题目

标题和出处

标题：可以到达所有点的最少点数目

出处：1557. 可以到达所有点的最少点数目

难度

4 级

题目描述

要求

给定一个有向无环图，包含编号为 $\text{0}$ 到 $\text{n}-\text{1}$ 的 $\text{n}$ 个结点，以及一个数组 $\text{edges}$，其中 ${\text{edges[i] = [from}}_{\text{i}}{\text{, to}}_{\text{i}}\text{]}$ 表示一条从点 ${\text{from}}_{\text{i}}$ 到点 ${\text{to}}_{\text{i}}$ 的有向边。

找到最小的点集使得从这些点出发能到达图中所有点。题目保证解存在且唯一。

可以按任意顺序返回这些结点编号。

示例

示例 1：

输入：$\text{n = 6, edges = [[0,1],[0,2],[2,5],[3,4],[4,2]]}$
输出：$\text{[0,3]}$
解释：从单个结点出发无法到达所有结点。从 $\text{0}$ 出发我们可以到达 $\text{[0,1,2,5]}$。从 $\text{3}$ 出发我们可以到达 $\text{[3,4,2,5]}$。所以我们输出 $\text{[0,3]}$。

示例 2：

输入：$\text{n = 5, edges = [[0,1],[2,1],[3,1],[1,4],[2,4]]}$
输出：$\text{[0,2,3]}$
解释：注意到结点 $\text{0}$、$\text{2}$ 和 $\text{3}$ 无法从其他结点到达，所以我们必须将它们包含在结果点集中，这些点都能到达结点 $\text{1}$ 和 $\text{4}$。

数据范围

• $\text{2}\le \text{n}\le {\text{10}}^{\text{5}}$
• $\text{1}\le \text{edges.length}\le {\text{min(10}}^{\text{5}}\text{, }\frac{\text{n}\times \text{(n}-\text{1)}}{\text{2}}\text{)}$
• $\text{edges[i].length}=\text{2}$
• $\text{0}\le {\text{from}}_{\text{i}}{\text{, to}}_{\text{i}}<\text{n}$
• 所有点对 ${\text{(from}}_{\text{i}}{\text{, to}}_{\text{i}}\text{)}$ 互不相同

解法

思路和算法

考虑有向图中的每个结点的入度。如果结点 $x$ 的入度为零，则无法从其他结点出发到达结点 $x$，因此结点 $x$ 必须包含在结果点集中。如果结点 $y$ 的入度不为零，则一定存在一条终点是结点 $y$ 的边，将这条边的起点记为结点 $z$，则从结点 $z$ 出发可以到达结点 $y$，且从结点 $z$ 出发可以到达的结点比从结点 $y$ 出发可以到达的结点更多，将结点 $z$ 加入结果点集一定比将结点 $y$ 加入结果点集更优。

由于给定的图是有向无环图，因此基于上述分析可知，对于任意入度不为零的结点，一定存在另一个结点，从另一个结点出发可以到达该结点。进一步可知，任意入度不为零的结点一定可以从一个入度为零的结点出发到达。

因此，为了得到最小的点集，所有入度为零的结点都应该加入结果点集，所有入度不为零的结点都不应该加入结果点集。

实现方面，并不需要计算每个结点的入度，只需要知道每个结点的入度是否为零即可。每条有向边有一个出发结点和到达结点，如果一个结点至少是一条有向边的到达结点，则该结点的入度一定不为零。遍历有向图中的全部边之后即可知道每个结点的入度是否为零，然后将所有入度为零的结点加入结果点集，则结果点集是最小的点集。

代码

class Solution {
    public List<Integer> findSmallestSetOfVertices(int n, List<List<Integer>> edges) {
        boolean[] zeroIndegree = new boolean[n];
        Arrays.fill(zeroIndegree, true);
        for (List<Integer> edge : edges) {
            zeroIndegree[edge.get(1)] = false;
        }
        List<Integer> vertices = new ArrayList<Integer>();
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (zeroIndegree[i]) {
                vertices.add(i);
            }
        }
        return vertices;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(n+m)$，其中 $n$ 是图的结点数，$m$ 是数组 $\text{edges}$ 的长度。需要遍历图中的每条边和每个结点一次。

• 空间复杂度：$O(n)$，其中 $n$ 是图的结点数。需要记录每个结点的入度是否为零。