动态规划-丑数

news2025/11/4 9:54:06

描述

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第 n个丑数。

数据范围：
0≤n≤2000
要求：空间复杂度 O(n) ，时间复杂度 O(n)
示例1
输入：7
返回值：8

题目分析

我们先看到题目，把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。
有了上面的定义我们就可以知道，丑数的形式就是2^x3^y5^z.所有的丑数都会是由2^x3^y5^z组成的.
因此我们只需要根据此公式从小到大列举出每一个丑数,那么我们就能找到第n个丑数.
由于,x,y,z都是幂次方,且如果要从小到大寻找丑数,那么x,y,z都会逐渐增加,若想找到后一个幂次方的丑数,那么我们肯定会需要找到前一个幂次方的丑数.这时候我们就会想到用动态规划来解决此问题,因为我们可以将第n个丑数一直分解到第一个丑数,根据动态规划的转移方程,我们就可以一步步找到第n个丑数.

题解

说到动态规划，我们肯定会想到动态规划的三个步骤
1.确定状态
2.定义状态转移方程
3.求得最优解

1.确定状态

首先我们应该确定动态规划的起始状态，根据题干，我们能发现第一个丑数就是，我们即dp[0]=1,且此时x,y,z的值肯定都是0,即x=0,y=0,z=0.

2.定义状态转移方程

状态转移方程是这个题目的难点，我们需要知道如何通过状态转移方程来实现下一个丑数的定位，我们通过分析函数dp[i]=2^x3^y5^z(其中i是第i个丑数的下标存储位置)可知，我们只要分别增大幂x,y,z，(x,y,z都从0开始增大)然后进行比较，我们就能找到我们想要的下一个丑数。
比如dp[0]=1,那么dp[1]的值，就是需要比较
2¹3⁰5⁰ ,2⁰3¹5⁰ ,2⁰3⁰5¹ 这三个值的大小，得出dp[1]=2¹3⁰5⁰ = 2
因为2¹3⁰5⁰ 已经给dp[1],因此需要将第一个位置增大继续进行比较，那么如何进行增大呢？
这个地方也是本题最难理解的地方。我们先回到本题dp[i]=2^x3^y5^z 这个函数上，我们可以想一下dp[i+1]有什么规律，dp[i+1]无非就是dp[i-k]*2，dp[i-k]*3,dp[i-k]*5 (k<i)，三个其中的一个值，其中K可以是任意一个值，不一定是1.我们也可以反过来想，dp[i+1]/2,dp[i+1]/3,dp[i+1]/5的其中一个值，一定是dp[i]。所以我们这里只需要列出三路函数，第一路是关于dp[x]*2的函数，第二路是关于dp[y]*3,第三路是关于dp[z]*5的函数然后一直比较，就可以逐一找到每个丑数。其中x,y,z都是每一路线性增长的下标。这里需要解释一下为什么要分三路，因为d[i]的每次结果都需要乘2，乘3和乘5，以达到所有的质数都会被比较到的目的。且dp[i]乘2，乘3，乘5的值比较的时机是不同的。所以必须分为3个下标来分别统计幂x,y,z增长的值，从而进行动态规划比较。

求dp[2]:
根据上面的规则，第一个位置增大的值是dp[x=1]*2=(2¹3⁰5⁰)*2=4
所以dp[2]的值，需要比较
2²3⁰5⁰ ,2⁰3¹5⁰ ,2⁰3⁰5¹ 这三个值的大小，得出dp[2]=2⁰3¹5⁰ = 3
求dp[3]:
同理第二个位置被取出，增大第二个位置，即dp[y=1]*3=(2¹3⁰5⁰)*3=6
所以dp[3]的值，需要比较
2²3⁰5⁰ ,2¹3¹5^0 ,2⁰3⁰5¹ 这三个值的大小，得出dp[3]=2²3⁰5⁰ = 4
求dp[4]:
后面为了便于观看，将直接用数字来代替，
接着第一个位置被取出，所以x需要继续增加，即dp[x=2]*2=3*2=6
dp[4]的值，需要比较
6 ,6 ,5 这三个值的大小，得出dp[4]=5
求dp[5]:
第三个数增大为dp[z=1]*5=2*5=10
dp[5]的值，需要比较
6 ,6 ,10 这三个值的大小，得出dp[5]=6,这时，一二位置都为6，所以都要增大，
即第一个位置dp[x=3]*2=4*2=8,第二个位置dp[y=2]*3=9
所以dp[5]的值需要比较
8，9，10这个三个数，得出dp[5]=8.

3.求得最优解

以此类推，就能列举出所有的丑数了。

下面是一个更为直观的动画图来解释此过程：

在这里插入图片描述

接下来就是算法部分：

public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *           
     *
     * @param index int整型
     * @return int整型
     */
    public int GetUglyNumber_Solution (int index) {
        if(index<=6){
            return index;
        }
        int[] dp = new int[index];
        dp[0] = 1;
        int x=0,y=0,z=0;
        for(int i=1;i<dp.length;i++){
            dp[i] = Math.min(dp[z]*5,Math.min(dp[x]*2,dp[y]*3));
            if(dp[i] == dp[x]*2){
                x++;
            }
            if(dp[i] == dp[y]*3){
                y++;
            }
            if(dp[i] == dp[z]*5){
                z++;
            }
             
        }
        return dp[index-1];
    }
}