数据结构：二叉排序树

news2025/6/23 20:20:28

什么是二叉排序树？

二叉排序树要么是空二叉树，要么具有如下特点：

二叉排序树中，如果其根结点有左子树，那么左子树上所有结点的值都小于根结点的值；
二叉排序树中，如果其根结点有右子树，那么右子树上所有结点的值都大小根结点的值；
二叉排序树的左右子树也要求都是二叉排序树；

如图所示，就是一个二叉排序树：

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使用二叉排序树查找关键字

二叉排序树中查找某关键字时，查找过程类似于次优二叉树，在二叉排序树不为空树的前提下，首先将被查找值同树的根结点进行比较，会有3种不同的结果：

如果相等，查找成功；
如果比较结果为根结点的关键字值较大，则说明该关键字可能存在其左子树中；
如果比较结果为根结点的关键字值较小，则说明该关键字可能存在其右子树中；

实现函数为：（运用递归的方法）

BSTree SreachBST(BSTree T, int key){
		//如果递归过程中 T 为空，则查找结果，返回NULL；或者查找成功，返回指向该关键字的指针
    if ((!T) || (key == T->data)) return T;
    else if(key < T->data) return SreachBST(T->lchild, key);//递归遍历其左孩子
    else return SreachBST(T->rchild, key);//递归遍历其右孩子
}

二叉排序树中插入关键字

二叉排序树本身是动态查找表的一种表示形式，有时会在查找过程中插入或者删除表中元素，当因为查找失败而需要插入数据元素时，该数据元素的插入位置一定位于二叉排序树的叶子结点，并且一定是查找失败时访问的最后一个结点的左孩子或者右孩子。

例如，在图 1 的二叉排序树中做查找关键字 1 的操作，当查找到关键字 3 所在的叶子结点时，判断出表中没有该关键字，此时关键字 1 的插入位置为关键字 3 的左孩子。

所以，二叉排序树表示动态查找表做插入操作，只需要稍微更改一下上面的代码就可以实现，具体实现代码为：

void InserBST(BSTree &T, int key){
    if(!T){//如果递归过程中T为空，则初始化插入结点
        BSTNode *S = new BSTNode;
        S->data = key;
        S->lchild = NULL;
        S->rchild = NULL;
        T = S;
    }
    else if(key < T->data) InserBST(T->lchild, key);
    else if(key > T->data) InserBST(T->rchild, key);
    else if(key == T->data) {cout << "该关键字在已存在！！！";return;}
}

通过使用二叉排序树对动态查找表做查找和插入的操作，同时在中序遍历二叉排序树时，可以得到有关所有关键字的一个有序的序列。

例如，假设原二叉排序树为空树，在对动态查找表 {3，5，7，2，1} 做查找以及插入操作时，可以构建出一个含有表中所有关键字的二叉排序树，过程如图 2 所示:

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图 2 二叉排序树插入过程

通过不断的查找和插入操作，最终构建的二叉排序树如图 2（5）所示。当使用中序遍历算法遍历二叉排序树时，得到的序列为： 1 2 3 5 7 ，为有序序列。

一个无序序列可以通过构建一棵二叉排序树，从而变成一个有序序列。

二叉排序树中删除关键字

在查找过程中，如果在使用二叉排序树表示的动态查找表中删除某个数据元素时，需要在成功删除该结点的同时，依旧使这棵树为二叉排序树。

假设要删除的为结点 p ，则对于二叉排序树来说，需要根据结点 p 所在不同的位置作不同的操作，有以下 3 种可能：

1、结点 p 为叶子结点，此时只需要删除该结点，并修改其双亲结点的指针即可；

2、结点 p 只有左子树或者只有右子树，如果 p 是其双亲节点的左孩子，则直接将 p 节点的左子树或右子树作为其双亲节点的左子树；反之也是如此，如果 p 是其双亲节点的右孩子，则直接将 p 节点的左子树或右子树作为其双亲节点的右子树；

3、结点 p 左右子树都有，此时有两种处理方式：

1）令结点 p 的左子树为其双亲结点的左子树；结点 p 的右子树为其自身直接前驱结点的右子树，简单理解：因为p的左子树所有结点都小于p的右子树结点，所以只需将p的左子树重接在p的父结点的左子树上，然后将p的右子树整体接入p左子树的最右端s即可。如图 3 所示；

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图 3 二叉排序树中删除结点（1）

2）用结点 p 的直接前驱（或直接后继）来代替结点 p ，同时在二叉排序树中对其直接前驱（或直接后继）做删除操作，简单理解：因为p的左子树的最右端s是p的左子树所有结点关键字中最大的，所以只需用其代替p，然后将s的左子树为其父结点的右子树即可。如图 4 为使用直接前驱代替结点 p ：

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图 4 二叉排序树中删除结点（2）

图 4 中，在对左图进行中序遍历时，得到的结点 p 的直接前驱结点为结点 s，所以直接用结点 s 覆盖结点 p，由于结点 s 还有左孩子，根据第 2 条规则，直接将其变为双亲结点的右孩子。

具体实现代码：（可运行）

typedef struct BSTNode{
    int data;
    struct BSTNode *lchild, *rchild;
}BSTNode, *BSTree;

BSTree SreachBST(BSTree T, int key){
		//如果递归过程中 T 为空，则查找结果，返回NULL；或者查找成功，返回指向该关键字的指针
    if ((!T) || (key == T->data)) return T;
    else if(key < T->data) return SreachBST(T->lchild, key);//递归遍历其左孩子
    else return SreachBST(T->rchild, key);//递归遍历其右孩子
}
void InserBST(BSTree &T, int key){
    if(!T){//如果递归过程中T为空，则初始化插入结点
        BSTNode *S = new BSTNode;
        S->data = key;
        S->lchild = NULL;
        S->rchild = NULL;
        T = S;
    }
    else if(key < T->data) InserBST(T->lchild, key);
    else if(key > T->data) InserBST(T->rchild, key);
    else if(key == T->data) {cout << "该关键字在已存在！！！";return;}
}
void CreatBST(BSTree &T){
    T = NULL;
    int key;
    cin >> key;
    while(key != -1){//-1表示输入结束
        InserBST(T, key);
        cin >> key;
    }
}
void DeleteBST(BSTree &T, int key){
    BSTree p = T, f = NULL;
    while (p){//找到要删除的关键字
        if (p->data == key) break;
        f = p;//f为p的父节点
        if (p->data > key) p = p->lchild;
        else p = p->rchild;
    }
    if (!p) return; //若p为空，则表示未找到要删除的结点
    BSTree q = p;
    if ((p->lchild) && (p->rchild)){//被删除的结点左右子树均不为空
        BSTree s = p->lchild;
        while (s->rchild){//在p的左子树中找到其前驱结点，即最右下结点
            q = s;
            s = s->rchild;
        }
        p->data = s->data;
        if(q != p) q->rchild = s->lchild;//接入q的右子树
        else q->lchild = s->lchild;//接入q的左子树
        delete s;
        return;
    }
    else if (!p->rchild){//被删除结点p没有右子树，只需重接其左子树
        p = p->lchild;
    }
    else if (!p->lchild){//被删除结点p灭有左子树，只需重接其右子树
        p = p->rchild;
    }
    if (!f) T = p;//被删除的是更节电
    else if (q = f->lchild) f->lchild = p;//q在那边就将p重接到那边
    else f->rchild = p;
    delete q;
}