Leetcode 509. 斐波那契数
题目链接：509 斐波那契数
题干：斐波那契数 （通常用
F(n)表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由0和1开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。也就是：F(0) = 0，F(1) = 1 F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)，其中 n > 1给定
n，请计算F(n)。
思考一：动态规划。这是一道简易题，主要用来熟悉动态规划五步曲。
- 确定dp数组以及下标的含义
定义一个一维dp数组来保存递归的结果。dp[i]的定义为：第i个数的斐波那契数值是dp[i]
- 确定递推公式
题目已经给定递推公式：dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
- dp数组如何初始化
题目中也已经给定：dp[0] = 0;dp[1] = 1;
- 确定遍历顺序
从递归公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，dp[i]是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2]，那么遍历的顺序一定是从前到后遍历的
- 举例推导dp数组
按照这个递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]，简单推导一下，当N为10的时候，dp数组应该是如下的数列：0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
如果出现bug，就把dp数组打印出来寻找问题位置。
代码：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n < 2) return n; //特殊两项
int dp[n + 1]; //记录每项对应的斐波那契数值
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; //递推公式
return dp[n];
}
};优化：从递推公式可以看出实际要维护的元素只有两个。
代码：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n < 2) return n; //特殊两项
int dp[2];
dp[0] = 0;
dp[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
int sum = dp[0] + dp[1];
//更新数组
dp[0] = dp[1];
dp[1] = sum;
}
return dp[1];
}
};思考二：此题还可用递归法处理。
代码：
class Solution {
public:
int fib(int n) {
if (n < 2) return n;
return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
};Leetcode 70. 爬楼梯
题目链接：70 爬楼梯
题干：假设你正在爬楼梯。需要
n阶你才能到达楼顶。每次你可以爬
1或2个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
1 <= n <= 45
思考：动态规划。这题其实和上题一样。
- 确定dp数组以及下标的含义
定义一个一维数组来记录不同楼层的状态。dp[i]： 爬到第i层楼梯，有dp[i]种方法
- 确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
首先是dp[i - 1]，上i-1层楼梯，有dp[i - 1]种方法，那么再一步跳一个台阶就是dp[i]。
还有就是dp[i - 2]，上i-2层楼梯，有dp[i - 2]种方法，那么再一步跳两个台阶就是dp[i]。
所以dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2] 。
- dp数组如何初始化
需要注意题目中指明n是一个正整数，所以本题应该直接从dp[1]考虑初始化。
易得dp[1] = 1，dp[2] = 2
- 确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历的
- 举例推导dp数组
举例当n为5的时候，dp table（dp数组）应该是1 2 3 5 8
此题也可优化，实际要维护的元素也就两个。
代码（优化后）：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
if (n < 3) return n; //起始两项
int dp[3];
dp[1] = 1;
dp[2] = 2;
for (int i = 3; i <= n; i++) {
int sum = dp[1] + dp[2];
dp[1] = dp[2];
dp[2] = sum;
}
return dp[2];
}
};卡码网 爬楼梯
题目链接：卡码网 爬楼梯
题干：假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬至多m (1 <= m < n)个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？
注意：给定 n 是一个正整数。
思考：此题和上题的区别仅在递推公式上。
由于每次可爬的层数为m，因此dp[i] 可以有m个方向推出来。
类似dp[i - j]，上i-j层楼梯，有dp[i - j]种方法，那么再一步跳j个台阶就是dp[i]。(1 <= j <= m)
所以。
故计算每层楼层的状态只需循环min(i, m)次相加，因此dp[0]只能为1。
代码：
class Solution {
public:
int climbStairs(int n) {
vector<int> dp(n + 1, 0);
dp[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int j = 1; j <= m; j++) { // 把m换成2，就可以AC上面那题
if (i - j >= 0) dp[i] += dp[i - j];
}
}
return dp[n];
}
};Leetcode 746. 使用最小花费爬楼梯
题目链接：746 使用最小花费爬楼梯
题干：给你一个整数数组
cost，其中cost[i]是从楼梯第i个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。你可以选择从下标为
0或下标为1的台阶开始爬楼梯。请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。
2 <= cost.length <= 10000 <= cost[i] <= 999
思考：动态规划。
- 确定dp数组以及下标的含义
定义一个一维数组来记录到达不同楼层所需要支付的费用。dp[i]的定义：到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
- 确定递推公式
从dp[i]的定义可以看出，dp[i] 可以有两个方向推出来。
dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
由题干可知dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
- dp数组如何初始化
题干中明确 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;
- 确定遍历顺序
从递推公式dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);中可以看出，遍历顺序一定是从前向后遍历cost数组。
- 举例推导dp数组
拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：
代码：
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
vector<int> dp(cost.size() + 1);
dp[0] = 0; //题干默认到达下标为0或1的台阶无开销
dp[1] = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++)
dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]); //取前两台阶爬上的累计最小值
return dp[cost.size()];
}
};优化：从递推公式可以看出实际要维护的元素还是只有两个。
代码：
class Solution {
public:
int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
int dp0 = 0;
int dp1 = 0;
for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
int dpi = min(dp1 + cost[i - 1], dp0 + cost[i - 2]);
dp0 = dp1; // 记录一下前两位
dp1 = dpi;
}
return dp1;
}
};自我总结：
- 逐步熟悉动态规划五步曲
- 确定dp数组以及下标的含义
- 确定递推公式
- dp数组如何初始化
- 确定遍历顺序
- 举例推导dp数组
