数学实验第三版（主编：李继成 赵小艳）课后练习答案（十四）（1）

news2025/11/4 9:10:53

实验十四：水塔水流量估计模型

练习一

1.海水温度随着深度的变化而变化,海面温度较高,随着深度的增加,海水温度越来越低.通过验观测得一组海水温度t与深度h的数据如下:

h/m

0

1.5

2.5

4.6

8.2

12.5

16.5

26.5

t/℃

23.5

22.9

20.1

19.1

15.4

11.5

9.5

8.2

要求:

(1)分别用多种数据插值方法找出温度t与深度h之间的近似函数关系;

(2)找出温度变化最快的深度位置,通过查询相关资料,了解这个特殊位置的实际应用价值.

(1)

clc;clear;
format long
h=[0,1.5,2.5,4.6,8.2,12.5,16.5,26.5];
t=[23.5,22.9,20.1,19.1,15.4,11.5,9.5,8.2];
x=0:0.1:26.5;
%拉格朗日插值
y=lglrcz(h,t,x);
figure(1)
plot(h,t,'.',x,y);
x0=ones(length(h),1);xx=[x0];
for i=1:length(t)-1
    x0=x0.*h';
    xx=[xx,x0];
end
p=inv(xx)*t'%多项式系数（从低到高排列）
%三次样条插值
yy=interp1(h,t,x,'spline');
figure(2)
plot(x,yy,h,t,'.');
pp=spline(h,t)
function y=lglrcz(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end
end

p =

  23.500000000000000

   5.519770260409278

  -6.784280947302284

   2.409485615066580

  -0.388966596330604

   0.030972950891118

  -0.001174710590966

   0.000016740427015

pp =

  包含以下字段的 struct:

      form: 'pp'

    breaks: [0 1.500000000000000 … ]

     coefs: [7×4 double]

    pieces: 7

     order: 4

       dim: 1

>> pp.coefs%三次样条插值的各区间的系数如下

ans =

   0.666350830669392  -3.625403322677568   3.538815615010219  23.500000000000000

   0.666350830669392  -0.626824584665302  -2.839526246004088  22.899999999999999

  -0.286563754712924   1.372227907342874  -2.094122923326514  20.100000000000001

   0.050422214507364  -0.433123747348549  -0.122004187338434  19.100000000000001

  -0.005736766041512   0.111436169330978  -1.280079468201690  15.400000000000000

  -0.000611295331494   0.037431887395469  -0.639946824277967  11.500000000000000

  -0.000611295331494   0.030096343417537  -0.369833901025942   9.500000000000000

（2）通过观察图像得知，变化最快的点应该在[0,8.2]内。

由于拉格朗日插值的龙格现象，我们不妨把x缩小范围，在小范围内求解。

x1=0:0.1:16.5;%由于龙格现象，我们把x缩小范围进行求解
%拉格朗日插值
y=lglrcz(h,t,x1);
figure(1)
plot(h,t,'.',x1,y);
x0=ones(length(h),1);xx=[x0];
for i=1:length(t)-1
    x0=x0.*h';
    xx=[xx,x0];
end
p=inv(xx)*t'%多项式系数（从低到高排列）
function y=lglrcz(x0,y0,x)
n=length(x0);
m=length(x);
for i=1:m
    z=x(i);
    s=0.0;
    for k=1:n
        p=1.0;
        for j=1:n
            if j~=k
                p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
            end
        end
        s=p*y0(k)+s;
    end
    y(i)=s;
end
end


pd=polyder(p);
xl=abs(polyval(p,x1));
x1(find(xl==max(xl)))

ans =

   16.5000

感觉龙格现象的影响，拉格朗日插值不太适合此题。

对于三次样条插值，我们在前四个区间内求解。

syms t
f1=0.6664*(t)^3-3.6254*(t)^2 +3.5388*(t) + 23.5;
f2=0.6664*(t-1.5)^3 -0.6268*(t-1.5)^2  -2.8395*(t-1.5) + 22.9;
f3=-0.2866*(t-2.5)^3+1.3722*(t-2.5)^2 -2.0941*(t-2.5)+ 20.1;
f4=0.0504*(t-4.6)^3 -0.4331*(t-4.6)^2  -0.1220*(t-4.6)+ 19.1;
f11=matlabFunction(diff(f1));
f22=matlabFunction(diff(f2));
f33=matlabFunction(diff(f3));
f44=matlabFunction(diff(f4));
t1=0:0.1:1.5;t2=1.5:0.1:2.5;t3=2.5:0.1:4.6;t4=4.6:0.1:8.2;
f111=f11(t0)
f222=f22(t0);
f333=f33(t0);
f444=f44(t0);
max(abs(f111))
max(abs(f222))
max(abs(f333))
max(abs(f444))
%显然最大值在第一个区间内
t1(find(f111==3.5388))

ans =

    3.5388

 ans =

    3.0357

ans =

    2.0941

ans =

    1.3624

ans =

     0

这两种方法得到的结果差别很大，估计是由于选择的插值方法不是很合适，个人疑问：这个数据所给的为何会插值得到奇怪的曲线，刚开始为何深度变大而温度升高呢？

个人建议还是改成拟合较好。

温度变化快的地方可以用来海水温差发电，且发电效率更高。

2.表14.8给出了在低潮时某一平面区域内若干点(x,y)处的水深z值(单位:ft).已知船的吃水深度为5ft.试画出海底的地貌图,并在平面矩形区域(80,196)x(-70,145)内标注哪些地方船要避免进人·

表14.8 水域坐标数据

x

129.0

140.5

103.5

88.0

185.5

195.0

105.5

157.5

107.5

77.0

81.0

162.0

162.0

117.5

y

7.5

141.5

23.0

147.0

22.5

137.5

85.5

-6.5

-81.0

3.0

56.5

-66.5

84.0

-33.5

z

4

8

6

8

6

8

8

9

9

8

8

9

4

9

clc;clear;
x=[129.0,140.5,103.5,88.0,185.5,195.0,105.5,157.5,107.5,77.0,81.0,162.0,162.0,117.5];
y=[7.5,141.5,23.0,147.0,22.5,137.5,85.5,-6.5,-81.0,3.0,56.5,-66.5,84.0,-33.5];
z=[4,8,6,8,6,8,8,9,9,8,8,9,4,9];
xx=77:196;
yy=-81:145;
[xxx,yyy]=meshgrid(xx,yy);
zzz=griddata(x,y,z,xxx,yyy,'cubic');
figure(1)
mesh(xxx,yyy,zzz);
figure(2)
contourf(xxx,yyy,zzz);%等高线
figure(3)
rectangle('Position',[80,-70,116,215]);%画矩形，[左下横，左下纵，长，宽]
for xi=80:196
    for yi=-70:145
        if zzz(find(yy==yi),find(xx==xi))>5
            hold on
            plot(xi,yi,'r.');
        end
    end
end

3.估计煤矿的储量.表14.9给出了某露天煤矿在平面矩形区域(1100mx700m)内,纵横均匀的网格交点处测得的煤层厚度(单位:m).由于客观原因,有些点无法测量煤层厚度,用‘—’标出,其中每一网格均为100mx100m的小矩形,试根据这些数据,用不同的方法估算该矩形区域煤矿的储藏量(体积)。

表14.9 煤层厚度

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

1

—

—

12.5

13.5

17.2

—

8.8

14.7

8.0

13.0

—

2

—

—

—

15.6

18.2

13

6.4

8.9

9.2

11.7

—

3

—

12

13.5

13.5

17.8

16.9

13.2

—

—

—

—

4

7.5

12.6

14.9

18.7

17.7

17.5

14.7

13

—

—

6.5

5

8.9

7.8

12.4

13.5

15.7

17.6

11.7

9.6

9.2

9.5

8.6

6

—

—

—

13.7

13.6

16.5

12.5

8.7

9.7

—

—

7

—

—

8.6

11.8

12.5

11.3

13.4

—

—

—

—

首先，我对该题有一个疑问：图中只给出了7*11个数据（姑且将‘—’也称为数据），每个数据是网格交点处的煤层厚度，而题中又说该平面区域为1100mx700m，可是表中的数据怎么画出1100mx700m的区域呢（十一个点只有十个线段啊），那该怎么办呢？

姑且每行都拟合让其拥有7*12个数据，把平面区域改为1100mx600m，这样才能有效地估计煤矿的仓储量。

clc;clear;
format long
x=0:100:1100;
y=0:100:600;
z=xlsread("C:\Users\dell\Desktop\煤层厚度.xlsx");
zz=[];
for i=1:7
    l=length(find(isnan(z(i,:))==0));
    ll=find(isnan(z(i,:))==0);
    lll=z(i,:);
  p=polyfit(1:l,lll(ll),2);
  m=polyval(p,1:12);
  if length(find(m<0))>0
      p=polyfit(1:l,lll(ll),1);
      m=polyval(p,1:12);
  end      
  zz=[zz;m];
end
[x,y]=meshgrid(x,y);
x0=0:5:1100;
y0=0:5:600;
[xx0,yy0]=meshgrid(x0,y0);
zz0=interp2(x,y,zz,xx0,yy0,'cubic');
mesh(xx0,yy0,-zz0);
v=0;
for k=1:length(x0)-1
    for i=1:length(y0)-1
        h=(zz0(i,k)+zz0(i+1,k)+zz0(i,k+1)+zz0(i+1,k+1))/4;
        v=v+25*h;
    end
end
v

v =

     8.597807745430814e+06

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