隔板法
X
1
+
X
2
+
.
.
.
+
X
n
=
m
,
X
i
>
=
0
X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=0
X1+X2+...+Xn=m,Xi>=0
求方程解的个数
求方程解的个数
求方程解的个数
m
个球插入
n
−
1
个板将
m
个球分成
n
份
m个球插入n-1个板将m个球分成n份
m个球插入n−1个板将m个球分成n份
方程解的个数
(
m
n
+
m
−
1
)
方程解的个数(^{n+m-1}_{m})
方程解的个数(mn+m−1)
如果要求每份球的个数都大于1该怎么做？
X
1
+
X
2
+
.
.
.
+
X
n
=
m
,
X
i
>
=
1
X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=1
X1+X2+...+Xn=m,Xi>=1
求方程解的个数
求方程解的个数
求方程解的个数
令
X
′
=
X
1
−
1
,
X
′
>
=
0
,
令 X^{'} = X_1-1,X^{'}>=0,
令X′=X1−1,X′>=0,
X
1
+
X
2
+
.
.
.
+
X
n
=
m
−
n
,
X
i
′
>
=
0
X_1+X_2+...+X_n=m-n,\quad X_i^{'}>=0
X1+X2+...+Xn=m−n,Xi′>=0
方程解的个数
(
n
−
1
m
−
n
+
n
−
1
)
=
(
n
−
1
m
−
1
)
方程解的个数(^{m-n+n-1}_{n-1})=(^{m-1}_{n-1})
方程解的个数(n−1m−n+n−1)=(n−1m−1)
直观上将，我们可以直接先将每份里面都放一个球，然后再按上面的没有限制条件的做
也可以这样理解
m
个球之间有
m
−
1
个空，在这
m
−
1
个空里插入
n
−
1
个隔板
也可以这样理解m个球之间有m-1个空，在这m-1个空里插入n-1个隔板
也可以这样理解m个球之间有m−1个空，在这m−1个空里插入n−1个隔板
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