【动态规划】【数学】【C++算法】18赛车

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动态规划数学

LeetCode818赛车

你的赛车可以从位置 0 开始，并且速度为 +1 ，在一条无限长的数轴上行驶。赛车也可以向负方向行驶。赛车可以按照由加速指令 ‘A’ 和倒车指令 ‘R’ 组成的指令序列自动行驶。
当收到指令 ‘A’ 时，赛车这样行驶：
position += speed
speed *= 2
当收到指令 ‘R’ 时，赛车这样行驶：
如果速度为正数，那么speed = -1
否则 speed = 1
当前所处位置不变。
例如，在执行指令 “AAR” 后，赛车位置变化为 0 --> 1 --> 3 --> 3 ，速度变化为 1 --> 2 --> 4 --> -1 。
给你一个目标位置 target ，返回能到达目标位置的最短指令序列的长度。
示例 1：
输入：target = 3
输出：2
解释：
最短指令序列是 “AA” 。
位置变化 0 --> 1 --> 3 。
示例 2：
输入：target = 6
输出：5
解释：
最短指令序列是 “AAARA” 。
位置变化 0 --> 1 --> 3 --> 7 --> 7 --> 6 。
提示：
1 <= target <= 10⁴
这题太难了，反复看各位大佬的题解。结合自己的思考，总结出适合中国人理解的解法。

动态规划

用Aⁿ 代替n个A,n可以为0。则任何指令流可以表示为：
A^k1RA^k2…R^kn 。有如下性质：
一，一定不会以R结尾。假定以R结尾，删除它。距离不变。
二，一定不会以R开头。否则删除RA^k1R ，再在末尾增加 RRA^k1或RA^k1，指令长度不变或变短。如果R的数量偶数，则加RA，指令少一个字符。如果R的数量是奇数，则加RRA，指令不变。
三,ki的i为奇数，则是正方向；i为偶数，则是反方向。如果x1和x2奇偶性相同，则交换kx1和kx2，行驶的路程不变。对奇数ki按降序排序，对偶数ki按降序排序。
四，x1和x2奇偶性不同。则kx1一定不等于kx2，否则通过性质三，移到最后然后删除。
五，x1和x2奇偶性不同。kx1>=3 ,则kx1一定不等于kx2+1，否则kx1变kx2，kx2变0，末尾加RA或RRA。
六，如果ki>=4，则ki顶多出现一次。否则将第一个A^ki变成A^ki+1,第二个A^ki删除，末尾追加RRA或RA。
七，如果ki等于1。则最多出现2次。否则将三个A，变成A² A⁰ A⁰。3个字符变2个字符。
八，如果ki等于2。则最多出现2次。否则将三个AA 变成A^3 A A。6个字符变5个字符。
九，如果ki等于3。则最多出现2次。否则将三个AAA变成，A^4 A^2 A^2。9个字符变8个字符。
十，如果x+1等于2^k，则最短指令就是A^k。每一步都是最大加速，最大移动距离。
十一，假定某段指令的k1为x，则此指令的最大行驶距离vMaxDis(x)为（正方向全部选择，负方向全部不选择）：
x== 0,最大行驶距离0。
x== 1，2个A最大行驶距离为2。
x== 2，2个A 2个AA，最大行驶距离为8。
x== 3 2个A AA AAA ，最大行驶距离：22。
x== 4 1个A AA …A^x 外加1个A AA AAA 。前者和为:Sum $_{i=1}^{:x}$ (2ⁱ-1) = Sum $_{i=1}^{:x}$ (2ⁱ)-x = 2^(x+1)-2- x 。后者和为：11。两者之和：2^(x+1)-2- x + 11
十二，假定某段指令的k1为x，则k2的最大值为vK2Max(k1)：
根据性质四,k2一定不等于k1。
根据性质五，如果x>=3，则k2一定不是x-1，也不是x+1。
如果x==3，k2>=x+2 无论如何都会让行驶的距离为负
8-32+（22-7） = -9
如果k=x+2 x>=4 无论如何都会让行驶的路程为负。
2^x-1 -( 2^(x+2)-1) + vMaxDis(x) = vMaxDis(x)-2^x*3 = -2^x-2-x +11,令x=4 -16-2-4+11 < 0。
综上所述：x>=3 k2的最大值为x-2。
k1为0，无意义。
k1为1，k2最大为0；如果k2为1，和k1抵消；如果k2为2，则行驶的总距离一定为负。
k1为2，k2可以为3。h2为3只有一种可能，正方向AA AA A A 负方向AAA。总路程1。而dp[1]的最短路程显然是1,即A。排除此特例后 h2为1。
排除特例后，h2一定小于h1。
十三：假定某段指令的k1为x，则最小行驶距离vMinDis(x)（除k1外，正方向全部不选，负方向全选）为
故：vMinDis(x) = 2^x-1 - vMaxDis(vK2Max(x))

vMinDis的计算值大于实际值，动态规划时可能会有遗漏造成错误。小于实际值，只会多计算几次，不会造成错误。故为了简化问题：令vMinDis(1)和vMinDis(2)等于0。

实现

初始化时计算vK1,如果vK1[x]记录符合以下条件的k1。vMinDis(k1) <= x 且vMaxDis(k1)>=x。
动态规划的状态表示，则初始速度为1，向当前方向行驶x的最短指令流为dp[x]。动态规划的初始值dp[0]=0。
动态规划的填表顺序：
第一层循环：从1到大枚举x。
第二层循环：枚举可能k1。
第三层循环：枚举可能的k2。
动态规划的返回值：dp.back()。
难点 dp[x]不能为负数：

动态规划的转移方程

如果k1 越过x ，令x2= 2^k1-1 - x ，dp[x] = k+1 + dp[x2]
如果x2 >= x 忽略。原因：k1>k2。则vMaxDis[k1] > vMaxDis[k2]。
如果k1没有越过x，如果有k3
则 dp[x] = k1+1 + k2+1 + dp[?]
如果没k3则
dp[x] = k1+1 + k2;

代码

class Solution {
public:
	int racecar(int target) {
		auto K2Max = [](int k1)
		{
			static vector<int> v = { 0,0,1 };
			return k1 >= v.size() ? k1 - 2 : v[k1];
		};
		vector<int> vMaxDis = { 0 } ,vMinDis = { 0 };
		for (int k1 = 1; ; k1++)
		{
			int iMax = (1 << (k1 + 1)) - 2 - k1 ;
			if (1 == k1)
			{
				iMax += 1;
			}
			else if(2 == k1)
			{
				iMax += 4;
			}
			else
			{
				iMax += 11;
			}
			const int iMin = (1 << k1) - 1 - vMaxDis[K2Max(k1)];
			if (iMin > 10000)
			{
				break;
			}
			vMaxDis.emplace_back(iMax);
			vMinDis.emplace_back(iMin);
		}

		vector<vector<int>> vK1(target + 1);
		for (int i = 1; i < vMaxDis.size(); i++)
		{
			for (int x = max(1, vMinDis[i]); x <= min(target, vMaxDis[i]); x++)
			{
				vK1[x].emplace_back(i);
			}
		}
		vector<int> dp(target + 1, 100'000);
		dp[0] = 0;
		for (int x = 1; x <= target; x++)
		{
			for (const auto& k1 : vK1[x])
			{
				const int iRemain = (1 << k1) - 1 - x;
				if ( 0 == iRemain )
				{
					dp[x] = k1;//只有k1
					break;
				}
				if (iRemain > 0)
				{	
					if (iRemain < x)
					{
						dp[x] = min(dp[x], k1 + 1 + dp[iRemain]);//超出部分
					}
					continue;
				}
				for (int k2 = 0; k2 <= K2Max(k1); k2++)
				{
					const int iNewX = x - (1 << k1) + (1 << k2);//iNew为0，有k2无k3
					if (iNewX < 0)
					{
						assert(false);
					}
					else
					{
						dp[x] = min(dp[x], k1 + k2 + 1 + (0 != iNewX) + dp[iNewX]);
					}
				}
			}
		}
		return dp.back();
	}
};

测试用例

template<class T>
void Assert(const T& t1, const T& t2)
{
	assert(t1 == t2);
}

template<class T>
void Assert(const vector<T>& v1, const vector<T>& v2)
{
	if (v1.size() != v2.size())
	{
		assert(false);
		return;
	}
	for (int i = 0; i < v1.size(); i++)
	{
		Assert(v1[i], v2[i]);
	}

}

int main()
{	
	{
		Solution sln;
		vector<int> ans = { 1,4,2,5,7,5,3,6,8,7,10,7,9,6,4,7,9,8,11,12,10,9,12,9,11,13,11,8,10,7,5,8,10,9,12
							,13,11,10,13,15,14,15,13,14,12,11,14,11,13,16,14,17,14,15,13,10,12,14,12,9,11,8,
							6,9,11,10,13,14,12,11,14,16,15,16,14,15,13,12,15,17,16,19,19,18,17,18,16,18,18,17,15,16,14,13,16,13,15,18,16,19
		};
		for (int i = 0; i < 100; i++)
		{
			auto res = sln.racecar(i + 1);
			Assert(res, ans[i]);
		}		
	}
	{
		Solution sln;
		vector<int> ans = { 45, 43, 40, 41, 43, 42, 44, 43, 44, 42, 39, 40, 42, 41, 38, 39, 37, 34, 36, 39, 37, 40, 42, 40, 38, 41, 43
			, 42, 45, 42, 44, 41, 39, 42, 44, 43, 46, 47, 45, 44, 47, 44, 46, 48, 46, 43, 45, 42, 40, 43, 45, 44, 47, 48, 46, 45, 48, 50, 49, 50, 48, 49, 47, 46, 49, 46, 48, 51, 49, 52, 49, 50, 48, 45, 47, 49, 47, 44, 46, 43,
			41, 44, 46, 45, 48, 49, 47, 46, 49, 51, 50, 51, 49, 50, 48, 47, 50, 52, 51, 54 };
		for (int i = 0; i < 100; i++)
		{
			auto res = sln.racecar(10000-i);
			Assert(res, ans[i]);
		}
	}
}

附录：
k1:1 minDis:1 maxDis:2
k1:2 minDis:1 maxDis:8
k1:3 minDis:5 maxDis:22
k1:4 minDis:7 maxDis:37
k1:5 minDis:9 maxDis:68
k1:6 minDis:26 maxDis:131
k1:7 minDis:59 maxDis:258
k1:8 minDis:124 maxDis:513
k1:9 minDis:253 maxDis:1024
k1:10 minDis:510 maxDis:2047
k1:11 minDis:1023 maxDis:4094
k1:12 minDis:2048 maxDis:8189
k1:13 minDis:4097 maxDis:16380
k1:14 minDis:8194 maxDis:32763

2023年1月版

class Solution {
public:
bool AddQue(int(vHasDisSpeed)[41], vector<std::pair<int, int>>& qDisSpeed, int iDis, int iSpeed, int iOpeNum)
{
iSpeed += 20;
if ((iDis < 0) || (iDis >= m_target2 ))
{
return false;
}
if (INT_MAX != vHasDisSpeed[iDis][iSpeed])
{//已经处理
return true;
}
vHasDisSpeed[iDis][iSpeed] = iOpeNum;
qDisSpeed.emplace_back(iDis, iSpeed);
return true;
}
int racecar(int target) {
m_target = target;
int vHasDisSpeedOpeNum[10000 * 2][41] = { INT_MAX };
for (int i = 0; i < sizeof(vHasDisSpeedOpeNum) / sizeof(vHasDisSpeedOpeNum[0]); i++ )
for (int j = 0; j < sizeof(vHasDisSpeedOpeNum[0]) / sizeof(vHasDisSpeedOpeNum[0][0]); j++)
{
vHasDisSpeedOpeNum[i][j] = INT_MAX;
}
vector<std::pair<int, int>> qDisSpeed;
AddQue(vHasDisSpeedOpeNum, qDisSpeed, 0, 1, 0);
for (int i = 0; i < qDisSpeed.size();i++ )
{
int iDis = qDisSpeed[i].first;
const int iOpeNum = vHasDisSpeedOpeNum[iDis][qDisSpeed[i].second];
int iSpeedK = qDisSpeed[i].second - 20;
int iSpeed = 1 << (abs(iSpeedK)-1);
if (iSpeedK < 0)
{
iSpeed *= -1;
}
if (iDis + iSpeed == target)
{
return iOpeNum + 1;
}
AddQue(vHasDisSpeedOpeNum, qDisSpeed, iDis + iSpeed, iSpeedK > 0 ? iSpeedK + 1 : iSpeedK - 1, iOpeNum + 1);
AddQue(vHasDisSpeedOpeNum, qDisSpeed, iDis, iSpeedK > 0 ? -1 : 1, iOpeNum + 1);
}
return -1;
}
int m_target;
};

2023年8月版

class Solution {
public:
int racecar(int target) {
if (1 == target)
{
return 1;
}
if (2 == target)
{
return 4;
}
vector dp(target + 1,INT_MAX);
dp[1] = 1;
dp[2] = 4;
int k = 1;
for (int i = 3; i <= target ;i++ )
{
while ((1 << (k + 1)) <= i+1)
{
k++;
}
{
const int first = (1 << k) - 1;
if (first == i)
{
dp[i] = k;
continue;
}
for (int j = 0; j < k; j++)
{
dp[i] = min(dp[i], k + 1 + j + 1+ dp[i - first + (1 << j )-1]);
}
}
{
const int first = (1 << (k+1)) - 1;
dp[i] = min(dp[i], (k + 1) + 1 + dp[first - i]);
}
}
return dp.back();
}
};

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