文章目录0、背景一、标准计算流程以单纯同调为例空间剖分构建单纯复形‌生成各维度链群‌定义边界算子‌定义闭链群与边缘链群‌计算同调群并解读拓扑信息‌推导最终拓扑结论‌二、其他核心概念的典型计算逻辑0、背景之前为了做一个东西学习TDA但是一直没有进行总结。正好看见有关注的公众号发布了代数拓扑运算的流程。就当是别人提我做了个笔记喽。原文来自公众号“拓扑漫游杠精”链接在这里。喜欢的可以直接关注。一、标准计算流程以单纯同调为例针对可三角剖分的拓扑空间完整计算流程如下空间剖分构建单纯复形‌将目标拓扑空间切割为不同维度的单纯形0维是点、1维是线段、2维是三角形、3维是四面体……n维单纯形由n1个顶点构成凸包再按共享边界的规则将单纯形粘合得到单纯复形K并记录所有不同维度的单纯形。生成各维度链群‌对任意维度n以该维度下所有单纯形为基生成自由交换群Cn(K)称为n维‌链群‌群中的元素称为n维链本质是单纯形的整系数线性组合。定义边界算子‌对每个n维单纯形定义边界映射∂n:Cn(K)→Cn−1(K)将n维单纯形映射为其所有n−1维边界单纯形的交错和符号由顶点的排列顺序决定方向。该算子天然满足核心性质∂n∘∂n10即“边界的边界为空”。定义闭链群与边缘链群‌闭链群是边界算子的核Zn(K)ker∂n{c∈Cn(K)∣∂n©0}即边界为0的n维链每一个非平凡闭链对应一个真实存在的n维“洞”。边缘链群是边界算子的像Bn(K)im∂n1{∂n1©∣c∈Cn1(K)}即它是更高一维链的边界本质对应已经被填满的“洞”不代表真实的拓扑洞。由∂n∘∂n10可推得Bn(K)⊆Zn(K)因此可以构造商群得到同调群。计算同调群并解读拓扑信息‌n维同调群定义为商群Hn(K)Zn(K)/Bn(K)同调群的秩就是n阶贝蒂数对应n维独立“洞”的数量挠部分对应带方向的特殊拓扑结构。推导最终拓扑结论‌基于同调群可以得到明确拓扑性质例如欧拉特征数满足χ∑i0n(−1)idimHi∑i0n(−i)ivivi为i维单纯形个数可以用来验证两个空间是否同胚闭流形的最高维同调群如果同构于整数群则流形可定向否则不可定向。二、其他核心概念的典型计算逻辑‌基本群计算‌通过Van Kampen定理将拓扑空间分解为多个开子集再通过各子集基本群的融合自由积得到整体基本群最后可以用覆盖空间的提升性质验证结果。‌上同调群计算‌基于万有系数定理通过已计算得到的同调群推导上同调群上同调自带乘法结构可以给出更多拓扑分类信息。‌同伦群计算‌一般通过塞尔谱序列结合纤维空间的性质逐步推导。