Gauss型求积公式
Gauss型求积公式定义
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
A
i
f
(
x
i
)
\int_{ a }^{b} \rho(x)f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i=1}^{ n}A_if(x_i)
∫abρ(x)f(x)dx≈i=1∑nAif(xi)
如果求积公式具有
2
n
−
1
{2n-1}
2n−1 次代数精度，则称对应的节点
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
{x_1,x_2,\cdots ,x_n}
x1,x2,⋯,xn 为Gauss点，此时求积公式称为Gauss型求积公式。
为了讨论方便，本节取
n
{n}
n 个节点，并记节点为
x
1
,
x
2
,
⋯
x
n
{x_1,x_2,\cdots x_n}
x1,x2,⋯xn ，从
1
{1}
1 开始取！同时，所讨论的积分均为带有权函数
ρ
(
x
)
{\rho(x)}
ρ(x) 的积分。
插值型求积公式
∫
a
b
ρ
(
x
)
f
(
x
)
d
x
≈
∑
i
=
1
n
A
i
f
(
x
i
)
\int_{ a }^{b} \rho(x)f(x) \mathrm dx \approx \sum_{i=1}^{ n}A_if(x_i)
∫abρ(x)f(x)dx≈i=1∑nAif(xi)
的代数精度最高不超过
2
n
−
1
{2n-1}
2n−1 ，且达到
2
n
−
1
{2n-1}
2n−1 时，所有求积系数为正。所以高斯公式是给定节点数下代数精度最高的求积公式。
构造Gauss型求积公式的步骤
- 对给定区间 [ a , b ] {[a,b]} [a,b] 及权函数 ρ ( x ) {\rho(x)} ρ(x) ，由Schmidt正交化过程构造正交多项式 P 0 ( x ) , P 1 ( x ) , ⋯ , P n ( x ) {P_0(x),P_1(x), \cdots ,P_n(x)} P0(x),P1(x),⋯,Pn(x)
- 求出 P n ( x ) {P_n(x)} Pn(x) 的 n {n} n 个零点 x 1 , x 2 , ⋯ , x n { x_1,x_2, \cdots, x_n} x1,x2,⋯,xn 即为Gauss点
- 计算求积系数 A i = ∫ a b ρ ( x ) l i ( x ) d x {A_i= \int_{ a }^{b} \rho(x)l_i(x) \mathrm dx } Ai=∫abρ(x)li(x)dx， i = 1 , 2 , ⋯ , n { i=1,2,\cdots,n } i=1,2,⋯,n， l i {l_i} li 为拉格朗日基函数
[!example]-
求计算积分 ∫ − 1 1 x 2 f ( x ) d x { \int_{ -1 }^{1} x^2f(x) \mathrm dx} ∫−11x2f(x)dx 的两点Gauss公式。
解：
ρ ( x ) = x 2 , n = 2 \rho(x)=x^2, n=2 ρ(x)=x2,n=2
首先按Schmidt正交化求出正交多项式：
P 0 ( x ) = 1 P 1 ( x ) = x − ( x , P 0 ( x ) ) ( P 0 ( x ) , P 0 ( x ) ) P 0 ( x ) = x − ∫ − 1 1 x 3 d x ∫ − 1 1 x 2 d x = x P 2 ( x ) = x 2 − ( x 2 , P 0 ( x ) ) ( P 0 ( x ) , P 0 ( x ) ) P 0 ( x ) − ( x 2 , P 1 ( x ) ) ( P 1 ( x ) , P 1 ( x ) ) P 1 ( x ) = x 2 − ∫ − 1 1 x 4 d x ∫ − 1 1 x 2 d x − ∫ − 1 1 x 5 d x ∫ − 1 1 x 4 d x x = x 2 − 3 5 \begin{align*} P_0(x)=&1 \\ \\ P_1(x)=&x- \frac{(x,P_0(x))}{(P_0(x),P_0(x))}P_0(x)=x- \frac{\int_{ -1 }^{1} x^3 \mathrm dx}{\int_{ -1 }^{1} x^2 \mathrm dx}=x \\ \\ P_2(x)=&x^2- \frac{(x^2,P_0(x))}{(P_0(x),P_0(x))}P_0(x)-\frac{(x^2,P_1(x))}{(P_1(x),P_1(x))}P_1(x) \\ \\ =&x^2- \frac{\int_{ -1 }^{1} x^4 \mathrm dx}{\int_{ -1 }^{1} x^2 \mathrm dx}- \frac{\int_{ -1 }^{1} x^5 \mathrm dx}{\int_{ -1 }^{1} x^4 \mathrm dx}x=x^2- \frac{3}{5} \end{align*} P0(x)=P1(x)=P2(x)==1x−(P0(x),P0(x))(x,P0(x))P0(x)=x−∫−11x2dx∫−11x3dx=xx2−(P0(x),P0(x))(x2,P0(x))P0(x)−(P1(x),P1(x))(x2,P1(x))P1(x)x2−∫−11x2dx∫−11x4dx−∫−11x4dx∫−11x5dxx=x2−53
再令 P 2 ( x ) = 0 {P_2(x)=0} P2(x)=0 求出Gauss点：
x 1 = − 3 5 , x 2 = 3 5 x_1=-\sqrt{\frac{3}{5}} \,\,,\,\, x_2=\sqrt{\frac{3}{5}} x1=−53,x2=53
最后计算求积系数：
A 1 = ∫ − 1 1 x 2 l 1 ( x ) d x = ∫ − 1 1 x 2 x − x 2 x 1 − x 2 d x = 1 3 A 2 = ∫ − 1 1 x 2 l 2 ( X ) d x = ∫ − 1 1 x 2 x − x 1 x 1 − x 2 d x = 1 3 \begin{align*} A_1=& \int_{ -1 }^{1} x^2l_1(x) \mathrm dx= \int_{ -1 }^{1} x^2 \frac{x-x_2}{x_1-x_2} \mathrm dx= \frac{1}{3}\\ \\ A_2=& \int_{ -1 }^{1} x^2l_2(X) \mathrm dx= \int_{ -1 }^{1} x^2 \frac{x-x_1}{x_1-x_2} \mathrm dx= \frac{1}{3} \end{align*} A1=A2=∫−11x2l1(x)dx=∫−11x2x1−x2x−x2dx=31∫−11x2l2(X)dx=∫−11x2x1−x2x−x1dx=31
所以两点Gauss公式为
∫ − 1 1 x 2 f ( x ) d x ≈ 1 3 [ f ( − 3 5 ) + f ( 3 5 ) ] \int_{ -1 }^{1} x^2f(x) \mathrm dx \approx \frac{1}{3}[f(- \sqrt{\frac{3}{5}})+f(\sqrt{\frac{3}{5}})] ∫−11x2f(x)dx≈31[f(−53)+f(53)]
4.1 Gauss-legendre勒让德求积公式
区间
[
−
1
,
1
]
{[-1,1]}
[−1,1] ，权函数
ρ
(
x
)
=
1
{\rho(x)=1}
ρ(x)=1 。
Gauss求积公式中在区间
[
−
1
,
1
]
{[-1,1]}
[−1,1] 上权函数为
1
{1}
1 的Gauss点其实是确定的，所以可以通过把待求区间伸缩变换到
[
−
1
,
1
]
{[-1,1]}
[−1,1] 间，再通过Gauss求积公式求解。
一点Gauss求积公式
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
2
f
(
0
)
\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx 2f(0)
∫−11f(x)dx≈2f(0)
两点Gauss求积公式
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
f
(
−
1
3
)
+
f
(
1
3
)
\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx f(- \frac{1}{\sqrt{3}})+f(\frac{1}{\sqrt{3}})
∫−11f(x)dx≈f(−31)+f(31)
三点Gauss求积公式
∫
−
1
1
f
(
x
)
d
x
≈
5
9
f
(
−
3
5
)
+
8
9
f
(
0
)
+
5
9
f
(
3
5
)
\int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx \frac{5}{9} f(- \sqrt{\frac{3}{5}})+ \frac{8}{9}f(0) +\frac{5}{9}f(\sqrt{\frac{3}{5}})
∫−11f(x)dx≈95f(−53)+98f(0)+95f(53)
任意区间的三点高斯求积公式：
∫
a
b
f
(
x
)
d
x
≈
(
b
−
a
)
2
(
5
9
f
(
(
a
+
b
)
2
−
3
5
(
b
−
a
)
2
)
+
8
9
f
(
(
a
+
b
)
2
)
+
5
9
f
(
(
a
+
b
)
2
+
3
5
(
b
−
a
)
2
)
)
\int_{ a }^{b} f(x) \mathrm dx \approx \frac{(b-a)}{2} \bigg( \frac{5}{9} f(\frac{(a+b)}{2} - \sqrt{\frac{3}{5}}\frac{(b-a)}{2})+ \frac{8}{9}f(\frac{(a+b)}{2}) +\frac{5}{9}f(\frac{(a+b)}{2} + \sqrt{\frac{3}{5}}\frac{(b-a)}{2}) \bigg)
∫abf(x)dx≈2(b−a)(95f(2(a+b)−532(b−a))+98f(2(a+b))+95f(2(a+b)+532(b−a)))
matlab实现
%% 三点高斯勒让德求积公式
% 输入函数，积分上界，积分下界
function I = gaussL3P(f,a,b)
x = (a+b)/2+(b-a)/2*[-sqrt(0.6) 0 sqrt(0.6)];
I = (b-a)/2*f(x)*[5 8 5]'/9;
end
四点Gauss求积公式
高斯点
:
±
0.8611363
,
高斯系数
:
0.3478548
高斯点:\pm0.8611363 \,\,,\,\, 高斯系数:0.3478548
高斯点:±0.8611363,高斯系数:0.3478548
高斯点
:
±
0.3399810
,
高斯系数
:
0.6521452
高斯点:\pm0.3399810 \,\,,\,\, 高斯系数:0.6521452
高斯点:±0.3399810,高斯系数:0.6521452
[!example]-
已知三点Gauss公式
∫ − 1 1 f ( x ) d x ≈ 5 9 f ( 0.6 ) + 8 9 f ( 0 ) + 5 9 f ( − 0.6 ) \int_{ -1 }^{1} f(x) \mathrm dx \approx \frac{5}{9}f(\sqrt{0.6})+ \frac{8}{9}f(0)+ \frac{5}{9}f(- \sqrt{0.6}) ∫−11f(x)dx≈95f(0.6)+98f(0)+95f(−0.6)
试用如上公式计算 ∫ 0.5 1 x d x { \int_{ 0.5 }^{1} \sqrt{x} \mathrm dx} ∫0.51xdx 的值。
解：换限，设
t = a x + b t=ax+b t=ax+b
{ 0.5 a + b = − 1 a + b = 1 ⇒ { a = 4 b = − 3 \begin{cases} 0.5a+b=-1 \\ \\ a+b=1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=4 \\ \\ b=-3 \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧0.5a+b=−1a+b=1⇒⎩ ⎨ ⎧a=4b=−3
∫ 0.5 1 f ( x ) d x = 1 4 ∫ − 1 1 f ( t + 3 4 ) d t ≈ 1 4 [ 5 9 f ( 0.6 + 3 4 ) + 8 9 f ( 0 + 3 4 ) + 5 9 f ( − 0.6 + 3 4 ) ] = 1 4 [ 5 9 0.6 + 3 4 + 8 9 0 + 3 4 + 5 9 − 0.6 + 3 4 ] = 0.4310 \begin{align*} \int_{ 0.5 }^{1} f(x) \mathrm dx=& \frac{1}{4} \int_{ -1 }^{1} f(\frac{t+3}{4}) \mathrm dt \\ \\ \approx& \frac{1}{4}[\frac{5}{9} f(\frac{\sqrt{0.6}+3}{4})+ \frac{8}{9}f(\frac{0+3}{4}) + \frac{5}{9}f(\frac{- \sqrt{0.6}+3}{4}) ] \\ \\ =&\frac{1}{4}[\frac{5}{9} \sqrt{\frac{\sqrt{0.6}+3}{4}}+ \frac{8}{9}\sqrt{\frac{0+3}{4}} + \frac{5}{9}\sqrt{\frac{- \sqrt{0.6}+3}{4}} ] \\ \\ =&0.4310 \end{align*} ∫0.51f(x)dx=≈==41∫−11f(4t+3)dt41[95f(40.6+3)+98f(40+3)+95f(4−0.6+3)]41[9540.6+3+9840+3+954−0.6+3]0.4310
4.2 变形的Gauss型求积公式
Gauss-Laguerre拉盖尔求积公式
区间
[
0
,
+
∞
)
{[0,+\infty)}
[0,+∞) ，权函数
ρ
(
x
)
=
e
−
x
{\rho(x)=e^{-x}}
ρ(x)=e−x
Gauss-Hermite求积公式
两点Gauss-Hermite求积公式
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
f
(
x
)
d
x
≈
π
2
f
(
−
2
2
)
+
π
2
f
(
2
2
)
\int_{ -\infty }^{+\infty} e^{-x^2}f(x) \mathrm dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{2} f(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{\sqrt{\pi}}{2} f(\frac{\sqrt{2}}{2})
∫−∞+∞e−x2f(x)dx≈2πf(−22)+2πf(22)
三点Gauss-Hermite求积公式
∫
−
∞
+
∞
e
−
x
2
f
(
x
)
d
x
≈
π
6
f
(
−
6
2
)
+
2
π
3
f
(
0
)
+
π
6
f
(
6
2
)
\int_{ -\infty }^{+\infty} e^{-x^2}f(x) \mathrm dx \approx \frac{\sqrt{\pi}}{6} f(-\frac{\sqrt{6}}{2})+ \frac{2 \sqrt{\pi}}{3} f(0)+\frac{\sqrt{\pi}}{6} f(\frac{\sqrt{6}}{2})
∫−∞+∞e−x2f(x)dx≈6πf(−26)+32πf(0)+6πf(26)
区间 ( − ∞ , + ∞ ) {(-\infty,+\infty)} (−∞,+∞) ，权函数 ρ ( x ) = e − x 2 {\rho(x)=e^{-x^2}} ρ(x)=e−x2
