劳资博弈

0 引言

    前一篇文章介绍了静态博弈中常见的几个案例以及场景，并且在此之前也还介绍过斯塔克尔伯格博弈等动态博弈，以及相关的解决方法——反应函数法。今天我们继续介绍一个常见的动态博弈——劳资博弈，并利用反应函数解决！

1 劳资博弈

    劳资博弈是一个工会和厂商之间的博弈模型。该模型假设工资完全由工会决定，厂商决定雇佣工人的数量，博弈过程是（1）先由工会决定工资率，（2）然后厂商决定雇佣多少工人。
注意，工会代表的是工人群体，其不只追求较高的工资，还会希望较多的工人得到雇佣，高工资加高失业率不符合工会利益，低工资实现的高就业也不符合工会利益。因此，工会的效用(utility)是工资率和雇佣工人数两者的函数$u=u(W,L)$。其中，W和L分别表示工资率(可理解为单位成本)和厂商雇佣工人数。为了简便起见,假设工资率和雇佣数都连续可分，即W、L是连续型变量。
假设厂商只关心利润，利润是收益和成本之差。假设收益是关于工人数的函数$R(L)$，再假设只有劳动成本，总成本C等于工资率乘以工人数
$$C=W\times L$$
则厂商的利润函数是关于工资率以及工人人数的函数：
$$\pi =\pi (W,L)=R(L)-WL$$
用逆推归纳法分析这个博弈。
（1）第一步先分析第二阶段厂商的选择，也就是厂商对工会选择的工资率W的反应函数L(W)。
厂商实现自己最大得益(利润)的雇佣工人数L是以下最大值问题的解：
$$\underset{L\ge =0}{\max }\pi (W,L)=\underset{L\ge =0}{\max }(R(L)-WL)$$
将上述函数对L求偏导得：
$$\frac{\partial \pi (W,L)}{\partial L}=R^{\prime }(L)-W$$
令$\partial \pi (W,L)/\partial L=0$得：
$$R^{\prime }(L)=W$$

即能使该等式成立的L便是厂商实现最大利润的雇佣工人数，也就是给定工会选择的工资率W时厂商的最优雇佣工人数。

（2）第二步回到第一阶段工会的选择。
工会了解厂商的决策方法,完全清楚对应自己选择的每种工资率W,厂商将会根据上述方式决定雇佣数$L^{\ast }(W)$。因此,工会的决策问题是选择$W^{\ast }$,使它是下列最大值函数的解：
$$\underset{W\ge =0}{\max }\pi [W,L^{\ast }(W)]$$
在不给出$\pi (W,L)$、$R(L)$等具体函数时，给模型得这里已经求解完毕，接下来我们结合图像对该模型进一步进行解释！

2 图像

我们继续研究$R^{\prime }(L)=W$，它的经济意义是厂商增加雇佣的边际收益,也就是雇佣最后一单位劳动增加的收益,等于雇佣一单位劳动的边际成本(W),本模型中也是平均成本,即工资率。

首先以L为横坐标，R为纵坐标建立坐标系:
（1）可以绘制WL是该坐标系上过原点的，以W为斜率的射线(L≥0)；
（2）假设R(L)不是直线，而是曲线：

$R^{\prime }(L)=W$的几何意义为，当曲线R(L)的斜率等于W，也就是说当曲线R(L)在某点$L^{\ast }$上的切线与WL平行时，此时的该点的横坐标$L^{\ast }$便是厂商实现最大利润的雇佣工人数，也就是给定工会选择的工资率W时厂商的最优雇佣工人数$L^{\ast }(W)$。

此时，$R(L^{\ast })$的切线与WL平行，即在$L^{\ast }=L^{\ast }(W)$处，R(L)与WL之间距离$R(L)-WL$(厂商的利润)最大！

3 实例验证

假设厂商收益函数$R(L)=10L-L^2$，则根据
$$\frac{\partial \pi (W,L)}{\partial L}=R^{\prime }(L)-W=0$$
可得：
$$10-2L-W=0$$
进一步得：
$$L^{\ast }(W)=(10-W)/2$$
再假设
$$\pi (W,L)=W^{1/2}{L}^{1/2}$$
则
$$\pi [W,L^{\ast }(W)]=W^{1/2}(\frac{10-W}{2}{)}^{1/2}=(\frac{10W-W^2}{2}{)}^{1/2}$$
求$\pi [W,L^{\ast }(W)]$最大值即求$(10W-W^2)/2$的最大值，令其一阶导为0可得：
$$10-2W=0\Rightarrow W^{\ast }=5$$
进一步得到
$$L^{\ast }(W^{\ast })=(10-5)/2=2.5$$
所以$(W,L)=(5,2.5)$是该博弈的子博弈完美纳什均衡！