堆的概念

• 堆是一颗完全二叉树
• 每个结点的值都小于子结点的值，这颗二叉树为小根堆
• 每个结点的值都大于子结点的值，这颗二叉树为大根堆
• 堆的定义如下：n个元素的序列{k1,k2,ki,…,kn}当且仅当满足下关系时，称之为堆。
  
  堆的性质
• 堆中某个节点的值总是不大于或不小于其父节点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树。

堆的实现

在讲堆的实现前，我们首先要知道堆需要实现的功能。

• HeapPush
• HeapPop(删除根结点)
• HeapTop
• HeapSize
• HeapEmpty
  接下来我们要先创建和销毁一个堆。

typedef int HeapType;
typedef struct Heap
{
	HeapType* arr;
	int size;
	int capacity;
}Hp;
void HeapInit(Hp* php)
{
	assert(php);
	php->arr = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}
void HeapDestroy(Hp* php)
{
	assert(php);
	free(php->arr);
	php->arr = NULL;
	php->capacity = php->size = 0;
}

HeapPush

实现HeapPush时难点在于如何保持整体是一个堆。
即在一个堆的后面插入一个值，那么这棵完全二叉树大概率不会是堆，那么我们需要将这个值和其父结点比较，再根据需要交换值，也就是AdjustUp。
那么接下来以小根堆为例，实现HeapPush。

void Swap(HeapType* a, HeapType* b)
{
	HeapType tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}
void AdjustUp(HeapType* arr, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	while (child>0)
	{
		if (arr[child] < arr[parent])
		{
			Swap(&arr[child], &arr[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapPush(Hp* php, HeapType x)
{
	assert(php);
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = (php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity);
		HeapType * tmp = (HeapType*)realloc(php->arr,newcapacity * sizeof(HeapType));
		if (!tmp)
		{
			perror("realloc fail!");
			exit(-1);
		}
		php->arr = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}
	php->arr[php->size] = x;
	php->size++;
	AdjustUp(php->arr, php->size - 1);
}

HeapPop

实现HeapPop也是和HeapPush一样，需要考虑的是如何维持整体完全二叉树是一个堆，由于我们删除的是根结点，如果将根结点的子结点向上调整，那么整体二叉树就会空出一个位置，导致变成非完全二叉树。
这里的解决办法是将根结点和最后一个结点交换，删除最后一个结点，然后再对根结点进行向下调整。

void AdjustDown(HeapType* a, int n, int parent)
{
	int child = 2 * parent + 1;
	while (child<n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child] > a[child + 1])
		{
			child++;
		}
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = 2 * parent - 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}
void HeapPop(Hp* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size);
	Swap(&php->arr[0], &php->arr[php->size - 1]);
	php->size--;
	AdjustDown(php->arr, php->size, 0);
}

HeapTop HeapSize HeapEmpty

实现了Heap的Push和Pop后，那么取根结点的值和判空、判满也是手到擒来的。

HeapType HeapTop(Hp* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size);
	return php->arr[0];
}
size_t HeapSize(Hp* php)
{
	assert(php);
	return php->size;
}
bool HeapEmpty(Hp* php)
{
	assert(php);
	return php->size == 0;
}

堆的应用

实现了堆那么我们肯定要知道能用在什么地方才行，实际上堆的应用也是非常广泛的：

1. 实现堆排序
2. 求Top K值问题
3. 求中位数、百分位数

等等。
堆的应用还有很多，这里就不一一赘述了。