算法－图的强连通分量，图的最小生成树

news2025/11/1 7:25:39

1.图的强连通分量
(1). 定义
图的强连通分量是图论中的一个重要概念，主要在有向图中进行讨论。具体来说，如果在一个有向图G中，任意两个顶点vi和vj（其中vi大于vj）之间都存在一条从vi到vj的有向路径，同时也存在一条从vj到vi的有向路径，那么这两个顶点就被称为强连通。如果有向图G的每两个顶点都强连通，那么G就被称为一个强连通图。

进一步地，有向图G的极大强连通子图被称为强连通分量。这里，“极大”意味着如果添加任何额外的顶点，子图将不再保持强连通的属性。因此，强连通分量实际上是原图中满足强连通条件的最大的子图。

强连通分量在实际应用中有着重要的价值。例如，在复杂网络分析中，强连通分量可以帮助我们识别出网络中紧密连接、相互依赖的节点群体，这对于理解网络的结构和功能至关重要。此外，强连通分量还可以用于简化图的复杂度，将原图分解为多个更小的强连通分量，从而方便后续的分析和处理。

在算法实现上，有多种方法可以用来寻找有向图中的强连通分量，如Kosaraju算法、Tarjan算法和Gabow算法等。这些算法通常基于深度优先搜索（DFS）的思想，通过遍历图中的节点和边来识别强连通分量。

(2). Kosaraju算法求解图的强连通分量
Kosaraju算法是一种求解有向图强连通分量（Strongly Connected Components, SCC）的算法。这个算法的基本思想是分两步进行深度优先搜索（DFS）。首先，对原图进行DFS，并记录每个节点的完成时间（即退出DFS的时间）。然后，根据完成时间的逆序（从大到小），对节点进行第二次DFS，每次DFS找到的就是一个强连通分量。
(3). 实例
在这里插入图片描述
上述是一个图结构．利用Kosaraju算法可以求解其中每个强连通分量．

// 强连通分量
class NodeInfo{
public:
    char m_nName;
    bool m_bVisit = false;
    int32_t m_nTag = -1;
    int32_t m_nFirstTick;
    int32_t m_nLastTick;
};
template<class T>
class Node{
public:
    T m_nEle;
};
template<class EdgeInfo>
class Edge{
public:
    bool m_bValid = false;
};
Node<NodeInfo> stNodes[9];
Edge<int> stEdges[9][9];
Edge<int> stEdges2[9][9];
int nVisitTick = 0;
void Visit(int nCurIndex, int32_t nTag = -1);
 // 对节点按最后访问时间逆序排列
struct VisitInfo{
    int32_t nVisitTick;
    int32_t nIndex;
};
void Sort(VisitInfo* lpBegin, VisitInfo *lpEnd);
int main(){
    stNodes[0].m_nEle.m_nName = 'A';
    stNodes[1].m_nEle.m_nName = 'B';
    stNodes[2].m_nEle.m_nName = 'C';
    stNodes[3].m_nEle.m_nName = 'D';
    stNodes[4].m_nEle.m_nName = 'E';
    stNodes[5].m_nEle.m_nName = 'F';
    stNodes[6].m_nEle.m_nName = 'G';
    stNodes[7].m_nEle.m_nName = 'H';
    stNodes[8].m_nEle.m_nName = 'I';
    
    stEdges[0][1].m_bValid = true;
    stEdges[1][0].m_bValid = true;
    stEdges[1][2].m_bValid = true;
    stEdges[2][1].m_bValid = true;
    stEdges[4][5].m_bValid = true;
    stEdges[5][4].m_bValid = true;
    stEdges[4][3].m_bValid = true;
    stEdges[3][4].m_bValid = true;
    stEdges[4][6].m_bValid = true;
    stEdges[6][4].m_bValid = true;
    stEdges[6][8].m_bValid = true;
    stEdges[8][6].m_bValid = true;

    stEdges2[1][0].m_bValid = true;
    stEdges2[0][1].m_bValid = true;
    stEdges2[2][1].m_bValid = true;
    stEdges2[1][2].m_bValid = true;
    stEdges2[5][4].m_bValid = true;
    stEdges2[4][5].m_bValid = true;
    stEdges2[3][4].m_bValid = true;
    stEdges2[4][3].m_bValid = true;
    stEdges2[6][4].m_bValid = true;
    stEdges2[4][6].m_bValid = true;
    stEdges2[8][6].m_bValid = true;
    stEdges2[6][8].m_bValid = true;
    for(int i = 0; i < 9; i++){
        if(stNodes[i].m_nEle.m_bVisit == false){
            Visit(i);
        }
    }

    VisitInfo stArr[9];
    for(int32_t i = 0; i < 9; i++){
        stArr[i].nIndex = i;
        stArr[i].nVisitTick = stNodes[i].m_nEle.m_nLastTick;
    }
    // 按访问时间逆序排列数组元素
    Sort(stArr, stArr + 9);
    // 构造一个转置图，已经提前构建好．复用了原图的节点结构．深度优先前复位节点状态．
    for(int32_t i = 0; i < 9; i++){
        for(int32_t j = 0; j < 9; j++){
            stEdges[i][j] = stEdges2[i][j];
        }
    }
    for(int32_t i = 0; i < 9; i++){
        stNodes[i].m_nEle.m_bVisit = false;
        stNodes[i].m_nEle.m_nFirstTick = -1;
        stNodes[i].m_nEle.m_nLastTick = -1;
        stNodes[i].m_nEle.m_nTag = -1;
    }
    // 对转置图按排序后节点顺序再次执行深度搜索
    int32_t nTag = 0;
    for(int32_t i = 0; i < 9; i++){
        int32_t nNodeIndex = stArr[i].nIndex;
        if(stNodes[nNodeIndex].m_nEle.m_bVisit == false){
            Visit(nNodeIndex, nTag);
            nTag++;
        }
    }
    // 此时一次性求出了图的所有强连通分量．tag相同的节点位于同一个强连通分量．
    printf("strong connect num:%d\n", nTag);
    for(int32_t i = 0; i < nTag; i++){
        printf("%d:\n", i);
        for(int32_t k = 0; k < 9;  k++){
            if(stNodes[k].m_nEle.m_nTag == i){
                printf("%c ", stNodes[k].m_nEle.m_nName);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

void Sort(VisitInfo* lpBegin, VisitInfo *lpEnd){
    int32_t nNum = lpEnd - lpBegin;
    if(nNum <= 1){
        return;
    }

    // 归并排序
    int32_t nMid = nNum / 2;
    Sort(lpBegin, lpBegin+nMid);
    Sort(lpBegin+nMid,lpEnd);
   
    // 归并
    VisitInfo* lpArrTmp = (VisitInfo*)malloc(sizeof(VisitInfo) * nNum);
    int32_t nArrIndex = 0;
    int32_t nLeftIndex = 0;
    int32_t nRightIndex = 0;
    while(nLeftIndex < nMid && nRightIndex < (nNum - nMid)){
        if(lpBegin[nLeftIndex].nVisitTick >= lpBegin[nRightIndex+nMid].nVisitTick){
            lpArrTmp[nArrIndex] = lpBegin[nLeftIndex];
            nArrIndex++;
            nLeftIndex++;
        }
        else{
            lpArrTmp[nArrIndex] = lpBegin[nRightIndex+nMid];
            nArrIndex++;
            nRightIndex++;
        }
    }
    if(nLeftIndex < nMid){
        for(int32_t i = nLeftIndex; i < nMid; i++){
            lpArrTmp[nArrIndex] = lpBegin[i];
            nArrIndex++;
        }
    }
    else{
        for(int32_t i = nRightIndex; i < (nNum - nMid); i++){
            lpArrTmp[nArrIndex] = lpBegin[i+nMid];
            nArrIndex++;
        }
    }
    // 设置回去
    for(int32_t i = 0; i < nNum; i++){
        lpBegin[i] = lpArrTmp[i];
    }
}
// 基础的深度优先重点在于节点遍历．而不是，走完所有可能路径．
void Visit(int nCurIndex, int32_t nTag){
    nVisitTick++;
    stNodes[nCurIndex].m_nEle.m_bVisit = true;
    stNodes[nCurIndex].m_nEle.m_nFirstTick = nVisitTick;
    stNodes[nCurIndex].m_nEle.m_nTag = nTag;
    for(int i = 0; i < 9; i++){
        if(stEdges[nCurIndex][i].m_bValid && stNodes[i].m_nEle.m_bVisit == false){
            Visit(i, nTag);
        }
    }
    stNodes[nCurIndex].m_nEle.m_nLastTick = nVisitTick;
    nVisitTick++;// 用来保证LastTick不出现重复
}

特意说明下，这里的深度优先访问是最基础的深度优先版本．此版本主要侧重于对每个可达节点执行一次访问．

2.图的最小生成树
(1). 定义
图的最小生成树（Minimum Spanning Tree，MST）是一个在图论中常见的概念。给定一个加权连通图（即图的每条边都有一个权重，连通图是图中任意两点均可相互到达的意思），最小生成树是一个子图，它包含了原图中的所有顶点，且所有的边都属于原图的边，同时边的权值和在所有这样的子图中是最小的。换句话说，最小生成树是一个连通所有顶点的树，且所有边的权值和最小。（也可说成是代价最小的连通所有顶点的子图）

最小生成树问题是一个优化问题，它在网络设计、电路设计等领域有广泛的应用。例如，在构建通信网络时，我们可能希望以最小的成本连接所有的城市，这就可以通过求解最小生成树问题来实现。

求解最小生成树问题的常见算法有两种：普里姆算法（Prim's algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal's algorithm）。

普里姆算法：
(1). 将源节点加入当前最小生成树．
(2). 对所有边按权重排序．
(3). 循环迭代：
a. 从所有边中选出跨越当前最小生成树，图剩余部分的权重最小的边．跨越意味着此边一个节点在当前最小生成树中，另一节点不在．
b. 将此边的另一节点也加入当前最小生成树．
(4). 树中所有节点均加入最小生成树后，迭代结束．获得最小生成树．

克鲁斯卡尔算法：
(1).对图中的所有边按照权值大小进行排序．
(2). 按照权值从小到大的顺序依次选择边。
在选择每一条边时，需要判断这条边的两个顶点是否已经在同一个连通分量中，如果是，则跳过这条边；如果不是，则将这条边加入最小生成树中，并更新连通分量的信息。

(2). 实例
在这里插入图片描述
可利用上述算法求解上图中的一颗最小生成树．