IS-LM模型：从失衡到均衡的模拟
文章目录
- IS-LM模型：从失衡到均衡的模拟
- @[toc]
-
1
I
S
−
L
M
1 IS-LM
1IS−LM模型
- 2 数值模拟
- 2.1 长期均衡解
- 2.2 政府部门引入
- 2.3 价格水平影响
- 2.4 随机扰动因素
文章目录
- IS-LM模型：从失衡到均衡的模拟
- @[toc]
- 1 I S − L M 1 IS-LM 1IS−LM模型
- 2 数值模拟
- 2.1 长期均衡解
- 2.2 政府部门引入
- 2.3 价格水平影响
- 2.4 随机扰动因素
1 I S − L M 1 IS-LM 1IS−LM模型
I
S
−
L
M
IS-LM
IS−LM是产品市场和货币市场共同均衡时的模型，它由两条曲线构成，分别是
I
S
IS
IS曲线和
L
M
LM
LM曲线。其中
I
S
IS
IS曲线是在产品市场均衡(产品服务供给等于需求、计划支出等于实际支出、计划投资等于储蓄、非计划存货等于0)条件下，均衡实际收入
Y
Y
Y与实际利率
r
r
r之间的反向变化关系；
L
M
LM
LM曲线是在货币市场均衡(货币供给等于货币需求)条件下，均衡实际利率
r
r
r与实际收入
Y
Y
Y之间的正向变化关系。用方程表示为
{
Y
=
C
(
Y
)
+
I
(
r
)
L
(
r
,
Y
)
=
M
/
P
\left\{\begin{array}{l} Y=C(Y)+I(r)\\ L(r,Y)=M/P \end{array}\right.
{Y=C(Y)+I(r)L(r,Y)=M/P
其中
Y
=
C
(
Y
)
+
I
(
r
)
Y=C(Y)+I(r)
Y=C(Y)+I(r)为产品市场均衡条件(计划支出=实际支出)。消费
C
(
Y
)
C(Y)
C(Y)是关于收入
Y
Y
Y的函数，假设是线性的：
C
(
Y
)
=
α
+
β
Y
C(Y)=\alpha+\beta Y
C(Y)=α+βY
其中
β
∈
(
0
,
1
)
\beta\in(0,1)
β∈(0,1)称为边际消费倾向，
α
>
0
\alpha>0
α>0为自主消费，即没有收入时的消费。在资本边际效率不变时，投资
I
(
r
)
I(r)
I(r)是关于利率
r
r
r的递减函数，假设也是线性的：
I
(
r
)
=
e
−
d
r
I(r)=e-dr
I(r)=e−dr
其中
e
>
0
e>0
e>0是自发投资，
d
d
d是投资对利率的敏感程度。于是产品市场均衡条件可记作
Y
=
α
+
β
Y
+
e
−
d
r
Y=\alpha+\beta Y+e-dr
Y=α+βY+e−dr
L
(
r
,
Y
)
L(r,Y)
L(r,Y)为实际货币需求，它是由
L
1
(
Y
)
L_1(Y)
L1(Y)需求和
L
2
(
r
)
L_2(r)
L2(r)需求构成。
L
1
(
Y
)
L_1(Y)
L1(Y)由交易性需求和预防性需求构成，随收入
Y
Y
Y增加而增加，不妨假定为正比例函数
L
1
(
Y
)
=
k
Y
L_1(Y)=kY
L1(Y)=kY
其中
k
k
k表示用于支付日常开支(交易性需求)和未来不确定性(预防性需求)占实际收入的比重。
L
2
(
r
)
L_2(r)
L2(r)需求称为投机性需求，它是关于实际利率的递减函数，假设为负比例函数：
L
2
(
r
)
=
A
−
h
r
L_2(r)=A-hr
L2(r)=A−hr
其中
A
>
0
A>0
A>0是参数，
h
h
h表示
L
2
L_2
L2对利率
r
r
r变化的敏感程度。
M
M
M表示名义货币供给，
P
P
P表示价格水平，
M
/
P
M/P
M/P表示实际货币供给。货币市场均衡条件可以记作
k
Y
+
A
−
h
r
=
M
/
P
kY+A-hr=M/P
kY+A−hr=M/P
我们将上述两个模型重新写在一起
{
Y
=
α
+
β
Y
+
e
−
d
r
k
Y
+
A
−
h
r
=
M
/
P
\left\{\begin{array}{l} Y=\alpha+\beta Y+e-dr\\ kY+A-hr=M/P \end{array}\right.
{Y=α+βY+e−drkY+A−hr=M/P
将
r
,
Y
r,Y
r,Y视为内生变量，两个方程组可以解出唯一均衡值，记作
(
r
∗
,
Y
∗
)
(r^*,Y^*)
(r∗,Y∗)。其中
r
∗
r^*
r∗称为均衡实际利率，
Y
∗
Y^*
Y∗称为均衡实际收入，或均衡国民收入。从几何上看，也就是这两条直线的交点。
然而，初始的实际收入和实际利率并不是均衡的，很有可能并不在上述两条直线的交点处，例如下图
E
′
E'
E′,
E
′
′
E''
E′′和
E
′
′
′
E'''
E′′′。
假设初始状态在 E ′ ′ ′ E''' E′′′，此时计划投资大于储蓄 I > S I>S I>S，实际收入 Y Y Y增加，实际利率 r r r增加，即 E ′ ′ ′ E''' E′′′点即向右移动，又向上移动，合力为右上方，直至进入 I I II II区域。在 I I II II区域中， I < S I<S I<S，实际收入减少，于是向左移动； L > M L>M L>M，实际利率继续向上移动，合力为左上方，此时进入 I I I区域。在 I I I区域， Y Y Y减少， r r r降低，合力在左下方，进入 I V IV IV区域。在 I V IV IV区域， Y Y Y增加， r r r降低，进入 I I I III III区域，于是重新回到 I I I III III区域。但每次都与均衡点 E E E不断接近。
为了使上述模型动态化，引入时间因素
t
t
t，于是
{
C
t
=
α
+
β
Y
t
I
t
=
e
−
d
r
t
Y
t
+
1
=
C
t
+
I
t
k
Y
t
+
A
−
h
r
t
+
1
=
M
/
P
\left\{\begin{array}{l} C_t = \alpha+\beta Y_t\\ I_t=e-dr_t\\ Y_{t+1}= C_t+I_t\\ kY_t+A-hr_{t+1}=M/P \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧Ct=α+βYtIt=e−drtYt+1=Ct+ItkYt+A−hrt+1=M/P
整理得到
{
C
t
=
α
+
β
Y
t
I
t
=
e
−
d
r
t
Y
t
+
1
=
C
t
+
I
t
r
t
+
1
=
(
k
Y
t
+
A
−
M
/
P
)
/
h
\left\{\begin{array}{l} C_t = \alpha+\beta Y_t\\ I_t=e-dr_t\\ Y_{t+1}= C_t+I_t\\ r_{t+1} = (kY_t+A-M/P)/h \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧Ct=α+βYtIt=e−drtYt+1=Ct+Itrt+1=(kYt+A−M/P)/h
在长期中，非均衡逐渐向均衡靠拢，
r
t
≈
r
t
+
1
≈
r
∗
r_t\approx r_{t+1} \approx r^*
rt≈rt+1≈r∗,
Y
t
≈
Y
t
+
1
≈
Y
∗
Y_t\approx Y_{t+1}\approx Y^*
Yt≈Yt+1≈Y∗，于是
{
C
∗
=
α
+
β
Y
∗
I
∗
=
e
−
d
r
∗
Y
∗
=
C
∗
+
I
∗
r
∗
=
(
k
Y
∗
+
A
−
M
/
P
)
/
h
\left\{\begin{array}{l} C^* = \alpha+\beta Y^*\\ I^*=e-dr^*\\ Y^*= C^*+I^*\\ r^* = (kY^*+A-M/P)/h \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧C∗=α+βY∗I∗=e−dr∗Y∗=C∗+I∗r∗=(kY∗+A−M/P)/h
使用行列式求解得到长期均衡点为
{
r
∗
=
k
(
α
+
e
)
+
(
1
−
β
)
(
A
−
M
/
P
)
k
d
+
h
(
1
−
β
)
Y
∗
=
h
(
α
+
e
)
−
d
(
A
−
M
/
P
)
k
d
+
h
(
1
−
β
)
\left\{\begin{array}{l} r^* = \dfrac{k(\alpha+e)+(1-\beta)(A-M/P)}{kd+h(1-\beta)} \\ Y^* = \dfrac{h(\alpha+e)-d(A-M/P)}{kd+h(1-\beta)} \\ \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧r∗=kd+h(1−β)k(α+e)+(1−β)(A−M/P)Y∗=kd+h(1−β)h(α+e)−d(A−M/P)
2 数值模拟
2.1 长期均衡解
令参数 α = 500 \alpha=500 α=500, β = 0.5 \beta=0.5 β=0.5， e = 1250 e=1250 e=1250， d = 250 d=250 d=250， k = 0.5 k=0.5 k=0.5， h = 250 h=250 h=250， A = 1000 A=1000 A=1000， M = 1250 M=1250 M=1250， P = 1 P=1 P=1，代入上述均衡解得到
alpha = 500
beta = 0.5
e = 1250
d = 250
k = 0.5
h = 250
A = 1000
M = 1250
P = 1
r_star = (k*(alpha+e)+(1-beta)*(A-M/P))/(k*d+h*(1-beta))
Y_star =( h*(alpha+e)-d*(A-M/P))/(k*d+h*(1-beta))
r_star
Y_star
# 3
# 2000
现在假设初始实际利率为
r
0
=
10
r_0=10
r0=10，
Y
0
=
5000
Y_0=5000
Y0=5000，基于下列公式
{
C
t
=
α
+
β
Y
t
I
t
=
e
−
d
r
t
Y
t
+
1
=
C
t
+
I
t
r
t
+
1
=
(
k
Y
t
+
A
−
M
/
P
)
/
h
\left\{\begin{array}{l} C_t = \alpha+\beta Y_t\\ I_t=e-dr_t\\ Y_{t+1}= C_t+I_t\\ r_{t+1} = (kY_t+A-M/P)/h \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧Ct=α+βYtIt=e−drtYt+1=Ct+Itrt+1=(kYt+A−M/P)/h
rm(list = ls())
# 参数初始化
alpha = 500
beta = 0.5
e = 1250
d = 250
k = 0.5
h = 250
A = 1000
M = 1250
P = 1
T = 100 # 迭代次数
r = numeric()
Y = numeric()
# 初始值
r[1] = 10
Y[1] = 5000
# 迭代
for (t in 1:T) {
C = 500+0.5*Y[t]
I = 1250-250*r[t]
Y[t+1] = C+I
r[t+1] = (k*Y[t]+A-M/P)/h
}
par(mfrow=c(1,2),mar = c(5,5,5,5))
plot(Y,type = "l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "实际利率均衡过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
plot(r,type = "l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "实际收入均衡过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
par(mfrow=c(1,1))
plot(Y,r,typ="l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "均衡点收敛过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
2.2 政府部门引入
引入政府部门，政府决策变量包括政府支出
G
G
G、税收
T
T
T和转移支付
T
r
T_r
Tr，此时均衡条件如下：
{
C
t
=
α
+
β
(
Y
t
−
T
+
T
r
)
I
t
=
e
−
d
r
t
Y
t
+
1
=
C
t
+
I
t
+
G
r
t
+
1
=
(
k
Y
t
+
A
−
M
/
P
)
/
h
\left\{\begin{array}{l} C_t = \alpha+\beta (Y_t-T+T_r)\\ I_t=e-dr_t\\ Y_{t+1}= C_t+I_t +G\\ r_{t+1} = (kY_t+A-M/P)/h \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧Ct=α+β(Yt−T+Tr)It=e−drtYt+1=Ct+It+Grt+1=(kYt+A−M/P)/h
令政府购买
G
=
500
G=500
G=500，税收
T
=
20
T=20
T=20，转移支付
T
r
=
5
T_r=5
Tr=5，
rm(list = ls())
# 参数初始化
alpha = 500
beta = 0.5
e = 1250
d = 250
k = 0.5
h = 250
A = 1000
M = 1250
P = 1
T = 20
Tr = 5
G = 500
T = 100 # 迭代次数
r = numeric()
Y = numeric()
# 初始值
r[1] = 10
Y[1] = 5000
# 迭代
for (t in 1:T) {
C = 500+0.5*(Y[t]-T+Tr)
I = 1250-250*r[t]
Y[t+1] = C+I+G
r[t+1] = (k*Y[t]+A-M/P)/h
}
par(mfrow=c(1,2),mar = c(5,5,5,5))
plot(Y,type = "l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "实际利率均衡过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
plot(r,type = "l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "实际收入均衡过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
par(mfrow=c(1,1))
plot(Y,r,typ="l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "均衡点收敛过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
2.3 价格水平影响
使价格水平 P P P不断下降，实际货币供给不断增加，实际货币供给增加又导致均衡实际利率不断降低，进而导致投资不断增加，均衡国民收入不断增加。
rm(list = ls())
# 参数初始化
alpha = 500
beta = 0.5
e = 1250
d = 250
k = 0.5
h = 250
A = 1000
M = 1250
T = 20
Tr = 5
G = 500
T = 100 # 迭代次数
r = numeric()
Y = numeric()
# 初始值
r[1] = 10
Y[1] = 5000
# 迭代
P = c(1,0.8,0.6,0.4)
par(mfrow=c(2,2),mar = c(5,5,5,5))
for(j in P){
for (t in 1:T) {
C = 500+0.5*(Y[t]-T+Tr)
I = 1250-250*r[t]
Y[t+1] = C+I+G
r[t+1] = (k*Y[t]+A-M/j)/h
}
plot(Y,r,typ="l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = paste("价格水平P=",j),
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
}
2.4 随机扰动因素
除收入外，还有其他一些因素也会影响消费；同理，除了利率，也有其他因素也会影响投资大小；货币需求和货币供给之间也存在随机误差。因此，均衡条件进一步改进为
{
C
t
=
α
+
β
(
Y
t
−
T
+
T
r
)
+
ε
t
I
t
=
e
−
d
r
t
+
v
t
Y
t
+
1
=
C
t
+
I
t
+
G
r
t
+
1
=
(
k
Y
t
+
A
−
M
/
P
+
w
t
)
/
h
ε
t
,
v
t
,
w
t
∼
N
(
0
,
1
)
\left\{\begin{array}{l} C_t = \alpha+\beta (Y_t-T+T_r)+\varepsilon_t \\ I_t=e-dr_t+v_t\\ Y_{t+1}= C_t+I_t +G\\ r_{t+1} = (kY_t+A-M/P+w_t)/h\\ \varepsilon_t,v_t,w_t\sim N(0,1) \end{array}\right.
⎩
⎨
⎧Ct=α+β(Yt−T+Tr)+εtIt=e−drt+vtYt+1=Ct+It+Grt+1=(kYt+A−M/P+wt)/hεt,vt,wt∼N(0,1)
其中
ε
t
,
v
t
,
w
t
\varepsilon_t,v_t,w_t
εt,vt,wt假定服从标准正态分布。
#------------------------随机扰动影响-----------------------------
rm(list = ls())
# 参数初始化
alpha = 500
beta = 0.5
e = 1250
d = 250
k = 0.5
h = 250
A = 1000
M = 1250
P = 1
T = 20
Tr = 5
G = 500
T = 100 # 迭代次数
r = numeric()
Y = numeric()
# 初始值
r[1] = 4
Y[1] = 2450
# 迭代
for (t in 1:T) {
C = 500+0.5*(Y[t]-T+Tr)+rnorm(1,0,1)
I = 1250-250*r[t]+rnorm(1,0,1)
Y[t+1] = C+I+G
r[t+1] = (k*Y[t]+A-M/P+rnorm(1,0,1) )/h
}
par(mfrow=c(1,2),mar = c(5,5,5,5))
plot(Y,type = "l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "实际利率均衡过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
plot(r,type = "l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "实际收入均衡过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
par(mfrow=c(1,1))
plot(Y,r,typ="l",lwd=2,xlab = "实际收入Y",ylab = "实际利率r",main = "均衡点收敛过程",
cex.axis = 2, cex.lab = 2,cex.main = 2,family = "ST")
grid(col = "black")
