【C语言】求解数独求数独的解的个数多解数独算法

什么是数独？

数独的解法？

数独DFS算法详解

1. 初始化条件

2. 填入已初始化的数独表

3. 填数独

4. 拓展问题

请问删掉数独中的哪两个数可以使得数独的解最大？

删除的是哪两个数？

最终代码

main函数（如何执行这些代码）

什么是数独？

数独的要求是每一行，每一列，每一宫都包括1~9，但是不能有重复数字。

数独的解法？

主流为深度优先搜索算法，如果使用数据结构，有舞蹈链算法，本篇介绍深度优先搜索算法。

数独DFS算法详解

1. 初始化条件

我们的初始条件准备了5个，分别是row[N], col[N], cell[3][3]，ones[M], map[M]。

N = 9；

M = 111111111（二进制），511（十进制）；

//设置9*9数独表
const int N = 9;
//设置mask长度 M的二进制：111111111，从右到左分别表示1 2 3 4 5 6 7 8 9 
const int M = 1 << N;

//row、col、cell分别表示行、列、宫可填写数的编码
//ones、map是一个映射关系，ones表示有多少个1，map表示9位二进制的1代表的数字
int row[N], col[N], cell[3][3];
int ones[M], map[M];

//数独表
int arr[9][9] = {
    4,0,0,9,0,0,0,0,3,
    0,8,0,0,0,1,0,9,0,
    0,0,0,0,2,0,7,0,0,
    0,3,0,0,0,0,0,0,4,
    0,0,6,7,0,0,5,0,0,
    2,0,0,0,0,0,0,6,0,
    0,0,7,0,3,0,6,0,0,
    0,5,0,6,0,0,0,0,0,
    1,0,0,0,0,9,0,0,2
};

那么M是用来干嘛的？

我使用了二进制来优化DFS算法，在下图中只有7不能填，因为mask为0。

map和ones是一个映射关系，下标（二进制）->值（十进制）

map[10] = 2,意思是二进制为10的数十进制为2

ones[11] = 2,意思是二进制为11的数十进制为2

下面初始化的意思是把所有位置都设置成所有数都可填的状态。

//只需一次初始化的数组map、ones
void _init()
{
    //once设置成false后不再执行这个函数
    once = false;

    //map和ones是一个映射关系，下标（二进制）->值（十进制）
    // 
    //map[10] = 2,意思是二进制为10的数十进制为2
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        map[1 << i] = i + 1;
    }

    //ones[11] = 2,意思是二进制为11的数十进制为2
    for (int i = 0; i < M; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            ones[i] += i >> j & 1;
        }
    }
}

//初始化条件数组
int init(int _arr[N][N])
{
    //设置row，col为111111111，代表1`9都在可填写状态
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        row[i] = col[i] = M - 1;
    }

    //在9个宫中设置值为111111111，代表1`9都在可填写状态
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            cell[i][j] = M - 1;
        }
    }

    //只初始化一次
    if (once)
    {
        _init();
    }

    //填入数独表的已知数字，完成初始化工作。
    return fill(_arr);
}

fill函数是干嘛的？请往下看

2. 填入已初始化的数独表

fill函数的作用是填入数独表中已知的数字，返回一个整形代表待填入数独表的空位。

我们利用空位作为DFS的制约条件。

//将数组上已知数的位置、值信息做初始化记录，并记录需要填写的格子数
int fill(int _arr[N][N])
{
    //cnt为待填格子数
    int cnt = 0;

    //设置cnt，row、col、cell条件
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            if (!_arr[i][j])
            {
                cnt++;
            }
            else
            {
                col[j] -= 1 << (_arr[i][j] - 1);
                row[i] -= 1 << (_arr[i][j] - 1);
                cell[i / 3][j / 3] -= 1 << (_arr[i][j] - 1);
            }
        }
    }

    return cnt;
}

在行，列，宫对应的位置减去对应数的二进制码，这样可以把该数字在行、列、宫对应的二进制码设置为0，代表该数字在该行，该列，该宫已经不可以填写。

可举例填写4和6，三个条件的变化，等式右边为二进制码。

3. 填数独

前置有3个功能函数。

这里说一下getmask，

因为&的特点，col & row & cell运算，如果这三个其中一个的二进制码的某个位置上为0，那么返回的计算结果的那个位置的二进制码也为0。

draw是我们递归的灵魂，他的功能是在数组上填数，然后根据填的数修改row、col、cell。

//获得可填数的编码位（截断到最靠右的1） 例如10110 lowbit后得到10 
inline int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}


//获取可填数据 col，row，cell经过位运算可得到一串二进制数字，二进制的1代表可以填进数独的数字
int getmask(int x, int y)
{
    //printBinary(row[x]);
    //std::cout << " ";

    //printBinary(col[y]);
    //std::cout << " ";

    //printBinary(cell[x/3][y/3] );
    //std::cout << " ";

    //printBinary(col[y] & row[x] & cell[x / 3][y / 3]);

    return col[y] & row[x] & cell[x / 3][y / 3];
}


//填数字
void draw(int _arr[9][9], int x, int y, int num, bool is_set)
{
    //如果这个位置已经被填过，那么消除这个位置上的数字
    //如果没有，就设置成num
    if (is_set)
    {
        _arr[x][y] = 0;
    }
    else
    {
        _arr[x][y] = num;
    }

    //将数字num转化成二进制码
    int v = 1 << (num - 1);

    //根据这个位置是否有数字，修改 + - 的逻辑
    if (is_set)
    {
        v = -v;
    }

    // -v 代表此位置行，列，宫的可填数num已经填入，该行，列，宫不可再填num
    row[x] -= v;
    col[y] -= v;
    cell[x / 3][y / 3] -= v;
}

我们按照标题2. 的逻辑对数独表和三个条件进行增、改，然后搜索。

t_ret表示解的数量。max_ret表示最大解。

位置优化：通过两层循环，找出可填数最少的位置。

//填数独
bool dfs(int _arr[9][9], int cnt, int& t_ret)
{
    //如果可填数为0，则代表已经完成数独
    if (!cnt)
    {
        return true;
    }

    //找出最小可选位置，x、y表示坐标，minv代表可填数
    int minv = 10;
    int x, y;

    //每一个为0的位置都可以通过getmask(x,y)找到一个9位的二进制数，每一个位置上的1都代表对应数字可填
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            //如果状态码state中的1比minv小，则记录下该位置的xy坐标，并记录下最小可填值minv
            if (!_arr[i][j])
            {
                int state = getmask(i, j);
                if (ones[state] < minv)
                {
                    minv = ones[state];
                    x = i, y = j;
                    //std::cout << std::endl;
                    //printBinary(state);
                }
            }
        }
    }

    //拿到状态码
    int state = getmask(x, y);

    //lowbit取到可填数（从小到大），填了就从状态码中消除对应位置上的1
    for (int i = state; i; i -= lowbit(i))
    {
        //拿到二进制对应的十进制数字num
        int num = map[lowbit(i)];
        //填入num
        draw(_arr, x, y, num, false);
        //开始填数，如果已经填完数独，则打印，并记录解的数量t_ret，最大解max_ret
        if (dfs(_arr, cnt - 1, t_ret))
        {
            //print_arr(_arr);

            t_ret++;
            max_ret = t_ret > max_ret ? t_ret : max_ret;
        }
        //撤销填入的num
        draw(_arr, x, y, num, true);
    }

    //如果 i = state 的值是0，那么就代表没有数字可以填的，返回失败，并消除上一位的数字
    return false;
}

4. 拓展问题

请问删掉数独中的哪两个数可以使得数独的解最大？

删除的是哪两个数？

函数的逻辑是删除两个数，然后进行DFS，再然后把删除的数填回去，继续删除。

DFS进行之前，我们都初始化row，col，cell三个条件，这样能保证正常递归。

这里我们使用vector和pair（C++），也就是数组和键值对的数据结构。

first代表x坐标，second代表y坐标。

//得到所有的数组，并记录下数独的最大解
int _getallarr(int tmp[9][9], int& time)
{
    //将每一个已知数字的x，y坐标记录到vii
    std::vector<std::pair<int, int>> vii;
    for (int i = 0; i < 9; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 9; j++)
        {
            if (arr[i][j])
            {
                vii.push_back({ i,j });
            }
        }
    }

    //tmp1.tmp2存要删掉的两个数
    int tmp1, tmp2;
    //记录删除的数的坐标
    int max_ret_tmp = max_ret;
    //vpii的每一个元素都是一对坐标，我们只保留2对坐标
    std::vector<std::pair<int, int>> vpii;
    //依次删除两个数，为了保护源数独，把数据传入到tmp中
    for (int i = 0; i < vii.size(); i++)
    {
        for (int j = i + 1; j < vii.size() - 1; j++)
        {
            //存下要删掉的数，搜索完还原。
            tmp1 = tmp[vii[i].first][vii[i].second];
            tmp[vii[i].first][vii[i].second] = 0;

            tmp2 = tmp[vii[j].first][vii[j].second];
            tmp[vii[j].first][vii[j].second] = 0;


            //计算最大解
            int t_ret = 0;
            int cnt = init(tmp);
            dfs(tmp, cnt, t_ret);

            //如果最大解的数值发生变化，那么记录下该点的坐标。
            if (max_ret > max_ret_tmp)
            {
                //此处还可做优化，比如说把2改成time，删time个数的最大解是哪三个？
                max_ret_tmp = max_ret;
                if (vpii.size() == 2)
                {
                    vpii.erase(vpii.begin(), vpii.end());
                }
                vpii.push_back(vii[i]);
                vpii.push_back(vii[j]);
            }

            //还原删除的数
            tmp[vii[i].first][vii[i].second] = tmp1;
            tmp[vii[j].first][vii[j].second] = tmp2;
        }
    }

    std::cout << "删除的坐标是：(" << vpii[0].first << vpii[0].second << ") && (" << vpii[1].first << vpii[1].second << ")" << std::endl;
    return max_ret;
}

//计算最大解
int getMaxRet()
{
    //time为要删的数的个数
    int time = 2;
    //tmp为临时数组
    int tmp[9][9] = { 0 };
    copy_arr(tmp);

    //
    return _getallarr(tmp, time);
}

最终代码

//设置9*9数独表
const int N = 9;
//设置mask长度 M的二进制：111111111，从右到左分别表示1 2 3 4 5 6 7 8 9 
const int M = 1 << N;

//row、col、cell分别表示行、列、宫可填写数的编码
//ones、map是一个映射关系，ones表示有多少个1，map表示9位二进制的1代表的数字
//max_ret表示数独的最大解
//once 卡关，ones和map数组只需初始化一次 
int row[N], col[N], cell[3][3];
int ones[M], map[M];
int max_ret;
bool once = true;

//数独表
int arr[9][9] = {
    4,0,0,9,0,0,0,0,3,
    0,8,0,0,0,1,0,9,0,
    0,0,0,0,2,0,7,0,0,
    0,3,0,0,0,0,0,0,4,
    0,0,6,7,0,0,5,0,0,
    2,0,0,0,0,0,0,6,0,
    0,0,7,0,3,0,6,0,0,
    0,5,0,6,0,0,0,0,0,
    1,0,0,0,0,9,0,0,2
};

//打印二进制格式（调试用）
void printBinary(int num) 
{
    if (num == 0) {
        std::cout << "0";
        return;
    }

    int binary[32];
    int i = 0;

    while (num > 0) {
        binary[i] = num % 2;
        num /= 2;
        i++;
    }

    for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
        std::cout << binary[j];
    }
}

//获得可填数的编码位（截断到最靠右的1） 例如10110 lowbit后得到10 
inline int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

//打印数独表
void print_arr(int _arr[9][9])
{
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            std::cout << _arr[i][j];
        }
        std::cout << std::endl;
    }

    std::cout << std::endl;
}

//复制数独表到tmp
void copy_arr(int tmp[][9])
{
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            tmp[i][j] = arr[i][j];
        }
    }

    std::cout << std::endl;
}



//获取可填数据 col，row，cell经过位运算可得到一串二进制数字，二进制的1代表可以填进数独的数字
int getmask(int x, int y)
{
    //printBinary(row[x]);
    //std::cout << " ";

    //printBinary(col[y]);
    //std::cout << " ";

    //printBinary(cell[x/3][y/3] );
    //std::cout << " ";

    //printBinary(col[y] & row[x] & cell[x / 3][y / 3]);

    return col[y] & row[x] & cell[x / 3][y / 3];
}

//填数字
void draw(int _arr[9][9], int x, int y, int num, bool is_set)
{
    //如果这个位置已经被填过，那么消除这个位置上的数字
    //如果没有，就设置成num
    if (is_set)
    {
        _arr[x][y] = 0;
    }
    else
    {
        _arr[x][y] = num;
    }

    //将数字num转化成二进制码
    int v = 1 << (num - 1);

    //根据这个位置是否有数字，修改 + - 的逻辑
    if (is_set)
    {
        v = -v;
    }

    // -v 代表此位置行，列，宫的可填数num已经填入，该行，列，宫不可再填num
    row[x] -= v;
    col[y] -= v;
    cell[x / 3][y / 3] -= v;
}

//将数组上已知数的位置、值信息做初始化记录，并记录需要填写的格子数
int fill(int _arr[N][N])
{
    //cnt为待填格子数
    int cnt = 0;

    //设置cnt，row、col、cell条件
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            if (!_arr[i][j])
            {
                cnt++;
            }
            else
            {
                col[j] -= 1 << (_arr[i][j] - 1);
                row[i] -= 1 << (_arr[i][j] - 1);
                cell[i / 3][j / 3] -= 1 << (_arr[i][j] - 1);
            }
        }
    }

    return cnt;
}

//只需一次初始化的数组map、ones
void _init()
{
    //once设置成false后不再执行这个函数
    once = false;

    //map和ones是一个映射关系，下标（二进制）->值（十进制）
    // 
    //map[10] = 2,意思是二进制为10的数十进制为2
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        map[1 << i] = i + 1;
    }

    //ones[11] = 2,意思是二进制为11的数十进制为2
    for (int i = 0; i < M; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            ones[i] += i >> j & 1;
        }
    }
}

//初始化条件数组
int init(int _arr[N][N])
{
    //设置row，col为111111111，代表1`9都在可填写状态
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        row[i] = col[i] = M - 1;
    }

    //在9个宫中设置值为111111111，代表1`9都在可填写状态
    for (int i = 0; i < 3; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 3; j++)
        {
            cell[i][j] = M - 1;
        }
    }

    //只初始化一次
    if (once)
    {
        _init();
    }

    //填入数独表的已知数字，完成初始化工作。
    return fill(_arr);
}



//填数独
bool dfs(int _arr[9][9], int cnt, int& t_ret)
{
    //如果可填数为0，则代表已经完成数独
    if (!cnt)
    {
        return true;
    }

    //找出最小可选位置，x、y表示坐标，minv代表可填数
    int minv = 10;
    int x, y;

    //每一个为0的位置都可以通过getmask(x,y)找到一个9位的二进制数，每一个位置上的1都代表对应数字可填
    for (int i = 0; i < N; i++)
    {
        for (int j = 0; j < N; j++)
        {
            //如果状态码state中的1比minv小，则记录下该位置的xy坐标，并记录下最小可填值minv
            if (!_arr[i][j])
            {
                int state = getmask(i, j);
                if (ones[state] < minv)
                {
                    minv = ones[state];
                    x = i, y = j;
                    //std::cout << std::endl;
                    //printBinary(state);
                }
            }
        }
    }

    //拿到状态码
    int state = getmask(x, y);

    //lowbit取到可填数（从小到大），填了就从状态码中消除对应位置上的1
    for (int i = state; i; i -= lowbit(i))
    {
        //拿到二进制对应的十进制数字num
        int num = map[lowbit(i)];
        //填入num
        draw(_arr, x, y, num, false);
        //开始填数，如果已经填完数独，则打印，并记录解的数量t_ret，最大解max_ret
        if (dfs(_arr, cnt - 1, t_ret))
        {
            //print_arr(_arr);

            t_ret++;
            max_ret = t_ret > max_ret ? t_ret : max_ret;
        }
        //撤销填入的num
        draw(_arr, x, y, num, true);
    }

    //如果 i = state 的值是0，那么就代表没有数字可以填的，返回失败，并消除上一位的数字
    return false;
}

//得到所有的数组，并记录下数独的最大解
int _getallarr(int tmp[9][9], int& time)
{
    //将每一个已知数字的x，y坐标记录到vii
    std::vector<std::pair<int, int>> vii;
    for (int i = 0; i < 9; i++)
    {
        for (int j = 0; j < 9; j++)
        {
            if (arr[i][j])
            {
                vii.push_back({ i,j });
            }
        }
    }

    //tmp1.tmp2存要删掉的两个数
    int tmp1, tmp2;
    //记录删除的数的坐标
    int max_ret_tmp = max_ret;
    std::vector<std::pair<int, int>> vpii;
    //依次删除两个数，为了保护源数独，把数据传入到tmp中
    for (int i = 0; i < vii.size(); i++)
    {
        for (int j = i + 1; j < vii.size() - 1; j++)
        {
            tmp1 = tmp[vii[i].first][vii[i].second];
            tmp[vii[i].first][vii[i].second] = 0;

            tmp2 = tmp[vii[j].first][vii[j].second];
            tmp[vii[j].first][vii[j].second] = 0;


            //计算最大解
            int t_ret = 0;
            int cnt = init(tmp);
            dfs(tmp, cnt, t_ret);

            if (max_ret > max_ret_tmp)
            {
                max_ret_tmp = max_ret;
                if (vpii.size() == 2)
                {
                    vpii.erase(vpii.begin(), vpii.end());
                }
                vpii.push_back(vii[i]);
                vpii.push_back(vii[j]);
            }

            //还原删除的数
            tmp[vii[i].first][vii[i].second] = tmp1;
            tmp[vii[j].first][vii[j].second] = tmp2;
        }
    }

    std::cout << "删除的坐标是：(" << vpii[0].first << vpii[0].second << ") && (" << vpii[1].first << vpii[1].second << ")" << std::endl;
    return max_ret;
}

//计算最大解
int getMaxRet()
{
    //time为要删的数的个数
    int time = 2;
    //tmp为临时数组
    int tmp[9][9] = { 0 };
    copy_arr(tmp);

    //
    return _getallarr(tmp, time);
}

main函数（如何执行这些代码）

int main()
{
    int t_ret = 0;
    int cnt = init(arr);
    dfs(arr,cnt, t_ret);
    std::cout << max_ret;
    std::cout << getMaxRet();

    return 0;
}

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