Ch4.不定积分

原函数$F(x)$

原函数F(x)定义：若有F’(x)=f(x)，则称f(x)的原函数为F(x)。

原函数存在定理

f(x)连续，则必有原函数F(x)

不定积分$\int f(x)dx$

$\int f(x)dx=F(x)+C$

所以说不定积分要加C，不带C的那叫求 原函数F(x)。题目要的是不定积分，∫f(x)dx=F(x)+C

不定积分公式

1.$\int \sec x\mathrm{d}x=\ln |\sec x+\tan x|+C$

2.$\int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|+C$

推导：

1.凑微分凑到巅峰造极
$\int \sec xdx=\int \frac{secx(secx+tanx)}{secx+tanx}dx=\int \frac{secxtanx+se{c}^{2}x}{secx+tanx}dx\underset{(secx{)}^{\prime }=secxtanx}{\overset{(tanx{)}^{\prime }=se{c}^{2}x}{=}}\ln |secx+tanx|+C$

2.拆两项
$\int \frac{1}{1-x^2}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{1+x}+\frac{1}{1-x}dx=\frac{1}{2}[\ln |1+x|-\ln |1-x|+C]=\frac{1}{2}\ln |\frac{1+x}{1-x}|+C$

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例题1：11年9.

答案：$\ln (1+\sqrt{2})$

例题2：22年18.

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不定积分 ⇦⇨ 变上限积分：$\int f(x)\mathrm{d}x={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$

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例题1：18年18.(2)   微分方程、周期函数的定义

分析：为了凑周期函数的定义，将不定积分转化为变上限积分

答案：

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Ch5.定积分

1.定积分定义

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\Delta x_i$$
将[0,1]n等分，得：$${\int }_0^{1}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\cdot \frac{1}{n}$$

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例题1：10年4.   二重积分的定义

分析：
定积分、二重积分的定义都是0到1上的积分，排除AB
下面提出n×n²，与上面n约分得1/n²，应该选D

答案：D

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定积分的几何意义

2.定积分性质

定积分的保号性

如果在区间$[a,b]$上 $f(x)\ge 0$，那么
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\ge 0(a<b)$$
推论1：如果在区间$[a,b]$上 $f(x)\le g(x)$，那么
$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}g(x)\mathrm{d}x$$
即若积分区间相同，只需要比较在此区间内被积函数的大小，即为该区间上定积分的大小关系。

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例题1：11年4.   定积分的保号性

分析：

答案：B

例题2：18年4.

分析：积分区间都是$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$，只需比较该区间上被积函数的大小即可。

$f_M(x)=1,f_N(x)=\frac{1+x}{e^x}，f_K(x)=1+\sqrt{cosx}$

显然，当$-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$时，$1+\sqrt{cosx}>1>\frac{1+x}{e^x}$

答案：C

例题3：19年18.

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定积分中值定理

定积分中值定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，那么在[a,b]上至少存在一个点ξ使下式成立：
$$\begin{gathered} {\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)(a\le \xi \le b) \\ f(\xi )=\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}(a\le \xi \le b) \end{gathered}$$
②式称为函数f(x)在区间[a,b]上的平均值

定积分中值定理与拉格朗日中值定理的关系：
设f(x)为F(x)的导函数，F(x)在[a,b]上连续，f(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，则在区间(a,b)内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使等式
$$f(\xi )\underset{中值定理}{\overset{定积分}{=}}\frac{{\int }_a^{b}f(x)dx}{b-a}\underset{公式}{\overset{牛莱}{=}}\frac{F(b)-F(a)}{b-a}\underset{中值定理}{\overset{拉格朗日}{=}}{F}^{\prime }(\xi )$$

3.定积分的计算方法

1.凑微分

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例题1：09年11.   定积分的计算：凑微分

分析：

答案：$\frac{13}{6}$

2.换元法

1.换元要换上下限
2.整体代换

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例题1：23李林四(一)11.   换元法求定积分：整体代换

分析：

答案：$\frac{2\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

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三角换元

有根式（如$\sqrt{1-x^2}$），一般考虑三角换元：令 $x=sint$，则$\sqrt{1-x^2}=\sqrt{1-{\sin }^{2}t}=\cos t$

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例题1：19年18.

例题2：12年10.   ①换元法 ②奇偶性 ③三角代换/定积分几何意义

分析：
${\int }_0^{2}x\sqrt{2x-x^2}\mathrm{d}x={\int }_0^{2}x\sqrt{1-(x-1{)}^2}\mathrm{d}x$
令t=x-1 $={\int }_{-1}^1(t+1)\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t={\int }_{-1}^{1}t\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t+{\int }_{-1}^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=$(奇偶性)$2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t$

①定积分几何意义：$2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=2\times \frac{\pi \times 1^2}{4}=\frac{\pi }{2}$

②三角代换：令t=sinθ， $2{\int }_0^1\sqrt{1-t^2}\mathrm{d}t=2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}cos\theta \cdot cos\theta \mathrm{d}\theta =2{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}co{s}^2\theta \mathrm{d}\theta =$(点火公式) $=2\times \frac{1}{2}\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2}$

答案：$\frac{\pi }{2}$

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3.分部积分

分部积分公式、原则

1.分布积分公式：$\int u{v}^{\prime }dx=\int udv=uv-\int vdu=uv-\int v{u}^{\prime }dx$

2.分部积分原则：提到后面的v的顺序：三指幂对反 （反对幂指三是指u的优先级）

表格法

表格法适用于求3种不定积分：幂×对、幂×三角、三角×对
1.$\int x^n\cdot e^{\alpha x}dx$
2.$\int x^n\cdot sinax$
3.$\int sinx\cdot e^{\alpha x}$

2.求法：
上面u微分，下面v积分

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例题1:求$\int e^{x}cosxdx$

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含变限积分f(x)的定积分：用分部积分凑f(x)的导数

分部积分的一个重要特点：能凑出导数

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例题1：13年15.   求含变限积分的定积分：用分部积分凑导数

答案：$-4ln2+8-2\pi$

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4.区间再现

1.区间再现是什么：令$x=a+b-t$，则$f(x)=f(a+b-t)$，则${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{b}f(a+b-t)dt$

2.应用场景：区间再现通常用的情况：①积分区间不变的变量代换 ②被积函数的原函数不易求出

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例题1：

区间再现，令t=1-u (令u=1-t)

例题2：

答案：

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5.求定积分的公式

1.牛顿-莱布尼茨公式

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=F(b)-F(a)=F(x){|}_a^b$$

2.点火公式/华里士公式/Wallis公式：

n为奇数时，最后一项是$\frac{2}{3}$

n为偶数时，最后两项是$\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}$

函数图像生成网站
可以发现，$si{n}^{n}x$ 的一个蘑菇的宽度(一股的跨度)一直是π。n为偶数时是偶函数，n为奇数时是奇函数。

4.变限积分

1.变限积分求导

变限积分求导公式：$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)$

用积分上限替换被积变量，并对积分上限再求一次导。

注意，替换时要求被积变量是干净的，不含其他字母的，否则要分两项或者换元。
①若仅仅是加减法，则可以分两项
②若是幂、括号内的自变量不干净，一般需要换元

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例题1：23李林六套卷(五)11.   括号内自变量不干净：换元

分析：①换元(换元要换上下限) ②区间变换

答案：0

例题2：20年12.   积分上限函数、二元混合偏导

分析：
$\frac{\partial f}{\partial y}=e^{x(xy{)}^2}\cdot x=x{e}^{x^3{y}^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial (\frac{\partial f}{\partial y})}{\partial x}=e^{x^3{y}^2}+x{e}^{x^3{y}^2}\cdot y^{2}3x^2=(1+3x^3{y}^2)e^{x^3{y}^2}$

$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}{|}_{(1,1)}=(1+3x^3{y}^2)e^{x^3{y}^2}{|}_{(1,1)}=(1+3)e=4e$

答案：4e

例题3：10年16.

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2.变限积分的连续性与可导性

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例题1：23李林六套卷(一)2.

分析：
(法一)变限积分的可导性

f在除x₀点处均连续，则
若x₀点连续、可去间断点，则f的变限积分可导
若x₀点跳跃间断点，则f的变限积分连续不可导

f是分段函数，a决定了f是连续的还是跳跃间断点，因此f的变限积分的可导性取决于a

(法二)导数定义

答案：D

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5. 广义积分/反常积分

1.无穷限的广义积分

广义积分的计算

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2.无界函数的反常积分 / 瑕积分

瑕积分的计算不难，要仔细地分离出有限部分和带瑕点的部分，后者用极限求出，常用洛必达。注意不要抄错。

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例题1：23李林六套卷(三)12.

答案：

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3.反常积分的审敛法

1.极限审敛法

反常积分收敛：瑕点 p<1，无穷p>1

2.比较审敛法

同济上册P262-267

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例题1：16年1.

分析：反常积分收敛：瑕点 p<1，无穷p>1

答案：C

例题2：10年3.  无界函数的反常积分审敛法

答案：D

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6.Γ函数

$\Gamma (n+1)={\int }_0^{+\infty }{x}^n\cdot e^{-x}dx=n!$

Ch6.定积分应用

定积分的几何应用

1.平面图形的面积
2.旋转体体积
3.平面曲线的弧长

注意：若是f(x)带有sinx，则需要分区间讨论，无穷多个区间，需要用无穷级数。而不能直接在[0,+∞)上积分

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例题1：19年17.

分析：

答案：$\frac{1}{2}+\frac{1}{e^{\pi }-1}$

例题2：23李林四(四)11.

分析：

答案：$\frac{\pi }{5(1-e^{-2\pi })}$

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定积分的物理应用

0.速度与路程

面积是路程

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例题1：17年4.

分析：
①交点是速度相等
②积分面积相等才是路程相等，注意甲多出来10m的路程
∴t=25时，S=10+10-20=0

答案：C

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1.变力做功

2.水压力

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例题1:23李林六套卷(四)12.

答案：

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3.引力

Ch7.微分方程

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