目录
- 引言
- 已知信息
- 一、公约数
- 二、序列的第k个数
- 三、越狱
- 四、等差数列
- 五、公约数
- 六、质因数个数
- 七、完全平方数
- 八、阶乘分解
引言
今天复习的是快速幂的剩余问题、质数、约数的问题，发现其实不难，都是在基础的模板上进行变化，但是不好想，基本自己是想不出来的，所以这种问题还是要事先做过之后才会做，所以得多刷题了，加油！
已知信息
在int范围内约数个数最多的有1600个，在 1 0 9 10^9 109 范围内有1344个
一、公约数
标签：最大公约数、试除法、二分
思路：先求出所有
a
,
b
a,b
a,b 的公约数，然后用二分找到最大的即可。求所有公约数，可以先求出最大公约数，然后对其进行分解约数即可，最后排个序。
题目描述：
给定两个正整数 a 和 b。
你需要回答 q 个询问。
每个询问给定两个整数 l,r，你需要找到最大的整数 x,满足：
x 是 a 和 b 的公约数。l≤x≤r。
输入格式
第一行包含两个整数 a,b。
第二行包含一个整数 q。
接下来 q 行，每行包含两个整数 l,r.
输出格式
每个询问输出一行答案，即满足条件的最大的 x，如果询问无解，则输出 −1。
数据范围
前六个测试点满足 1≤a,b≤100，1≤q≤20。
所有测试点满足 1≤a,b≤109，1≤q≤104，1≤l≤r≤109。
输入样例：
9 27
3
1 5
10 11
9 11
输出样例：
3
-1
9
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1350;
int a, b, q;
int divisors[N], cnt;
int gcd(int a, int b)
{
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
void init(int a, int b)
{
int d = gcd(a,b);
for(int i = 1; i <= d / i; ++i)
{
if(d % i == 0)
{
divisors[cnt++] = i;
if(d / i != i) divisors[cnt++] = d / i;
}
}
sort(divisors,divisors+cnt);
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> a >> b >> q;
init(a, b);
while(q--)
{
int x, y; cin >> x >> y;
int res = -1;
int l = 0, r = cnt - 1;
while(l < r)
{
int mid = (LL)l + r + 1 >> 1;
if(divisors[mid] <= y) l = mid;
else r = mid - 1;
}
if(divisors[r] >= x && divisors[r] <= y) res = divisors[r];
cout << res << endl;
}
return 0;
}
二、序列的第k个数
标签：快速幂
思路：首先判断出是等比数列还是等差数列，然后再用等差数列公式和等比数列公式求出来就行了
等差数列：
a
k
=
a
1
+
(
k
−
1
)
∗
d
等差数列：a_k = a_1 + (k - 1) * d
等差数列：ak=a1+(k−1)∗d
等比数列：
a
k
=
a
1
∗
d
k
−
1
等比数列：a_k = a_1 * d^{k-1}
等比数列：ak=a1∗dk−1
题目描述：
BSNY 在学等差数列和等比数列，当已知前三项时，就可以知道是等差数列还是等比数列。
现在给你 整数 序列的前三项，这个序列要么是等差序列，要么是等比序列，你能求出第 k 项的值吗。
如果第 k 项的值太大，对其取模 200907。
输入格式
第一行一个整数 T，表示有 T 组测试数据；
对于每组测试数据，输入前三项 a,b,c，然后输入 k。
输出格式
对于每组数据，输出第 k 项取模 200907 的值。
数据范围
1≤T≤100,1≤a≤b≤c≤109,1≤k≤109
输入样例：
2
1 2 3 5
1 2 4 5
输出样例：
5
16
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10, MOD = 200907;
int n, m;
LL qmi(LL a, LL k)
{
LL res = 1;
while(k)
{
if(k&1) res = res * a % MOD;
k >>= 1;
a = a * a % MOD;
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
int T; cin >> T;
while(T--)
{
int a, b, c, k; cin >> a >> b >> c >> k;
if(b - a == c - b) //等差数列
{
int d = b - a;
LL res = ((LL)a % MOD + (LL)(k - 1) % MOD * d % MOD) % MOD;
cout << res << endl;
}
else
{
int d = b / a;
LL res = a * qmi(d,k-1) % MOD;
cout << res << endl;
}
}
return 0;
}
三、越狱
标签：快速幂、组合计数
思路：首先总共有
m
n
m^n
mn 种可能的结果，不发生越狱的情况为
m
∗
(
m
−
1
)
n
−
1
m * (m-1)^{n-1}
m∗(m−1)n−1 种可能，如下图：
所以发生越狱的可能情况为：
m
n
−
m
∗
(
m
−
1
)
n
−
1
m^n - m * (m-1)^{n-1}
mn−m∗(m−1)n−1 ，用 快速幂 求解即可。
题目描述：
监狱有连续编号为 1 到 n 的 n 个房间，每个房间关押一个犯人。
有 m 种宗教，每个犯人可能信仰其中一种。
不存在没有信仰的犯人。
如果相邻房间的犯人信仰的宗教相同，就可能发生越狱。
求有多少种状态可能发生越狱。
输入格式
共一行，包含两个整数 m 和 n。
输出格式
可能越狱的状态数，对 100003 取余。
数据范围
1≤m≤108,1≤n≤1012
输入样例：
2 3
输出样例：
6
样例解释
所有可能的 6 种状态为：(000)(001)(011)(100)(110)(111)。
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10, MOD = 100003;
LL m, n;
LL qmi(LL a, LL k)
{
LL res = 1;
while(k)
{
if(k&1) res = res * a % MOD;
k >>= 1;
a = a * a % MOD;
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> m >> n;
LL res = (qmi(m,n) - m * qmi(m-1,n-1) % MOD + MOD) % MOD;
cout << res << endl;
return 0;
}
四、等差数列
标签：数论、最大公约数
思路：先排个序，然后求出各项差之间的最大公约数，即就是
d
d
d ，然后用公式
a
[
n
−
1
]
−
a
[
0
]
d
+
1
\frac{a[n-1] - a[0]}{ d} + 1
da[n−1]−a[0]+1 ，如果
d
d
d 为
0
0
0 ，直接输出
n
n
n 即可。
题目描述：
数学老师给小明出了一道等差数列求和的题目。
但是粗心的小明忘记了一部分的数列，只记得其中 N 个整数。
现在给出这 N 个整数，小明想知道包含这 N 个整数的最短的等差数列有几项？
输入格式
输入的第一行包含一个整数 N。
第二行包含 N 个整数 A1,A2,⋅⋅⋅,AN。(注意 A1∼AN 并不一定是按等差数列中的顺序给出)
输出格式
输出一个整数表示答案。
数据范围
2≤N≤100000,0≤Ai≤109
输入样例：
5
2 6 4 10 20
输出样例：
10
样例解释
包含 2、6、4、10、20 的最短的等差数列是 2、4、6、8、10、12、14、16、18、20。
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10;
int n;
int a[N];
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
for(int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
sort(a,a+n);
int d = 0;
for(int i = 1; i < n; ++i) d = gcd(a[i]-a[0],d);
if(!d) cout << n << endl;
else cout << ((a[n-1] - a[0]) / d + 1) << endl;
return 0;
}
五、公约数
标签：数学知识、约数、试除法、因式分解
思路：用试除法操作即可，时间复杂度为
N
\sqrt{N}
N
题目描述：
输入 n 个整数，依次输出每个数的约数的个数。
输入格式
第一行包含整数 n。
第二行包含 n 个整数 ai。
输出格式
共 n 行，按顺序每行输出一个给定整数的约数的个数。
数据范围
1≤n≤1000,1≤ai≤109
输入样例：
5
1 3 4 6 12
输出样例：
1
2
3
4
6
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10;
int n;
int get_divisors(int n)
{
int res = 0;
for(int i = 1; i <= n / i; ++i)
{
if(n % i == 0)
{
res++;
if(n / i != i) res++;
}
}
return res;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
while(n--)
{
int t; cin >> t;
cout << get_divisors(t) << endl;
}
return 0;
}
六、质因数个数
标签：数论、分解质因数
思路：就分解质因数即可。
题目描述：
给定正整数 n，请问有多少个质数是 n 的约数。
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n。
输出格式
输出一个整数，表示 n 的质数约数个数。
数据范围
对于 30% 的评测用例，1≤n≤10000。
对于 60% 的评测用例，1≤n≤109。
对于所有评测用例，1≤n≤1016。
输入样例：
396
输出样例：
3
样例解释
396
有 2,3,11 三个质数约数。
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10;
LL n;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
int res = 0;
for(LL i = 2; i <= n / i; ++i)
{
if(n % i == 0)
{
res++;
while(n % i == 0) n /= i;
}
}
if(n > 1) res++;
cout << res << endl;
return 0;
}
七、完全平方数
标签：分解质因数
思路：由算数基本定理可知，每个数都是由其质因数组成的，那么一个数能被称为完全平方数，那么其每个质因数的次数都是偶数，那么要求一个
x
x
x ，使得
n
⋅
x
n \cdot x
n⋅x 为一个完全平方数，那么将其每个质因数变为偶数即可，所以也就是对其分解质因数，个数为奇数加进答案里。
题目描述：
一个整数 a 是一个完全平方数，是指它是某一个整数的平方，即存在一个整数 b，使得 a=b2。
给定一个正整数 n，请找到最小的正整数 x，使得它们的乘积是一个完全平方数。
输入格式
输入一行包含一个正整数 n。
输出格式
输出找到的最小的正整数 x。
数据范围
对于 30% 的评测用例，1≤n≤1000，答案不超过 1000。
对于 60% 的评测用例，1≤n≤108，答案不超过 108。
对于所有评测用例，1≤n≤1012，答案不超过 1012。
输入样例1：
12
输出样例1：
3
输入样例2：
15
输出样例2：
15
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e5+10;
LL n;
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
cin >> n;
LL res = 1;
for(int i = 2; i <= n / i; ++i)
{
if(n % i == 0)
{
int s = 0;
while(n % i == 0) s++, n /= i;
if(s % 2) res *= i;
}
}
if(n > 1) res *= n;
cout << res << endl;
return 0;
}
八、阶乘分解
标签：数学知识、质数
思路：先求出
1
∼
n
1\sim n
1∼n 的所有质数，用 线性筛法 即可。然后遍历每个质数出现了几次，可以用
s
=
⌊
n
p
⌋
+
⌊
n
p
2
⌋
+
⋯
+
⌊
n
p
k
⌋
s = \lfloor\frac{n}{p}\rfloor + \lfloor\frac{n}{p^2}\rfloor +\ \cdots\ + \lfloor\frac{n}{p^k}\rfloor
s=⌊pn⌋+⌊p2n⌋+ ⋯ +⌊pkn⌋ 求出来即可。
题目描述：
给定整数 N，试把阶乘 N! 分解质因数，按照算术基本定理的形式输出分解结果中的 pi 和 ci 即可。
输入格式
一个整数 N。
输出格式
N! 分解质因数后的结果，共若干行，每行一对 pi,ci，表示含有 pcii 项。按照 pi 从小到大的顺序输出。
数据范围
3≤N≤106
输入样例：
5
输出样例：
2 3
3 1
5 1
样例解释
5!=120=23∗3∗5
示例代码：
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> PII;
#define x first
#define y second
const int N = 1e6+10;
int primes[N], cnt;
bool st[N];
void get_primes(int n)
{
for(int i = 2; i <= n; ++i)
{
if(!st[i]) primes[cnt++] = i;
for(int j = 0; primes[j] * i <= n; ++j)
{
st[primes[j] * i] = true;
if(i % primes[j] == 0) break;
}
}
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0);
int n; cin >> n;
get_primes(n);
for(int i = 0; i < cnt; ++i)
{
int p = primes[i];
int s = 0;
for(int j = n; j; j /= p) s += j / p;
cout << p << " " << s << endl;
}
return 0;
}
