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  • • 问题描述
    • • 图的$m$可着色判定问题
      • 图的$m$可着色优化问题
      • 四色猜想
    • 回溯法
    • 时间复杂性
    • `Python`实现

个人主页：丷从心

系列专栏：回溯法

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问题描述

图的$m$可着色判定问题

• 给定无向连通图$G$和$m$种不同的颜色，用这些颜色为图$G$的各顶点着色，每个顶点着一种颜色，是否有一种着色法，使$G$中每条边的$2$个顶点着有不同颜色

图的$m$可着色优化问题

• 若一个图最少需要$m$种颜色才能使图中每条边连接的$2$个顶点着不同颜色，则称这个数$m$为该图的色数
• 求一个图的色数$m$的问题称为图的$m$可着色优化问题

四色猜想

• 如果一个图的所有顶点和边都能用某种方式画在平面上且没有任何两边相交，则称这个图是可平面图
• 四色猜想：在一个平面或球面上的任何地图能够只用$4$种颜色来着色，使相邻的国家在地图上着不同颜色
• 假设每个国家在地图上是单连通域，还假设两个国家相邻是指这两个国家有一段长度不为$0$的公共边界，而不仅有一个公共点，这样的地图容易用平面图表示，地图上的每个区域相应平面图中一个顶点，两个区域在地图上相邻，它们在平面图中相应的$2$个顶点之间有一条边相连

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回溯法

• 用图的邻接矩阵$a$表示无向连通图$G=(V,E)$，若$(i,j)$属于图$G=(V,E)$的边集$E$，则$a[i][j]=1$，否则$a[i][j]=0$，整数$1$，$2$，$\cdots$，$m$用来表示$m$种不同颜色，顶点$i$所着的颜色用$x[i]$表示，数组$x[1:n]$是问题的解向量
• 问题的解空间可表示为一棵高度为$n$的完全$m$叉树，解空间树的第$i(0\le i\le n-1)$层中每个结点都有$m$个儿子，每个儿子相应于$x[i]$的$m$个可能的着色之一，第$n$层结点均为叶结点
• 当$i=n$时，算法搜索至叶结点，得到新的$m$着色方案，当前找到的可$m$着色方案数$sum$增$1$
• 当$i<n$时，当前扩展结点$Z$是解空间中的内部结点，该结点有$m$个儿子结点$x[i]$，对当前扩展结点$Z$的每个儿子结点，由约束函数检查其可行性，并以深度优先的方式递归地对可行子树搜索，或剪去不可行子树

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时间复杂性

• 图$m$可着色问题的解空间树中内结点个数是$\sum _{i=0}^{n-1}{m}^i$，对于每个内结点，在最坏情况下，用约束函数检查当前扩展结点的每个儿子所对应的颜色的可用性需耗时$O(mn)$
• 因此，回溯法总的时间耗费是$(mn)\sum _{i=0}^{n-1}{m}^i=n\times m(m^n-1)/(m-1)=O(n{m}^n)$

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Python实现

def count_graph_coloring(graph, m):
    n = len(graph)
    colors = [-1] * n
    count = 0

    def is_valid(colors, vertex, color):
        # 约束函数: 检查给定顶点的着色是否满足约束条件(与相邻顶点的颜色不重复)
        for i in range(n):
            if graph[vertex][i] and colors[i] == color:
                return False

        return True

    def backtrack(colors, vertex):
        nonlocal count

        if vertex == n:
            count += 1
            print(colors)

            return

        for color in range(m):
            if is_valid(colors, vertex, color):
                colors[vertex] = color

                backtrack(colors, vertex + 1)

                colors[vertex] = -1

    backtrack(colors, 0)

    return count


graph = [
    [0, 1, 1, 1],
    [1, 0, 1, 0],
    [1, 1, 0, 1],
    [1, 0, 1, 0]
]

m = 3

print('满足条件的着色方案如下:')

coloring_count = count_graph_coloring(graph, m)

print(f'着色方案数: {coloring_count}')

满足条件的着色方案如下:
[0, 1, 2, 1]
[0, 2, 1, 2]
[1, 0, 2, 0]
[1, 2, 0, 2]
[2, 0, 1, 0]
[2, 1, 0, 1]
着色方案数: 6

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