同时间复杂度一样，空间复杂度也是数学的函数表达式。

空间复杂度不是程序占用了多少 bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是运行的过程中临时的、额外的变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践 复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间（存储参数、局部变量、一些寄存器信息等）在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显示申请的额外空间来确定。

冒泡排序的空间复杂度

请计算BubbleSort的空间复杂度：

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

这里看起来定义了end、exchange和i三个变量。

虽然是循环n次，但这些变量一直都在用，所以说这里用了三个空间。

是常数次，所以空间复杂度是O(1)。

这就涉及到栈帧的知识了。

在这个函数的栈帧里，编译器先定义一个end，再定义一个i。

当循环结束了之后i被销毁，再循环上来时，又定义了一个i，跟之前的i定义的是同一块空间。

用的是同一块空间！所以用了三个空间。是常数次。
斐波那契数列的空间复杂度

请计算Fibonacci的空间复杂度：

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray =
		(long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; ++i)
	    {
		    fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	    }
	return fibArray;
}

非常明显是O(N)。

从(long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long))中可知开辟了n+1个空间。

在for(int i = 2; i <= n; ++i){fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];}中进行计算，

第0个和第1个算出第3个，

第3个和第4个算出第5个，

··· ···

直到计算出第n个。

计算方法不是特别重要，重要的是开辟了n+1个空间！

那么它的空间复杂度就是O(N)。

这里主要是用数组来求斐波那契数，所以空间较大。

事实上如果只想求第N个数的话，这个算法空间复杂度可以优化成O(1)。

阶乘递归的空间复杂度

计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？

long long Factorial(size_t N)
{
	return N < 2 ? N : Factorial(N - 1) * N;
}

递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。

每次调用都要建立栈帧。

空间复杂度为O(N)。

最后强调一下，空间是可以重复利用、不累计的，时间是一去不复返、累计的。

如斐波那契数递归时，很多空间都是重复利用的，但时间只会向前。

创作不易，求各位老铁三连支持下！