【人工智能数学基础】几何解释——最小二乘法

news2025/6/25 21:10:26

先来一组对应关系:

一、使用\hat{y}=ax拟合。

1.1代数计算

拟合后误差为e=y-\hat{y},要找到一个a,使得 e^{2} 的和最小,计算 e^{2} ,用 f(a) 表示:

带入数据即可得到

易得f(a)最小时的a值。

1.2解超定方程组

用向量表示x和y:

则解得:

1.3几何意义

a为常数,故向量 \hat{y} 与向量 x 维数相同且共线。既然找到了一个最合适得a,那么就一定有误差向量 e=y-\hat{y} 与向量 \hat{y} 垂直,即  (ax)^{T}*(y-ax)=0 ,解得:

二、使用 \hat{y}=ax+b 拟合

2.1代数计算

拟合后误差为e=y-\hat{y},要找到一个a,b,使得 e^{2} 的和最小,计算 e^{2} ,表示为:

带入数据即可得到

求偏导易得f(a,b)最小时的a,b值。

2.2 解超定方程组

用向量表示x和y:

则可得:

解超定方程组得

2.3几何意义

要想有最合适的a和b,就一定有误差向量 \varepsilon 模值最小,则一定会有y 在[1]向量和x向量的平面上的投影为\hat{y},即:

则可解得:

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