【图像处理OpenCV(C++版)】——3.3 几何变换之极坐标变换

news2025/10/31 21:27:32

前言：

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🌟🌟🌟 本专栏主要结合OpenCV和C++来实现一些基本的图像处理算法并详细解释各参数含义，适用于平时学习、工作快速查询等，随时更新。

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文章目录

    • 学习目标
    • 一、极坐标变换原理
      • 1.1、笛卡儿坐标转换为极坐标
      • 1.2、极坐标转换为笛卡儿坐标
      • 1.3、利用极坐标变换对图像进行变换
    • 二、常见极坐标变换函数
      • 2.1、线性极坐标函数linearPolar()
      • 2.2、对数极坐标函数logPolar()
    • 三、 总结

学习目标

  • 熟悉极坐标变换原理
  • 了解常见极坐标变换函数
  • C++实现极坐标变换案例

一、极坐标变换原理

  之前介绍的几种几何变换，如投影变换和仿射变换都是笛卡儿坐标系之间的变换，下面介绍笛卡
儿平面坐标和极坐标之间的空间变换关系，从而完成图像的极坐标变换。
  

1.1、笛卡儿坐标转换为极坐标

  在笛卡尔坐标系xoy平面上的一点(x,y)，以(x'，y’)为中心，通过以下公式将笛卡儿坐标转换为极坐标：

  从上述公式可以看出，以变换中心为圆心的同一个圆上的点，在极坐标系θ & r中显示为一条直线。θ的取值范围用弧度表示为[0，2π]，用角度表示为[0，360]，反正切函数arctan2返回的角度和笛卡儿坐标点所在的象限有关系。

象限反正切角度范围
(y-y',x-x')在第一象限[0，90]
(y-y',x-x')在第二象限[90，180]
(y-y',x-x')在第三象限[-180，-90]
(y-y',x-x')在第四象限[-90，0]

  为了使用方便，将第三、四象限情况，即(y-y')≤0时返回的正切角度加上一个周期360 ° ，所以经过极坐标变换后的角度范围为[0，360]。

  OpenCV提供了函数：

void cartToPolar(InputArray x,
InputArray y,
OutputArray magnitude,
OutputArray angle,
bool angleInDegrees = false 
)

  将原点移动到变换中心后的笛卡儿坐标向极坐标的变换，其参数解释如下表所示，返回值magnitude、angle是与参数x和y具有相同尺寸和数据类型的ndarray。

参数注释
x输入，单精度或双精度浮点型数组。float_32或float_64
y与x一致
magnitude输出，极径，单精度或双精度浮点型数组。
angle输出，极角，可为角度或弧度。
angleInDegrees输入，为True时，angle为角度；为False时，angle为弧度

  举例：计算（0，0）、（1，0）、（2，0）、（0，1）、（1，1）、（2，1）、（0，2）、（1，2）、（2，2）这9个点以（1，1）为中心进行的极坐标变换。首先将坐标原点移动到（1，1）处，按照平移仿射矩阵计算出这9个点平移后的新坐标值，然后利用函数cartToPolar进行极坐标变换。代码如下：

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
	Mat x = (Mat_<float>(3, 3) << 0, 1, 2, 0, 1, 2, 0, 1, 2);
	Mat y = (Mat_<float>(3, 3) << 0, 0,0, 1, 1, 1, 2, 2,2);
	Mat r, theta;
	Mat r1, theta1;
	cartToPolar(x,y,r, theta, true);//角度
	cartToPolar(x, y, r1,theta1, false);//弧度

	cout << "极径:"<< r<< endl;
	cout << "对应角度信息:" << theta << endl;
	cout << "==================================="  << endl;
	cout << "极径:" << r1 << endl;
	cout << "对应弧度信息:" << theta1 << endl;

	return 0;
}

  

1.2、极坐标转换为笛卡儿坐标

  极坐标变换也是可逆的，在已知极坐标(θ，r)和笛卡儿坐标的条件下，计算哪个笛卡儿坐标(x，y)以 为中心的极坐标变换是(θ，r)，可通过以下公式计算：

  OpenCV提供了函数：

void polarToCart	(InputArray magnitude,
InputArray angle,
OutputArray x,
OutputArray y,
bool angleInDegrees = false 
)

  将极坐标转换为笛卡儿坐标，其参数解释与函数cartToPolar类似。注意：返回的是以原点(0,0)为中心的笛卡儿坐标，即已知(θ，r)和(x'，y') ，计算出的是(x-x',y-y') 。

参数注释
magnitude输入，极径，单精度或双精度浮点型数组。
angle输入，极角，可为角度或弧度。
x输出，单精度或双精度浮点型数组。float_32或float_64
y与x一致
angleInDegrees输入，为True时，angle为角度；为False时，angle为弧度

  举例：已知极坐标系θ & r中的（30，10）、（31，10）、（30，11）、（31，11），其中θ是以角度表示的，问笛卡儿坐标系xoy中的哪四个坐标是以（-15，15）为中心经过极坐标变换后得到这四个坐标。代码如下：

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;
int main() {

	//极坐标转笛卡尔
	Mat angle = (Mat_<float>(2, 2) <<30,31,30,31);
	Mat r = (Mat_<float>(2, 2) <<10,10,11,11);
	Mat x, y;

	polarToCart(r,angle,x,y,true);

	x += -15;
	y += 15;

	for (int i = 0; i < x.rows; i++)
	{
		for (int j = 0; j < x.cols; j++)
		{
			cout << "笛卡尔坐标为:(" <<x.at<float>(i,j)<<"，"<< y.at<float>(i, j)<<")"<< endl;
		}
	}

	return 0;

}

  为什么要x+=-15，y+=15呢？
  得到的（x，y）是以（0，0）为变换中心的，而这里的变换中心为（-15，15），所以只要进行x+=-15，y+=15操作。

  

1.3、利用极坐标变换对图像进行变换

  假设输入图像矩阵为I， (x',y')代表极坐标空间变换的中心，输出图像矩阵为O，比较简单的方法就是利用极坐标和笛卡儿坐标的一一对应关系得到O的每一个像素值，即：

  这里的θ和r都是以1为步长进行离散化的，由于变换步长较大，输出图像矩阵O可能会损失原图的很多信息。

  但是，可以进行优化，假设要将与(x',y') 的距离范围为[rmin ，rmax ]、角度范围在[θmin ，θmax]内的点进行极坐标向笛卡儿坐标的变换，当然这个范围内的点也是无穷多的，仍需要离散化；假设r的变换步长为rstep >0；sstep ≤1，θ的变换步长为θstep ，θstep 一般取360/180*N，N≥2。那么，输出的图像矩阵的宽和高为：

  图像矩阵O的第i行第j列的值通过以下公式进行计算：

  在C++中可以通过先确定输出图像的宽、高，以及r和θ的最小值和变换步长，从而估算出r和θ的最大值。在实现极坐标变换之前，先介绍一下OpenCV中的几个函数：

  (1) 该函数实现矩阵的平铺

repeat(const Mat&src,int ny,int nx)
参数注释
src输入矩阵。
ny将src在垂直方向上重复ny次。
nx将src在水平方向上重复nx次。

  (2) 实现图像的极坐标变换

Mat polar (Mat I,Point2f center ,Size size， float minr = 0，float mintheta=0，float thetaStep = 0，float rStep =0)
参数注释
I输入图像
center极坐标变换中心
minr与变换中心的最小距离
mintheta与变换中心的最小角度
thetaStep角度的变换步长
rStep距离的变换步长

  (3) 实现矩阵的水平镜像、垂直镜像及逆时针旋转180 °

void flip(InputArray src, OutputArray dst, int flipCode)
参数注释
src输入图像矩阵
dst输出图像矩阵，尺寸与数据类型与src一致
flipCode>0:src绕y轴镜像处理； =0：src绕x轴镜像处理 ；<0：逆时针旋转180°(先绕x镜像，再绕y镜像)
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
	//flip(src,dst,flipcode)函数

	Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/logo.jpeg", IMREAD_COLOR);
	Mat dst,dst1,dst2;
	flip(src,dst,1);//绕y轴镜像处理
	flip(src, dst1, 0);//绕x轴镜像处理
	flip(src, dst2, -1);//逆时针旋转180
	imshow("src原图", src);
	namedWindow("src原图", WINDOW_AUTOSIZE);

	putTextHusky(dst, "绕y轴镜像处理", Point(30, 30), Scalar(0, 0, 255), 20, "Arial");
	imshow("绕y轴镜像处理", dst);
	namedWindow("绕y轴镜像处理", WINDOW_AUTOSIZE);
	
	putTextHusky(dst1, "绕x轴镜像处理", Point(30, 30), Scalar(0, 0, 255), 20, "Arial");
	imshow("绕x轴镜像处理", dst1);
	namedWindow("绕x轴镜像处理", WINDOW_AUTOSIZE);
	
	putTextHusky(dst2, "逆时针旋转180 ", Point(30, 30), Scalar(0, 0, 255),20, "Arial");
	imshow("逆时针旋转180", dst2);
	namedWindow("逆时针旋转180", WINDOW_AUTOSIZE);
	
	waitKey(0);

	return 0;

}

极坐标变换对图像进行变换

  极坐标变换是比较耗时的运算，有的时候只需对距离变换中心一定范围内的点进行极坐标变换即可；当然，角度也与之类似，有的时候不需要是整个的0～360 ° 。比如图像中的圆环区域进行极坐标变换，这个圆环区域与中心点(x,y)的距离在某个范围内。

  分析：下面进行图像的极坐标变换，处理下列图像为例。下图所示的图像宽为942、高为910，其中有2层圆环，目的是将圆环按照“矩形”展示，通过极坐标变换正好可以实现该功能，圆环的中心大概位置为(466,453)，将它作为极坐标变换中心。比如只对图像中"星座"符号圆环区域进行极坐标变换，这个圆环区域与中心点(466,453)的距离在 100～230 范围内，这个区域也是估算获得，那么可以令minr=100、rStep=1，从而输出图像的高大约等于130(230-100)，令mintheta=0、thetastep=1/4、因为是整个圆环即需要角度范围是[0，360]，则设置输出图像的宽大约等于360*4=1440。代码如下：

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
	Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/img1.png", IMREAD_COLOR);
	if (!src.data)
	{
		return -1;
	}

	//图像极坐标变换
	float thetastep = 1.0 / 4;
	float minr = 100;
	Size size(int(360 / thetastep), 130);
	Mat dst = polar(src, Point2f(466, 453), size, minr);

	flip(dst, dst, 0); //绕x轴镜像处理

	imshow("src", src);
	imshow("dst", dst);

	waitKey(0);
	return 0;

}

注：我opencv3.4好像没有polar()函数，此问题待解决，先把代码呈上。

  

二、常见极坐标变换函数

2.1、线性极坐标函数linearPolar()

  线性极坐标函数linearPolar()如下：

void linearPolar(InputArray src,OutputArray dst,Point2f center,double maxRadius,int flags);
参数注释
src输入图像矩阵
dst输出图像矩阵，尺寸与数据类型与src一致
center极坐标变换中心
maxRadius极坐标变换得最大距离
flags插值算法，与函数resize、warpAffine得插值算法一致

  利用该函数的C++处理上面的那个图像，极坐标变换中心和上面代码中的中心是相同的，取最大距离为230，具体代码如下：

#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
	//极坐标对图像进行转换linearPolar函数
	Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/img1.png", IMREAD_COLOR);
	if (!src.data)
	{
		return -1;
	}

	//图像极坐标变换
	float maxr = 230;
	uchar flags = CV_INTER_LINEAR;

	//Mat dst = polar(src, Point2f(466, 453), size, minr);
	Mat dst;
	linearPolar(src, dst, Point2f(466, 453), maxr, flags);

	//显示
	imshow("src", src);
	imshow("dst", dst);

	waitKey(0);

	return 0;

}

注：上面polar()函数结果与次类似。

  函数linearPolar生成的极坐标，θ在垂直方向上，r在水平方向上，前面实现的极坐标变换r在垂直方向上，θ在水平方向上，所以旋转90 ° 得到的结果就会类似。

  仔细观察，里面的字好像也是在垂直方向上被压缩了，主要由于θ步长有点大造成的，那么该函数的r和θ的变换步长是多少呢？假设src的尺寸为宽W、高H，因为输出图像的尺寸也为宽W、高H，所以角度θ的变换步长大约为360/H，r的变换步长大约为maxRadius/W，上图图像的高为453、宽为466，所以r的变换步长为230/466，θ的变换步长为360/453，比上面θ的变换步长thetastep=1/4还要大，因此会显得有些扁。

  该函数有两个缺点：第一，极坐标变换的步长是不可控制的，导致得到的图可能不是很理想；第二，该函数只能对整个圆内区域，而无法对一个指定的圆环区域进行极坐标变换。除了线性极坐标变换，

  OpenCV还实现了另一种极坐标变换——对数极坐标变换，它们在本质上是相同的。

  

2.2、对数极坐标函数logPolar()

  对数极坐标函数logPolar()如下：

void logPolar(InputArray src,OutputArray dst,Point2f center,double M,int flags);
参数注释
src输入图像矩阵
dst输出图像矩阵，尺寸与数据类型与src一致
center极坐标变换中心
M系数，大一点效果更好
flagsWARP_FILL_OUTLIERS:笛卡儿坐标向对数极坐标变换;WARP_INVERSE_MAP:对数极坐标向笛卡儿坐标变换

  本质上，对数极坐标变换和线性极坐标变换是一样的，将笛卡儿坐标转换为对数极坐标的公式如下：

  反过来，将对数极坐标转换为笛卡儿坐标的公式如下：

  对比标准的线性极坐标变换公式，显然M值越小，得到的r方向上的压缩越大，在图像上的表现就是在r方向上的信息越来越少，所以设置M值大一点效果会好一些。还是以上图为例，代码如下：


#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <opencv2/core/core.hpp>
#include<opencv2/highgui/highgui.hpp>

using namespace std;
using namespace cv;
int main() {
	//极坐标对图像进行转换logPolar函数

	Mat src = imread("D:/VSCodeFile/OpenCV_CSDN/image/img1.png", IMREAD_COLOR);
	if (!src.data)
	{
	return -1;
	}

	//图像极坐标变换
	float maxr = 230;
	uchar flags = WARP_FILL_OUTLIERS;



	//Mat dst = polar(src, Point2f(466, 453), size, minr);
	Mat dst, dst1, dst2;
	//linearPolar(src, dst, Point2f(466, 453), maxr, flags);


	logPolar(src,dst, Point2f(466, 453),50,flags);
	logPolar(src, dst1, Point2f(466, 453),100, flags);
	logPolar(src, dst2, Point2f(466, 453), 150, flags);


	//显示
	imshow("src", src);
	imshow("dst-M:50", dst);
	imshow("dst-M:100", dst1);
	imshow("dst-M:150", dst2);

	waitKey(0);
	
	return 0;


}

三、 总结

  最后，长话短说，大家看完就好好动手实践一下，切记不能三分钟热度、三天打鱼，两天晒网。OpenCV是学习图像处理理论知识比较好的一个途径，大家也可以自己尝试写写博客，来记录大家平时学习的进度，可以和网上众多学者一起交流、探讨，有什么问题希望大家可以积极评论交流，我也会及时更新，来督促自己学习进度。希望大家觉得不错的可以点赞、关注、收藏。

🚶🚶🚶 今天的文章就到这里啦~
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