数学符号

一.高中

1. 整式的乘法运算
   $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
   $a^m÷a^n=a^{m-n}$
   $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$
   $(ab{)}^n=a^n{b}^n$

2. 常用的乘法公式
   平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
   完全平方公式：$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$

3. 一元二次方程
   方程的形式：$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$
   求根公式： $\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
   $x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

4. 指数函数
   (1)正分数指数幂： $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$，($a\ge 0,m$、$n\in N$且$n>1,m$、$n$互质)
   (2)幂的运算法则
   $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
   $a^m÷a^n=a^{m-n}$
   $(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$
   $(ab{)}^n=a^n{b}^n$
   $(\frac{a}{b}{)}^n=\frac{a^n}{b^n}=a^n\cdot b^{-n}$

5. 对数函数
   (2）性质：
    ${\log }_{a}a=1$
    ${\log }_{a}1=0$
    0和负数无对数
    $a^{{\log }_{a}N}=N$
   (3）运算法则：
    ${\log }_a(M\cdot N)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$
    ${\log }_a(\frac{M}{N})={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$
    ${\log }_{a^m}{b}^n=\frac{n}{m}\cdot {\log }_{a}b$
   (4）换底公式：${\log }_{a}N=\frac{{\log }_{b}N}{{\log }_{b}a}$

6. 三角函数
   (1）同角三角函数的基本关系式
    平方关系：${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$
   (2）两角和与差的三角函数
    $\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
    $\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
    $\tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }$
   (3）三角函数的倍角公式
    $\sin (2\alpha )=2\sin \alpha \cos \alpha$
    $\cos (2\alpha )={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=1-2{\sin }^2\alpha$
    $\tan (2\alpha )=\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }$
   (4) 特殊的三角函数值

   度	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
   弧度	0	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{4}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\pi$	$\frac{3\pi }{2}$	$2\pi$
   $\sin \alpha$	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1	0	-1	0
   $\cos \alpha$	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0	-1	0	1
   $\tan \alpha$	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	-	0	-	0

7. 等差数列
   (1）通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$
   (2）等差数列前n项和：$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 或者 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$

8. 等比数列
   (1）通项公式：$a_n=a_1{q}^{n-1}$，中项：$b^2=ac$
   (2）等比数列的前n项和：$S_n=\{\begin{array}{l}n{a}_1,q=1\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}或者\frac{a_1-a_{n}q}{1-q},q\ne 1\end{array}$

9. 向量的坐标运算
   向量的长度及两点间的距离公式
    设$A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2)$
    长度：$|A|=\sqrt{x_1{}^2+x_2{}^2}$
    距离：$d_{AB}=|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(x_2-x_1){}^2+(y_2-y_1){}^2}$

10. 向量的数量积
    (1）向量a，b的数量积：$a\cdot b=|a||b|\cos ⟨a,b⟩$
    (2）向量数量积的运算：
     在坐标平面$Oxy$中，已知$a=(x_1,y_1),b=(x_2,y_2)$
     性质：
      $a\perp b⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$
      $a\parallel b⟺\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$

11. 直线
    (1）斜率：直线倾斜角$\alpha (\alpha \ne 90°)$的正切值，用$k$表示，即 $k=\tan \alpha$。
     一般形式：给定$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$是直线上任意两点，斜率$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_2\ne x_1)$
    (2）直线方程的形式

    名称	已知条件	方程形式	说明
    斜截式	斜率$k$和直线在$y$轴上的截距$b$	$y=kx+b$	不包括y轴和平行$y$轴的直线
    点斜式	直线过点$P_1(x_1,y_1)$和斜率$k$	$y-y_1=k(x-x_1)$	不包括y轴和平行$y$轴的直线
    两点式	直线过点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$$(x_1\ne x_2,y_1\ne y_2)$	$\frac{y-y1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$	不包括坐标轴和平行坐标轴的直线
    截距式	直线在$x$轴上的截距是$a(a\ne 0)$ 直线在$y$轴上的截距是$b(b\ne 0)$	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	不包括经过原点的直线和平行坐标轴的直线
    一般式	$A,B$不同时为零	$Ax+By+C=0(k=-\frac{A}{B}）$	任何直线都可写成此形式

  (3）两直线的位置关系
    设两直线的斜率都存在，其方程分别为：$\{\begin{array}{l}{l}_1:y=k_{1}x+b1\\ l_2:y=k_{2}x+b2\end{array}$
    两直线平行：$k_1=k_2$
    两直线垂直：$k_1{k}_2=-1$
  (4）点到直线的距离：设点$P_1(x_0,y_0)$到直线$Ax+By+C=0$,则有 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$
  (5）两平行线的距离：设两直线的方程$\{\begin{array}{l}{l}_1:Ax+By+C_1=0\\ l_2:Ax+By+C_2=0\end{array}$，则$d_{l_1,l_2}=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

12. 圆
    (1）圆的标准方程：设圆心为$(a,b)$，半径为$r$，则方程为 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$
    (2）圆的参数方程：圆心在原点的圆方程$x^2+y^2=0$，参数方程可以表示为：$\{\begin{array}{l}x=r\cos \theta \\ y=r\sin \theta \end{array}$
    (3）点与圆的位置关系：点$P(x_0,y_0)$与圆$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$的位置关系，即点$p$到圆心的距离：$d=\sqrt{(x_0-a{)}^2+(y_0-b{)}^2}$
    (4）直线与圆的位置关系：直线$Ax+By+C=0$与圆$(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$的位置关系，即圆心的到直线的距离：$d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

13. 空间向量
    (1）向量的长度及两点间的距离公式
     设$a(a_1,a_2,a_3)$，则有$|\mathbf{a}|=\sqrt{a_1{}^2+a_2{}^2+a_3{}^2}$
     设$A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)$，则有$d_{AB}=\overrightarrow{AB}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2+(z_2-z_1{)}^2}$
    (2）向量数量积的运算：
     已知$a=(a_1,a_2,a_3),b=(b_1,b_2,b_3)$
     性质：
     $a\perp b⟺a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3=0$
     $a\parallel b⟺\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}$
    (3）点到平面的距离：点$P(x_0,y_0,z_0)$，平面方程$Ax+By+Cz+D=0$，则$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

14. 其他
    圆锥，三角体的体积公式：$V=\frac{1}{3}Sh$（S是底面积，h是高）
    弧长公式：$l=r\theta$（r是半径，$\theta$是圆心角）
    椭圆面积公式：$S=\pi ab$
    球体的体积公式：$V=\frac{4\pi r^3}{3}$
    球的表面积公式为:$S=4\pi r^2$

二.高数基础

8. 两个重要极限(引申)
     $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$
     $\underset{n\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{n}{)}^n=e$

9. 无穷小量的比较 (趋近于0的速度)( 高阶，同阶，等价)
   当$x\to 0$时，
   $1-\cos x⟺\frac{x^2}{2}$
   $\sin x⟺x$

10. 矩阵（三阶行列式）
    α = { a 1 , a 2 , a 3 } , β = { b 1 , b 2 , b 3 } \alpha=\{a_1,a_2,a_3\}, \beta=\{b_1,b_2,b_3\} α={a1​,a2​,a3​},β={b1​,b2​,b3​}
    $\alpha \times \beta =\left|\begin{array}{ccc}i& j& k\\ a_1& a_2& a_3\\ b_1& b_2& b_3\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}{a}_2& a_3\\ b_2& b_3\end{array}\right|i-\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_3\\ b_1& b_3\end{array}\right|j+\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|k$=$(a_2{b}_3-a_3{b}_2)i-(a_1{b}_3-a_3{b}_1)j+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)k$= { a 2 b 3 − a 3 b 2 , − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) , a 1 b 2 − a 2 b 1 } \{a_2b_3-a_3b_2,-(a_1b_3-a_3b_1),a_1b_2-a_2b_1\} {a2​b3​−a3​b2​,−(a1​b3​−a3​b1​),a1​b2​−a2​b1​}

11. 基本初等函数的求导公式:

    指数函数：$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

    对数函数：$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，$(lo{g}_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

    正余切函数：$(\tan x{)}^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}={\sec }^{2}x$ ，$(\cot x{)}^{\prime }=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}=-{\csc }^{2}x$

    反正余弦函数：$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ ， $(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

    反正余切函数：$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$ ，$(arccotx{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$

12. 基本微分公式和微分运算法则（原函数求导数）

    $dC=0$（$C$为常数）    $d(x^n)=\alpha x^{n-1}dx$（$\alpha$为实数）

    $d(a^x)=a^x\ln adx$（$a>0,a\ne 1$）    $d(e^x)=e^{x}dx$

    $d({\log }_{a}x)=\frac{1}{x\ln a}dx$（$a>0,a\ne 1$）    $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

    $d(\sin x)=\cos xdx$    $d(\cos x)=-\sin xdx$

    $d(\tan x)={\sec }^{2}xdx$    $d(\cot x)=-{\csc }^{2}xdx$

    $d(\sec x)=\sec x\tan xdx$    $d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$

    $d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$    $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$

    $d(\arctan x)=\frac{1}{1+x^2}dx$    $d(arccotx)=-\frac{1}{1+x^2}dx$

三.高数

第一章 空间解析几何与向量代数

2.向量代数

2.1 向量的方向余弦

α ⃗ = { a 1 , a 2 , a 3 } \vec \alpha = \{a_1,a_2,a_3\} α ={a1​,a2​,a3​}

(1) ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta +{\cos }^2\gamma =1$（$\alpha ,\beta ,\gamma 为向量\vec{\alpha }的方向角$）

(2) α 0 = α ∣ α ∣ = { a 1 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 , a 2 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 , a 3 a 1 2 + a 2 2 + a 3 2 } \alpha^0 = \cfrac{\alpha}{|\alpha|} = {\{\cfrac{a_1}{\sqrt{a_1{^2}+a_2{^2}+a_3{^2}}},\cfrac{a_2}{\sqrt{a_1{^2}+a_2{^2}+a_3{^2}}},\cfrac{a_3}{\sqrt{a_1{^2}+a_2{^2}+a_3{^2}}}}\} α0=∣α∣α​={a1​2+a2​2+a3​2 ​a1​​,a1​2+a2​2+a3​2 ​a2​​,a1​2+a2​2+a3​2 ​a3​​}

6.二次曲面

椭球面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}+\frac{x^2}{c^2}=1$

椭球抛物面：$z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$

椭圆锥面：$z^2=\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$

单页双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}-\frac{x^2}{c^2}=1$

双叶双曲面：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}-\frac{x^2}{c^2}=-1$

第二章 多元函数的微分学

第三章 重积分

一、二重积分

直角坐标下二重积分的计算

极坐标下二重积分的计算

二、 三重积分

直角坐标下三重积分的计算

柱面坐标下三重积分的计算

球面坐标下三重积分的计算

曲面面积

第四章 曲线积分与曲面积分

1、对弧长的曲线积分

2、对坐标的曲线积分

3、格林公式

4、对面积的曲线积分

5、对坐标的曲线积分

高斯公式

散度

第六章 无穷级数

一、数项级数的审敛法

1、常数项级数

1. 性质2：$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n$和$\sum _{n=1}^{\infty }{v}_n$分别收敛与$S$和$\sigma$，$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n\pm v_n$也收敛于$S\pm \sigma$
   (1)两个收敛的级数相加(减)后仍收敛
   (2)相加(减)后收敛的两个级数未必收敛
   收敛+收敛=收敛
   收敛+发散=发散
   发散+发散=发散或收敛

2. 性质4：$\sum u_n$收敛，任意加括号的级数也收敛且和不变
   (1)加括号后收敛，级数未必收敛
   (2)加括号后发散，级数必发散

3. 性质5：$\sum u_n$收敛，则$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$
   (1)$u_n\to 0$ 级数未必收敛
   (2)$u_n不趋近0$ 级数必发散

4. 几何(等比)级数：$\sum _{n=1}^{\infty }a{q}^{n-1}$，$|q|<1$收敛$S_n=\frac{a}{1-q}$

5. 调和级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ 发散

2、正项级数

(注意：以下只符合正项级数)

1. $\sum u_n$和$\sum v_n$是正项级数，且$u_n<v_n$
   若$\sum v_n$收敛，则$\sum u_n$收敛；
   若$\sum u_n$发散，则$\sum v_n$发散

2. p级数：$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p}$ ，$p>1$ 收敛

3. 比较审敛法：
   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=l$,当$0<l<+\infty$时 ，$u_n,v_n$同敛散

4. 比值审敛法：
   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho$
   $\rho <1$收敛，$\rho >1$发散，$\rho =1$ 无法比较

5. 根植审敛法(柯西判别法)：
   $\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{u_n}=\rho$
   $\rho <1$收敛，$\rho >1$发散，$\rho =1$ 无法比较

3、交错级数

莱布尼兹审敛法：

$\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^{n-1}{u}_n=\rho$ $(u_n\ge 0)$

(1)$u_n\ge u_{n+1}$

(2)$\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n=0$ ，则级数收敛，$S\le u_1,|r_n|\le u_{n+1}$

4、任意项级数

2. $\sum _{n=1}^{+\infty }{u}_n=u_1+u_2+u_3+\dots \dots$是任意项级数
   $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{u_{n+1}}{u_n}=l$ (正项的比值审敛法)
   $l<1$时，$\sum u_n$收敛，
   $l>1$时，$\sum u_n$发散
   $l=1$ 无法比较

二、幂级数

1. 定理1 (阿贝尔定理)
   $\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n$
   $x=x_0$时收敛，$|x|<x_0$，幂级数绝对收敛
   $x=x_0$时发散，$|x|>x_0$，幂级数发散
   推论：
   (1) $x=0$ 收敛
   (2) $x\in (-\infty ,+\infty )$ 收敛
   (3) $|x|<R$ 绝对收敛

2. 定理2：$\underset{n\to \infty }{\lim }|\frac{a_{n+1}}{a_n}|=\rho$ ,$R=\frac{1}{\rho }=\{\begin{array}{l}R=+\infty ,(\rho =0)\\ R=0,(\rho =+\infty )\\ R=\frac{1}{\rho },(\rho \ne 0)\end{array}$

3. 性质1：$\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n$ 的和函数$S(x)$在收敛域$I$是连续的

   性质2：$\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n$ 的和函数$S(x)$在收敛域$I$可积
   ${\int }_0^{x}S(t)dt={\int }_0^x(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{t}^n)dt=\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_0^x{a}_n{t}^{n}dt=\sum _{n=0}^{+\infty }\frac{a_n}{n+1}{x}^{n+1}dt(x\in I)$
   逐项求积分后与原幂级数的收敛半径相同，重新考查端点处，得出新的幂级数的收敛域

   性质3：$S(x)$在$(-R,R)$可导
   $S(x{)}^{\prime }=(\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }(a_n{x}^n{)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }n{a}_n{x}^{n-1}$

三、函数的幂级数展开式

$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},(-\infty <x<+\infty )$

$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{2n+1},(-\infty <x<+\infty )$

$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,(-1<x<1)$

四、傅里叶幂级数

欧拉-傅里叶级数：$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$

欧拉-傅里叶公式：

$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$ $(n=1,2,\dots$)

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$ $(n=1,2,\dots$)