 
        
        
        
          S 
         
        
          i 
         
        
       
      
        \Delta S_i 
       
      
    ΔSi同时也表示第 
     
      
       
       
         i 
        
       
      
        i 
       
      
    i个小块的面积),设 
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
        
        
          ξ 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
        
        
          η 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
        
        
          ζ 
         
        
          i 
         
        
       
         ) 
        
       
         Δ 
        
        
        
          S 
         
        
          i 
         
        
       
         ( 
        
       
         i 
        
       
         = 
        
       
         1 
        
       
         , 
        
       
         2 
        
       
         , 
        
       
         3... 
        
       
         n 
        
       
         ) 
        
       
      
        f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i(i=1,2,3...n) 
       
      
    f(ξi,ηi,ζi)ΔSi(i=1,2,3...n),并作和 
     
      
       
        
        
          ∑ 
         
         
         
           i 
          
         
           = 
          
         
           1 
          
         
        
          n 
         
        
       
         f 
        
       
         ( 
        
        
        
          ξ 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
        
        
          η 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
        
        
          ζ 
         
        
          i 
         
        
       
         ) 
        
       
         Δ 
        
        
        
          S 
         
        
          i 
         
        
       
      
        \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i 
       
      
    i=1∑nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi,如果当各个小块曲面的直径最大值 
     
      
       
       
         λ 
        
       
         → 
        
       
         0 
        
       
      
        \lambda\to0 
       
      
    λ→0时,这个和的极限总存在,且与曲面 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ的分法及点 
     
      
       
       
         ( 
        
        
        
          ξ 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
        
        
          η 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
        
        
          ζ 
         
        
          i 
         
        
       
         ) 
        
       
      
        (\xi_i,\eta_i,\zeta_i) 
       
      
    (ξi,ηi,ζi)的取法无关,那么称此极限为函数 
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
      
        f(x,y,z) 
       
      
    f(x,y,z)在曲面 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ上对面积的曲面积分或者第一类曲面积分,记作 
     
      
       
        
        
          ∬ 
         
        
          Σ 
         
        
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
         d 
        
       
         S 
        
       
      
        \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS 
       
      
    Σ∬f(x,y,z)dS,即
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          , 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          S 
         
        
          = 
         
         
          
          
            lim 
           
          
             
           
          
          
          
            λ 
           
          
            → 
           
          
            0 
           
          
         
         
         
           ∑ 
          
          
          
            i 
           
          
            = 
           
          
            1 
           
          
         
           n 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
         
         
           ξ 
          
         
           i 
          
         
        
          , 
         
         
         
           η 
          
         
           i 
          
         
        
          , 
         
         
         
           ζ 
          
         
           i 
          
         
        
          ) 
         
        
          Δ 
         
         
         
           S 
          
         
           i 
          
         
        
       
         \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\lim_{\lambda\to0}\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i 
        
       
     Σ∬f(x,y,z)dS=λ→0limi=1∑nf(ξi,ηi,ζi)ΔSi
 其中, 
     
      
       
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
      
        f(x,y,z) 
       
      
    f(x,y,z)叫做被积函数, 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ叫做积分曲面。
 第一类曲面积分计算方法
 
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          , 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          S 
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
          
          
            D 
           
           
           
             x 
            
           
             y 
            
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          , 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
         
          
           
           
             z 
            
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            + 
           
           
           
             z 
            
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            + 
           
          
            1 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS=\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy 
        
       
     Σ∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f(x,y,z)zx2+zy2+1dxdy
 严格证明可能需要使用积分中值定理。这里只做一个说明:
  
     
      
       
       
         Δ 
        
        
        
          S 
         
        
          i 
         
        
       
         ⋅ 
        
       
         cos 
        
       
          
        
       
         γ 
        
       
         = 
        
       
         Δ 
        
        
        
          σ 
         
        
          i 
         
        
       
      
        \Delta S_i\cdot\cos\gamma=\Delta\sigma_i 
       
      
    ΔSi⋅cosγ=Δσi,  
     
      
       
       
         γ 
        
       
      
        \gamma 
       
      
    γ是 
     
      
       
       
         z 
        
       
      
        z 
       
      
    z轴方向角,有
  
      
       
        
        
          cos 
         
        
           
         
        
          γ 
         
        
          = 
         
         
          
          
            k 
           
          
            ⋅ 
           
          
            n 
           
          
          
          
            ∣ 
           
          
            k 
           
          
            ∣ 
           
          
            ∣ 
           
          
            n 
           
          
            ∣ 
           
          
         
        
          = 
         
         
          
          
            − 
           
          
            1 
           
          
          
           
            
            
              z 
             
            
              x 
             
            
              2 
             
            
           
             + 
            
            
            
              z 
             
            
              y 
             
            
              2 
             
            
           
             + 
            
           
             1 
            
           
          
         
        
       
         \cos\gamma=\frac{\bold k\cdot\bold n}{|\bold k||\bold n|}=\frac{-1}{\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}} 
        
       
     cosγ=∣k∣∣n∣k⋅n=zx2+zy2+1−1
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          , 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          S 
         
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
          
          
            D 
           
           
           
             x 
            
           
             y 
            
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          , 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
         
         
           1 
          
          
          
            cos 
           
          
             
           
          
            γ 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
          
          
            D 
           
           
           
             x 
            
           
             y 
            
           
          
         
        
          f 
         
        
          ( 
         
        
          x 
         
        
          , 
         
        
          y 
         
        
          , 
         
        
          z 
         
        
          ) 
         
         
          
           
           
             z 
            
           
             x 
            
           
             2 
            
           
          
            + 
           
           
           
             z 
            
           
             y 
            
           
             2 
            
           
          
            + 
           
          
            1 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \iint\limits_\Sigma f(x,y,z)dS\\ =\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\frac{1}{\cos\gamma}dxdy\\ =\iint\limits_{D_{xy}} f(x,y,z)\sqrt{z_x^2+z_y^2+1}dxdy 
        
       
     Σ∬f(x,y,z)dS=Dxy∬f(x,y,z)cosγ1dxdy=Dxy∬f(x,y,z)zx2+zy2+1dxdy
 第二类曲面积分
高斯公式
 定理 设空间闭区域 
     
      
       
       
         Ω 
        
       
      
        \Omega 
       
      
    Ω是有分段光滑的闭曲面 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ围成,若函数 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         R 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z) 
       
      
    P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在 
     
      
       
       
         Ω 
        
       
      
        \Omega 
       
      
    Ω上具有连续的一阶偏导数,则有
  
      
       
        
         
         
           ∭ 
          
         
           Ω 
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          + 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            Q 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          + 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            R 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           ∯ 
          
         
           Σ 
          
         
        
          P 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          + 
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\oiint\limits_\Sigma Pdydz+Qdxdz+Rdxdy 
        
       
     Ω∭∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=Σ∬Pdydz+Qdxdz+Rdxdy或
  
      
       
        
         
         
           ∭ 
          
         
           Ω 
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          + 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            Q 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          + 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            R 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
        
          = 
         
         
         
           ∯ 
          
         
           Σ 
          
         
        
          P 
         
        
          cos 
         
        
           
         
        
          α 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          cos 
         
        
           
         
        
          β 
         
        
          + 
         
        
          R 
         
        
          cos 
         
        
           
         
        
          γ 
         
        
          d 
         
        
          S 
         
        
       
         \iiint\limits_{\Omega}\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}=\oiint\limits_\Sigma P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma dS 
        
       
     Ω∭∂x∂P+∂y∂Q+∂z∂R=Σ∬Pcosα+Qcosβ+RcosγdS
 这里, 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ是 
     
      
       
       
         Ω 
        
       
      
        \Omega 
       
      
    Ω整个边界曲面的外侧, 
     
      
       
       
         cos 
        
       
          
        
       
         α 
        
       
         , 
        
       
         cos 
        
       
          
        
       
         β 
        
       
         , 
        
       
         cos 
        
       
          
        
       
         γ 
        
       
      
        \cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma 
       
      
    cosα,cosβ,cosγ是 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ在点 
     
      
       
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
      
        (x,y,z) 
       
      
    (x,y,z)处的法向量方向余弦。
 沿任意闭曲面积分为0的条件
斯托克斯公式
 定理1 设 
     
      
       
       
         Γ 
        
       
      
        \Gamma 
       
      
    Γ为分段光滑的空间有向闭曲线, 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ是以 
     
      
       
       
         Γ 
        
       
      
        \Gamma 
       
      
    Γ为边界的分片光滑的有向曲面, 
     
      
       
       
         Γ 
        
       
      
        \Gamma 
       
      
    Γ的正向与 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ的侧符合右手规则,若函数 
     
      
       
       
         P 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         Q 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         R 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         , 
        
       
         z 
        
       
         ) 
        
       
      
        P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z) 
       
      
    P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在曲面 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ(连通边界 
     
      
       
       
         Γ 
        
       
      
        \Gamma 
       
      
    Γ)上具有一阶连续偏导数,则有
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
        
          ( 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            R 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          − 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            Q 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          − 
         
        
          ( 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            R 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          − 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          + 
         
        
          ( 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            Q 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          − 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          ) 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
         
        
          = 
         
         
         
           ∮ 
          
         
           Γ 
          
         
        
          P 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          + 
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
       
         \iint\limits_\Sigma(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z})dydz -(\frac{\partial R}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial z})dydz +(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dydz\\ =\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz 
        
       
     Σ∬(∂y∂R−∂z∂Q)dydz−(∂x∂R−∂z∂P)dydz+(∂x∂Q−∂y∂P)dydz=∮ΓPdx+Qdy+Rdz
 表述成行列式形式
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
         
         
           ∣ 
          
          
           
            
             
              
              
                d 
               
              
                y 
               
              
                d 
               
              
                z 
               
              
             
            
            
             
              
               
              
                       
               
              
                d 
               
              
                z 
               
              
                d 
               
              
                x 
               
              
             
            
            
             
              
              
                d 
               
              
                x 
               
              
                d 
               
              
                y 
               
              
             
            
           
           
            
             
              
              
                ∂ 
               
               
               
                 ∂ 
                
               
                 x 
                
               
              
             
            
            
             
              
               
              
                       
               
               
               
                 ∂ 
                
                
                
                  ∂ 
                 
                
                  y 
                 
                
               
              
             
            
            
             
              
              
                ∂ 
               
               
               
                 ∂ 
                
               
                 z 
                
               
              
             
            
           
           
            
             
             
               P 
              
             
            
            
             
              
               
              
                       
               
              
                Q 
               
              
             
            
            
             
             
               R 
              
             
            
           
          
         
           ∣ 
          
         
        
          = 
         
         
         
           ∮ 
          
         
           Γ 
          
         
        
          P 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          + 
         
        
          Q 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          + 
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
       
         \iint\limits_\Sigma\left| \begin{aligned} dydz &\ \ \ \ \ \ dzdx & dxdy \\ \frac{\partial}{\partial x} &\ \ \ \ \ \ \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P &\ \ \ \ \ \ Q &R \\ \end{aligned} \right|=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz 
        
       
     Σ∬ 
              dydz∂x∂P      dzdx      ∂y∂      Qdxdy∂z∂R 
              =∮ΓPdx+Qdy+Rdz
 课本上给了一种证明,本身可以做点简化,另外就是只是通过公式化的推导,并没有对斯托克斯公式本身的含义做很好的解释,这里做些改进。
 证明:先假设 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ与平行于 
     
      
       
       
         z 
        
       
      
        z 
       
      
    z轴的直线相交不多于一点,并设 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ为曲面 
     
      
       
       
         z 
        
       
         = 
        
       
         f 
        
       
         ( 
        
       
         x 
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         ) 
        
       
      
        z=f(x,y) 
       
      
    z=f(x,y)的上侧, 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ的正向边界曲线 
     
      
       
       
         Γ 
        
       
      
        \Gamma 
       
      
    Γ在 
     
      
       
       
         x 
        
       
         O 
        
       
         y 
        
       
      
        xOy 
       
      
    xOy面上的投影为平面有向曲线 
     
      
       
       
         C 
        
       
      
        C 
       
      
    C, 
     
      
       
       
         C 
        
       
      
        C 
       
      
    C锁围成的闭区域为 
     
      
       
        
        
          D 
         
         
         
           x 
          
         
           y 
          
         
        
       
      
        D_{xy} 
       
      
    Dxy
 
 我们设法把曲面积分 
     
      
       
        
        
          ∬ 
         
        
          Σ 
         
        
        
         
         
           ∂ 
          
         
           P 
          
         
         
         
           ∂ 
          
         
           z 
          
         
        
       
         d 
        
       
         z 
        
       
         d 
        
       
         x 
        
       
         − 
        
        
         
         
           ∂ 
          
         
           P 
          
         
         
         
           ∂ 
          
         
           y 
          
         
        
       
         d 
        
       
         x 
        
       
         d 
        
       
         y 
        
       
      
        \iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy 
       
      
    Σ∬∂z∂Pdzdx−∂y∂Pdxdy化为闭区域 
     
      
       
        
        
          D 
         
         
         
           x 
          
         
           y 
          
         
        
       
      
        D_{xy} 
       
      
    Dxy上的二重积分,然后通过格林公式使它与曲线积分相联系。
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          − 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
         
          
          
            d 
           
          
            z 
           
          
          
          
            d 
           
          
            y 
           
          
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          − 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
         
        
          = 
         
         
         
           ∬ 
          
         
           Σ 
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            z 
           
          
         
         
         
           z 
          
         
           y 
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          − 
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            P 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
       
         \iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}dzdx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy \\ =\iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}\frac{dz}{dy}dydx-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy\\ =\iint\limits_\Sigma \frac{\partial P}{\partial z}z_ydxdy-\frac{\partial P}{\partial y}dxdy 
        
       
     Σ∬∂z∂Pdzdx−∂y∂Pdxdy=Σ∬∂z∂Pdydzdydx−∂y∂Pdxdy=Σ∬∂z∂Pzydxdy−∂y∂Pdxdy
另外的方法:
 我们把曲面 
     
      
       
       
         Σ 
        
       
      
        \Sigma 
       
      
    Σ使用平面组 
     
      
       
       
         x 
        
       
         = 
        
        
        
          a 
         
        
          i 
         
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         = 
        
        
        
          b 
         
        
          i 
         
        
       
      
        x=a_i,y=b_i 
       
      
    x=ai,y=bi切割成一块一块,对于其中的一块由平面 
     
      
       
       
         x 
        
       
         = 
        
        
        
          a 
         
        
          1 
         
        
       
         , 
        
       
         x 
        
       
         = 
        
        
        
          a 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         = 
        
        
        
          b 
         
        
          1 
         
        
       
         , 
        
       
         y 
        
       
         = 
        
        
        
          b 
         
        
          2 
         
        
       
      
        x=a_1, x=a_2, y=b_1,y=b_2 
       
      
    x=a1,x=a2,y=b1,y=b2和曲面的交点为 
     
      
       
       
         A 
        
       
         ( 
        
        
        
          a 
         
        
          1 
         
        
       
         , 
        
        
        
          b 
         
        
          1 
         
        
       
         , 
        
        
        
          z 
         
        
          A 
         
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         B 
        
       
         ( 
        
        
        
          a 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
        
        
          b 
         
        
          1 
         
        
       
         , 
        
        
        
          z 
         
        
          B 
         
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         C 
        
       
         ( 
        
        
        
          a 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
        
        
          b 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
        
        
          z 
         
        
          C 
         
        
       
         ) 
        
       
         , 
        
       
         D 
        
       
         ( 
        
        
        
          a 
         
        
          1 
         
        
       
         , 
        
        
        
          b 
         
        
          2 
         
        
       
         , 
        
        
        
          z 
         
        
          D 
         
        
       
         ) 
        
       
      
        A(a_1,b_1,z_A),B(a_2,b_1,z_B),C(a_2,b_2,z_C),D(a_1,b_2,z_D) 
       
      
    A(a1,b1,zA),B(a2,b1,zB),C(a2,b2,zC),D(a1,b2,zD),来求曲线积分
  
      
       
        
         
         
           ∮ 
          
         
           Γ 
          
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            A 
           
          
            B 
           
          
         
        
          + 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            B 
           
          
            C 
           
          
         
        
          + 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            C 
           
          
            D 
           
          
         
        
          + 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            D 
           
          
            A 
           
          
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
       
         \oint_\Gamma Rdz=\int_{AB}+\int_{BC}+\int_{CD}+\int_{DA} Rdz 
        
       
     ∮ΓRdz=∫AB+∫BC+∫CD+∫DARdz
 由格林公式
  
      
       
        
         
         
           ∬ 
          
          
          
            D 
           
           
           
             y 
            
           
             z 
            
           
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            R 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            y 
           
          
         
        
          d 
         
        
          y 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            A 
           
          
            B 
           
          
         
        
          + 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            C 
           
          
            D 
           
          
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
         
        
          − 
         
         
         
           ∬ 
          
          
          
            D 
           
           
           
             y 
            
           
             z 
            
           
          
         
         
          
          
            ∂ 
           
          
            R 
           
          
          
          
            ∂ 
           
          
            x 
           
          
         
        
          d 
         
        
          x 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
          = 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            B 
           
          
            C 
           
          
         
        
          + 
         
         
         
           ∫ 
          
          
          
            D 
           
          
            A 
           
          
         
        
          R 
         
        
          d 
         
        
          z 
         
        
       
         \iint\limits_{D_{yz}}\frac{\partial R}{\partial y}dydz =\int_{AB}+\int_{CD} Rdz\\ -\iint\limits_{D_{yz}}\frac{\partial R}{\partial x}dxdz =\int_{BC}+\int_{DA} Rdz 
        
       
     Dyz∬∂y∂Rdydz=∫AB+∫CDRdz−Dyz∬∂x∂Rdxdz=∫BC+∫DARdz
 也就是说, 
     
      
       
       
         R 
        
       
      
        R 
       
      
    R沿曲线 
     
      
       
       
         Γ 
        
       
      
        \Gamma 
       
      
    Γ的线积分,可以拆成两部分,一部分是是x轴方向的积分,另一部分是y轴方向的积分。
 梯度、散度、旋度在向量分析中会有更详细的研究和笔记。



















