矩阵病态问题

news2025/11/7 5:30:47

病态（ill-conditioned)矩阵
病态（ill-posed)方程

病态矩阵

矩阵的frobenius范数：
- 对每一个元素平方，求和再开平方

$A=\begin{bmatrix} a &b \\ c& d \end{bmatrix}$

$\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}=\sqrt{|a|^2+|b|^2+|c|^2+|d|^2}$

矩阵的条件数：矩阵的frobenius范数与该矩阵的逆的frobenius范数的乘积

$cond(A)=\begin{Vmatrix} A \end{Vmatrix}\cdot\begin{Vmatrix} A^{-1} \end{Vmatrix}$

对于同阶矩阵，矩阵的条件数越大，他的病态程度越高
- 一般而言，条件数小于100，矩阵健康
- 介于100-1000之间，有一定的病态趋势
- 大于1000，病态

病态矩阵的实质

矩阵向量（行或列）之间存在共线性

举例

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3.00001 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6\\ 18 \end{bmatrix}$

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3.00001, 6]])
b = np.array([6, 18])
def cond(A):
    a = np.sum(A**2)**0.5
    b = np.sum(np.linalg.inv(A)**2)**0.5
    return a*b


x = np.linalg.solve(A, b)
print(x, "  ", cond(A))

[0. 3.]    2500003.000017089

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 2 & 6 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6\\ 18 \end{bmatrix}$

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [2, 6]])
b = np.array([6, 18])
def cond(A):
    a = np.sum(A**2)**0.5
    b = np.sum(np.linalg.inv(A)**2)**0.5
    return a*b


x = np.linalg.solve(A, b)
print(x, "  ", cond(A))