1 量化的介绍

量化是减少神经网络计算时间和能耗的最有效的方法之一。在神经网络量化中，权重和激活张量存储在比训练时通常使用的16-bit或32-bit更低的比特精度。当从32-bit降低到8-bit，存储张量的内存开销减少了4倍，矩阵乘法的计算成本则二次地减少了16倍。
神经网络已被证明对量化具有鲁棒性，这意味着它们可以被量化到较低的位宽，而对网络精度的影响相对较小。然而，神经网络的量化并不是自由的。低位宽量化会给网络带来噪声，从而导致精度的下降。虽然一些网络对这种噪声具有鲁棒性，但其他网络需要额外的工作来利用量化的好处。

量化实际上是将FLOAT32（32位浮点数）的参数量化到更低精度，精度的变化并不是简单的强制类型转换，而是为不同精度数据之间建立一种数据映射关系，最常见的就是定点与浮点之间的映射关系，使得以较小的精度损失代价得到较好的收益。

2 均匀仿射量化

均匀仿射量化也称为非对称量化，定义如下：
$s$：放缩因子（scale factor）/量化步长（step size），是浮点数
$z$：零点（zero-point），是整数，保证真实的0不会有量化误差，对ReLU和zero-padding很重要
$b$：位宽（bit-width），是整数，比如2, 4, 6, 8
$s$和$z$的作用是将浮点数转化为整数，范围由b来定

1）将真实输入的浮点数$x$转化为无符号整数：
${\mathbf{x}}_{int}=\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil +z;0,2^b-1)$

截断/四舍五入函数的定义：
$\mathrm{clamp}(x;a,c)=\{\begin{array}{l}a,x<a,\\ x,a\le x\le b,\\ b,x>c.\end{array}$

2）反量化（de-quantization）近似真实的输入$\mathbf{x}$：
$\mathbf{x}\approx \hat{\mathbf{x}}=s({\mathbf{x}}_{int}-z)$

结合以上1）2）步骤，得到如下量化函数的普遍定义：
$\hat{\mathbf{x}}=q(\mathbf{x};s,z,b)=s(\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil +z;0,2^b-1)-z)$

可以发现，量化函数包含了1）中的“浮点转整数”以及“反量化近似浮点”两个过程，这个过程通常被称为 伪量化（fake quantization）操作。
对伪量化的理解：把输入的浮点数据量化到整数，再反量化回 浮点数，以此来模拟量化误差，同时在反向传播的时候，采用Straight-Through-Estimator (STE)把导数回传到前面的层。

由上面的公式，有两个误差概念：
1） 截断误差（clipping error）：浮点数$x$超过量化范围时，会被截断，产生误差
2）舍入误差（rounding error）：在做$\lfloor \cdot \rceil$时，会产生四舍五入的误差，误差范围在$[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$
为了权衡两种误差，就需要设计合适的s和z，而它们依赖于量化范围和精度。

根据反量化过程，我们设 整数格 上的最大和最小值分别是$Q_P=q_{max}/s,Q_N=q_{min}/2$，量化值（浮点） 范围为$(q_{min},q_{max})$，其中$q_{min}=s{Q}_P=s(0-z)=-sz,q_{max}=s{Q}_N=s(2^b-1-z)$。$\mathbf{x}$超过这个范围会被截断，产生截断误差，如果希望减小截断误差，可以增大s的值，但是增大s会增大舍入误差，因为舍入误差的范围是$[-\frac{1}{2}s,\frac{1}{2}s]$。

怎么计算放缩因子$s$？
$$s=\frac{q_{max}-q_{min}}{2^b-1}.$$

2.1 对称均匀量化

对称均匀量化是上面非对称量化的简化版，限制了放缩因子$z=0$，但是偏移量的缺失限制了整数和浮点域之间的映射。

反量化（de-quantization）近似真实的输入$\mathbf{x}$：
$x\approx \hat{x}=s{\mathbf{x}}_{int}$

将真实输入的浮点数$x$转化为无符号整数：
${\mathbf{x}}_{int}=\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil ;0,2^b-1)$

将真实输入的浮点数$x$转化为有符号整数：
${\mathbf{x}}_{int}=\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil ;-2^b,2^b-1)$

坐标轴上方（蓝色）表示整数量化格，下方（黑色）表示浮点格。可以很清楚地看到，放缩因子$s$就是量化的步长（step size），$s{\mathbf{x}}_{int}$是反量化近似真实浮点数。

2.2 Power-of-two量化（2的幂）

Power-of-two量化是对称量化的特例，放缩因子被限制到2的幂，$s=2^{-k}$，这对硬件是高效的，因为放缩$s$相当于简单的比特移位操作（bit-shifting）。

2.3 量化的粒度

1）Per-tensor（张量粒度）：神经网络中最常用，硬件实现简单，累加结果都用同样的放缩因子$s_w{s}_x$
2）Per-channel（通道粒度）：更细粒度以提升模型性能，比如对于权重的不同输出通道采用不同的量化
3）Per-group（分组粒度）

3 量化模拟过程/伪量化

量化模拟：为了测试神经网络在量化设备上的运行效果，我们经常在用于训练神经网络的相同通用硬件上模拟量化行为。
我们的目的：使用浮点硬件来近似的定点运算。
优势：与在实际的量化硬件上实验或在使用量化的卷积核上实验相比，这种模拟明显更容易实现

（a）在设备推理过程中，对硬件的所有输入（偏置、权重和输入激活）都是定点格式
（b）然而，当我们使用通用的深度学习框架和通用硬件来模拟量化时，这些量都是以浮点格式表示的。这就是为什么我们在计算图中引入量化器块来诱导量化效应的原因

值得注意的是：
1）每个量化器都由一组量化参数（放缩因子、零点、位宽）来定义
2）量化器的输入和输出都是浮点格式，但输出都在量化网格上
3）每个量化器都由该公式计算：$\hat{\mathbf{x}}=q(\mathbf{x};s,z,b)=s(\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil +z;0,2^b-1)-z)$，也就是包含了反量化过程
4）模拟量化实际上还是在浮点数上计算，模拟的其实是（截断与舍入）误差

4 基于STE的反向传播优化过程

严峻的优化问题：量化公式中中的round函数的梯度要么为零，要么到处都不定义，这使得基于梯度的训练不可能进行。一种解决方案就是采用straight-through estimator (STE）方法将round函数的梯度近似为1:
$$\frac{\partial \lfloor y\rceil }{\partial y}=1$$

于是，量化的梯度就可求了，现对输入$\mathbf{x}$进行求导：
$$\begin{gathered} \frac{\partial \hat{\mathbf{x}}}{\partial \mathbf{x}}=\frac{\partial q(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} \\ =\frac{\partial \mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil ;Q_N,Q_P)s}{\partial \mathbf{x}} \\ =\{\begin{array}{l}s\frac{\partial Q_N}{\partial \mathbf{x}}=0,\mathbf{x}<q_{min},\\ s\frac{\partial \lfloor \mathbf{x}/s\rceil }{\partial \mathbf{x}}=s\frac{\partial \lfloor \mathbf{x}/s\rceil }{\partial (\mathbf{x}/s)}\frac{\partial (\mathbf{x}/s)}{\partial \mathbf{x}}=s\cdot 1\cdot \frac{1}{s}=1,q_{min}\le x\le q_{max},\\ s\frac{\partial Q_P}{\partial \mathbf{x}}=0,x>q_{max}.\end{array} \\ =\{\begin{array}{l}0,\mathbf{x}<q_{min},\\ 1,q_{min}\le \mathbf{x}\le q_{max},\\ 0,\mathbf{x}>q_{max}.\end{array} \end{gathered}$$
也就是说，根据STE方法，当输入$\mathbf{x}$在量化范围内时，其量化值对真实浮点值的梯度为1，反之为0。
对$s$求导的数学推导过程如下文中LSQ工作所示。
下图展示了基于STE的反向传播过程，计算时有效跳过了量化器。

5 经典量化工作

Learned Step Size Quantization (ICLR 2020)

顾名思义，LSQ这篇文章就是在上述介绍的伪量化中引入可学习/训练的放缩因子$s$。
设clamp的在 整数格 上的最大和最小值分别是$Q_P=q_{max}/s,Q_N=q_{min}/2$。

$$\begin{gathered} \hat{x}=s(\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil ;Q_N,Q_P)) \\ =\{\begin{array}{l}s{Q}_N,\frac{\mathbf{x}}{s}<Q_N,\\ s\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil ,Q_N\le \frac{\mathbf{x}}{s}\le Q_P,\\ s{Q}_P,\frac{\mathbf{x}}{s}>Q_P.\end{array} \end{gathered}$$

$\hat{\mathbf{x}}$对$s$求导有：
$\frac{\partial \hat{\mathbf{x}}}{\partial s}=\{\begin{array}{l}{Q}_N,\frac{\mathbf{x}}{s}<Q_N,\\ \lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil +s\frac{\partial \lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil }{\partial s},Q_N\le \frac{\mathbf{x}}{s}\le Q_P,\\ Q_P,\frac{\mathbf{x}}{s}>Q_P.\end{array}$
其中，$Q_N,Q_P,\lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil$都可以直接得到，但是$s\frac{\partial \lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil }{\partial s}$就不那么好算了。

根据STE，将round函数梯度近似为一个直通操作：
$s\frac{\partial \lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil }{\partial s}=s\frac{\partial \frac{\mathbf{x}}{s}}{\partial s}=-s\frac{\mathbf{x}}{s^2}=-\frac{\mathbf{x}}{s}$

于是，得到LSQ原文中的导数值：
$\frac{\partial \hat{\mathbf{x}}}{\partial s}=\{\begin{array}{l}{Q}_N,\frac{\mathbf{x}}{s}<Q_N,\\ \lfloor \frac{\mathbf{x}}{s}\rceil -\frac{\mathbf{x}}{s},Q_N\le \frac{\mathbf{x}}{s}\le Q_P,\\ Q_P,\frac{\mathbf{x}}{s}>Q_P.\end{array}$

在LSQ中，每层的权重和激活值都有不同的$s$，被初始化为$\frac{2⟨|\mathbf{x}|⟩}{\sqrt{Q_P}}$。

计算$s$的梯度时，还需要兼顾模型权重的梯度，二者差异不能过大，LSQ定义了如下比例：
$R=\frac{{\nabla }_{s}L}{s}/\frac{||{\nabla }_{w}L||}{||w||}\to 1$。
为了保持训练的稳定，LSQ在$s$的梯度上还乘了一个梯度缩放系数$g$，对于权重，$g=1/\sqrt{N_W{Q}_P}$，对于激活，$g=1/\sqrt{N_F{Q}_P}$。其中，$N_W$是一层中的权重的大小，$N_F$是一层中的特征的大小。

代码实现
参考：LSQuantization复现

import torch
import torch.nn.functional as F
import math
from torch.autograd import Variable

class FunLSQ(torch.autograd.Function):
    @staticmethod
    def forward(ctx, weight, alpha, g, Qn, Qp):
        assert alpha > 0, 'alpha = {}'.format(alpha)
        ctx.save_for_backward(weight, alpha)
        ctx.other = g, Qn, Qp
        q_w = (weight / alpha).round().clamp(Qn, Qp)  # round+clamp将FP转化为int
        w_q = q_w * alpha  # 乘scale重量化回FP
        return w_q

    @staticmethod
    def backward(ctx, grad_weight):
        weight, alpha = ctx.saved_tensors
        g, Qn, Qp = ctx.other
        q_w = weight / alpha
        indicate_small = (q_w < Qn).float()
        indicate_big = (q_w > Qp).float()
        indicate_middle = torch.ones(indicate_small.shape).to(indicate_small.device) - indicate_small - indicate_big
        grad_alpha = ((indicate_small * Qn + indicate_big * Qp + indicate_middle * (
                -q_w + q_w.round())) * grad_weight * g).sum().unsqueeze(dim=0)  # 计算s梯度时的判断语句
        grad_weight = indicate_middle * grad_weight
        return grad_weight, grad_alpha, None, None, None

nbits = 4
Qn = -2 ** (nbits - 1)
Qp = 2 ** (nbits - 1) - 1
g = 1.0 / 2

2 LSQ+: Improving low-bit quantization through learnable offsets and better initialization (CVPR 2020)

LSQ+和LSQ非常相似，就放在一起讲了。LSQ在LSQ+的基础上，引入了可学习的offset，也就是零点$z$，其定义如下：
${\mathbf{x}}_{int}=\mathrm{clamp}(\lfloor \frac{\mathbf{x}-\beta }{s}\rceil ;Q_N,Q_P)$
$\hat{\mathbf{x}}=s{\mathbf{x}}_{int}+\beta$
然后按照LSQ的方式对$s,\beta$求偏导数进行优化。

3 XNOR-Net: ImageNet Classification Using Binary Convolutional Neural Networks

算是非常早期将二值（1-bit）表示引入神经网络的文章了，本文提出两种近似：

1）Binary-Weight-Network：只有权重是1-bit

对于输入$\mathbf{I}$，我们用二值滤波器 B ∈ { + 1 , − 1 } \mathbf B\in \{+1, -1\} B∈{+1,−1}和一个放缩因子$\alpha$来近似真实浮点滤波器$\mathbf{W}$：$\mathbf{W}\approx \alpha \mathbf{B}$，于是卷积的计算可以近似为：
$$\mathbf{I}\ast \mathbf{W}\approx (\mathbf{I}\oplus \mathbf{B})\alpha$$
如何优化二值权重？我们的目标是找到$\mathbf{W}=\alpha \mathbf{B}$的最优估计，解决如下优化问题：
$$J(\mathbf{B},\alpha )=||\mathbf{W}-\alpha \mathbf{B}|{|}^2{\alpha }^{\ast },{\mathbf{B}}^{\ast }=\mathrm{argmi}{\mathrm{n}}_{\alpha ,\mathbf{B}}J(\mathbf{B},\alpha )$$
展开后得到：

其中，${\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B},{\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{W}$都是常数，因此优化目标集中在第二项${\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{B}$上：

这个优化问题的解可以是使$\mathbf{B}=+1(\mathbf{W}\ge 0),\mathbf{B}=-1(\mathbf{W}<0)$，原因是这样可以保持${\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{B}$取最大值+1。因此，可以得到${\mathbf{B}}^{\ast }=\mathrm{sign}(\mathbf{W})$。
然后，求解放缩因子$\alpha$的最优解，我们用$J$对$\alpha$求偏导数：
$$\frac{\partial J}{\partial \alpha }=2\alpha {\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B}-2{\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{B}$$

当偏导数等于0时，可求解：
$${\alpha }^{\ast }=\frac{{\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{B}}{{\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B}}=\frac{{\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{B}}{n}$$

其中，令$n={\mathbf{B}}^{\top }\mathbf{B}$，此时的$\mathbf{B}$代入${\mathbf{B}}^{\ast }$，于是：
$${\alpha }^{\ast }=\frac{{\mathbf{W}}^{\top }\mathbf{B}}{n}=\frac{{\mathbf{W}}^{\top }\mathrm{sign}(\mathbf{W})}{n}=\frac{\sum |\mathbf{W}|}{n}=\frac{1}{n}||\mathbf{W}|{|}_1$$

其中，$||\cdot |{|}_1$表示${\ell }_1$-norm，即对矩阵中的所有元素的绝对值求和。

总结
二值权重/滤波器的最优估计是权重的符号函数值，放缩因子的最优估计是权重的绝对值平均值。

训练过程
需要注意的是，反向传播计算梯度用的近似的权重$\tilde{W}$，而真正被更新的权重应该是真实的高精度权重$W$。

2）XNOR-Networks：权重和激活值都是1-bit，乘法全部简化为异或计算

二值dot product计算
${\mathbf{X}}^{\top }W\approx \beta {\mathbf{H}}^{\top }\alpha \mathbf{B}$，其中， H , B ∈ { − 1 , + 1 } , β , α ∈ R + \mathbf H, \mathbf B\in \{-1, +1\}, \beta, \alpha\in\mathbb R^+ H,B∈{−1,+1},β,α∈R+，优化目标如下：

令 Y = X W , C ∈ { − 1 , + 1 } , C = H B , γ = α β \mathbf Y=\mathbf X \mathbf W, \mathbf C\in \{-1, +1\}, \mathbf C=\mathbf H \mathbf B, \gamma=\alpha\beta Y=XW,C∈{−1,+1},C=HB,γ=αβ，于是优化目标简化为：

根据Binary-Weight-Network，通过符号函数可以求解最优的二值激活值和权重：

同理，根据，通过${\ell }_1$-norm可以求解最优的放缩因子：

二值卷积计算
对于输入$\mathbf{I}$，首先计算$\mathbf{A}=\frac{\sum |{\mathbf{I}}_{:,:,i}|}{c}$，其中$c$是输入通道数，这个过程计算了跨通道的输入$\mathbf{I}$中元素的绝对值的平均值。然后将$\mathbf{I}$和一个2D滤波器$\mathbf{k}\in {\mathbb{R}}^{w\times h}$做卷积，$\mathbf{K}=\mathbf{A}\ast \mathbf{k},{\mathbf{k}}_{ij}=\frac{1}{wh}$。$\mathbf{K}$中包含了$\mathbf{I}$中左右子张量的放缩因子$\beta$。
于是，卷积的近似计算如下：

其中，$⊛$表示XNOR+bitcount操作。

代码参考：XNOR-Net-PyTorch
符号函数直接通过sign函数实现：

input = input.sign()

参考资料

• 量化训练之可微量化参数—LSQ
• A White Paper on Neural Network Quantization